高中数学沪教版（2020）必修第二册3任意角的正弦、余弦、正切、余切精品练习

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一、单选题
1．（2023下·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）在三角形ABC中，，则B=（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【分析】利用正弦定理求得，进而求得正确答案.
【详解】三角形ABC中，，
由正弦定理得，
因为，则B是锐角，所以
故选：A
2．（2023下·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）在中，，则的解的个数是（ ）
A．0个B．2个C．1个D．1个或2个
【答案】B
【分析】结合图形，三角形的性质进行判断.
【详解】
如图，在中，因为，
所以，
所以，所以可以构成两个三角形，
所以的解的个数是2个，故A，C，D错误.
故选：B.
3．（2023下·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期中）为测量A，B两地之间的距离，甲同学选定了与A，B不共线的C处，构成△ABC，以下是测量数据的不同方案：①测量∠A，|AC|，|BC|；②测量∠A，∠B，|BC|；③测量∠C，|AC|，|BC|；④测量∠A，∠B，∠C．要求甲同学选择的方案能唯一确定A，B两地之间的距离，这样方案的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据正弦定理、余弦定理分析三角形解的个数．
【详解】选择方案①，由正弦定理得，，角可能有两解，从而不一定能唯一确定；
选择方案②，∠A，∠B确定后是确定的，由正弦定理可得是唯一的；
选择方案③，直接由余弦定理求解，是唯一的；
选择方案④，三角形只有三个角的大小，没法求得边长，不唯一，
因此可选择方案有②和③两个．
故选：B．
4．（2023下·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，______，求角.”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示.在同学的相互讨论中，甲同学认为应该填写的条件为：“”；乙同学认为应该填写条件为“”，则下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都正确D．甲、乙都不正确
【答案】B
【分析】根据，，得到，再利用正弦定理求得边b，c，验证即可.
【详解】可得，，
，
又，
由正弦定理得，
则，
解得，.
若条件为，
则由正弦定理得：，解得，
或，答案不唯一，不符合题意，
若条件为，
则由正弦定理得：，解得，
或，
，，答案唯一，符合题意，
故答案为，
故选：B.
二、填空题
5．（2023下·上海杨浦·高一复旦附中校考期中）在△ABC中，若，，，则 .
【答案】
【分析】由三角形内角和求得，然后由正弦定理求得．
【详解】由三角形内角和定理可得：，
因为，，
由正弦定理可得，
故答案为：.
6．（2023下·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）在中，，则角的余弦值是 .
【答案】/
【分析】直接利用余弦定理求解即可.
【详解】在中，，
则.
故答案为：.
7．（2023下·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期末）已知的三边，，，则角的大小是 .
【答案】
【分析】利用余弦定理结合角的取值范围，可求得角的值.
【详解】由余弦定理可得，
又因为，因此，.
故答案为：.
8．（2023下·上海闵行·高一校考阶段练习）在中，角、、的对边分别记为、、，若，则 .
【答案】/
【分析】利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，最后由二倍角公式计算可得.
【详解】因为，
由正弦定理得，
因为，所以，故，
所以.
故答案为：
9．（2023下·上海嘉定·高一校考开学考试）已知分别是锐角的角的对边，若，，的面积，则边 ．
【答案】
【分析】利用三角形面积公式可构造方程求得，利用余弦定理可求得结果.
【详解】，，又，，
由余弦定理得：，解得：.
故答案为：.
10．（2023下·上海黄浦·高一格致中学校考期中）在中，，，若该三角形为钝角三角形，则边的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据三角形的性质可得，分类讨论，结合题意列式求解即可.
【详解】由三角形可得，解得，
若该三角形为钝角三角形，注意到，
则角为钝角或角为钝角，可得或，
即或，解得或，
故边的取值范围是.
故答案为：.
11．（2023下·上海杨浦·高一复旦附中校考期中）在△ABC中，边a，b，c满足，，则边c的最小值为 .
【答案】
【分析】利用基本不等式和结合余弦定理即可求解的最小值．
【详解】由余弦定理可得
当且仅当时，即取等号，所以.
故答案为：.
12．（2023下·上海·高一上海市七宝中学校考期中）在中，内角所对的边分别为 ，若 ，则的值为 .
【答案】/
【分析】利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得.
【详解】在中，∴，
由正弦定理可得，
即，
因为，，可得.
故答案为：
13．（2023下·上海松江·高一统考期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，且满足条件的有两解，设，设边a的所有可能取值构成集合D，则函数的值域为 ．
【答案】
【分析】根据三角形有两个解可得，进而由三角函数的性质即可求解值域.
【详解】，，且有两解,则,
所以,进而，
所以，
故值域为，
故答案为：
14．（2023下·上海宝山·高一统考期末）已知，点是平面上一个动点，则当由0连续变到时，线段扫过的面积是 .
【答案】
【分析】根据三角函数的平方式以及函数性质，求得动点轨迹，结合题意，作图，利用图形的组成，可得答案.
【详解】由，则，即，，
由，则如图：

点在劣弧上，即线段扫过的部分为图中的阴影部分，设其面积为，
易知，，在四边形中对角线，
则四边形的面积，
在中，，解得，
扇形的面积，
故.
故答案为：.
15．（2023下·上海奉贤·高一校考期中）在中，若，则
【答案】
【分析】根据正弦定理可知，设，利用余弦定理即可求出．
【详解】由正弦定理，且，则，设，
由余弦定理，可得.
故答案为：.
16．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）已知一个三角形的三边分别是4、5、7，这个三角形是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
【答案】钝角
【分析】直接根据余弦定理即可得到答案.
【详解】设三边分别为，其所对应的角分别为，
根据大边对大角的结论知角最大，
则由余弦定理知，
又因为，所以，
所以三角形是钝角三角形，
故答案为：钝角.
三、解答题
17．（2022下·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习）已知在中，，，，求、的值
【答案】，或，.
【分析】根据三角形的余弦定理和面积公式求解.
【详解】在中，由余弦定理与面积公式得，
，化为，，
解得，或，.
18．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）在中，，，.
(1)求；
(2)求的面积S.
【答案】(1)
(2)84
【分析】（1）根据余弦定理即可求解；
（2）由（1）可求得，再根据三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）由题意可知，，
根据余弦定理可得；
（2）由（1）可知，，又因为，
，
所以的面积
19．（2023下·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c
(1)若，求∠B；
(2)若，试判断△ABC的形状．
【答案】(1)
(2)△ABC是等腰三角形
【分析】（1）由二倍角正弦公式及三角形内角的性质可得，进而确定其大小；
（2）由余弦边角关系可得，整理化简即可确定形状.
【详解】（1）由，而，故，
又，故.
（2），故，即，
所以△ABC是等腰三角形.
20．（2023下·上海浦东新·高一统考期中）如图，甲船在距离A 港口24海里并在南偏西20°方向的C 处驻留等候进港，乙船在 A 港口南偏东40°方向的B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里.
(1)求∠ABC 的正弦值；
(2)当乙船行驶20海里到达D 处时，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，求此时甲乙两船之间的距离.
【答案】(1)
(2)海里
【分析】（1）利用正弦定理求∠ABC 的正弦值；
（2）应用余弦定理求甲乙两船之间的距离.
【详解】（1）由题设，，，，
在△中，，则；
（2）由题意，，由（1）及题图知：为锐角，则，
由，
所以海里.
21．（2023下·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知，，路宽米，设.
(1)求灯柱的高（用表示）；
(2)此公司应该如何设置的值，才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小？并求出此最小值.（精确到0.01米）
【答案】(1),
(2)当时，取得最小值米
【分析】（1）在中先用正弦定理表示出，然后在中利用正弦定理表示出；
（2）在中利用正弦定理表示出，从而得到的表达式，再利用三角函数的性质求解最小值即可.
【详解】（1）由题意知，在中，，
由正弦定理，得.
在中，由正弦定理，
得，.
（2）在中，由正弦定理，得，
故，
由于，故，
所以当时，取得最小值米.
22．（2023下·上海闵行·高一统考期末）上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为米，，动点在扇形的弧上，点在半径上，且.

(1)当米时，求分隔栏的长；
(2)综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角的面积的最大值.
【答案】(1)米
(2)平方米
【分析】（1）首先求出，在中，利用余弦定理求出；
（2）在中，先利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式，利用三角恒等变换化简结合三角函数的性质即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
在中，，，
由余弦定理得，
即，解得或（舍去），
所以的长为米；
（2）因为，，
设，，则，
在中，由正弦定理得，
所有，
则
，
当，即时，面积取得最大值，最大值为平方米.
一、单选题
1．（2023下·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列命题中，真命题的个数是（ ）
（1）若，则是等腰三角形；
（2）若，则是直角三角形；
（3）若，则是钝角三角形；
（4）若，则是等边三角形．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用三角形的性质、正弦定理、同角三角函数的基本关系进行计算求解.
【详解】中，，由正弦定理有：
，因为中，
所以，即，即，
所以或，故（1）错误；
中，因为，所以，
所以或，故（2）错误；
中，，当时，
，，，显然不满足；
当中有1为负，2个为正，不妨设，
则，，，所以是钝角三角形；故（3）正确；
中，，所以，
所以
因为，
所以，所以，
则是等边三角形，故（4）正确；故A，C，D错误.
故选：B.
二、填空题
2．（2023下·上海宝山·高一校考期中）在中，，，面积，则边长为 ．
【答案】或
【分析】根据三角形面积公式求出角，再根据余弦定理求得.
【详解】，，
又，所以或，
当时，根据余弦定理得：
，；
当时，根据余弦定理得：
，，
故答案为：或.
3．（2023下·上海宝山·高一校考期中）如果的三边、、满足，则角的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由余弦定理和重要不等式可求的范围，进而可求角的取值范围.
【详解】因为，所以
由余弦定理得，
当且仅当时取等号，又，
所以.
故答案为：
4．（2023下·上海奉贤·高一校考期中）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列命题正确的序号是 ．
①．若，则
②．若，则是锐角三角形
③．若，则是直角三角形
④．若，则为等腰三角形
⑤．若锐角中，则恒成立
【答案】①③
【分析】根据正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可．
【详解】对于①，若，则，
，
在递减，所以，故①正确；
对于②，中，∵，则，∴角C为锐角，
但锐角三角形需判定三个顶角均为锐角，所以不一定是锐角三角形，故②错误；
对于③，若，即，化简可得，所以是直角三角形，故③正确；
对于④，由正弦定理及，得 所以或，
则为等腰三角形或直角三角形，故④错误．
对于⑤．角A，B，C分别取，代入不成立．
故选：①③．
三、解答题
5．（2022下·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）在中，角A、B、C的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，的面积，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用正弦定理：边转角，得到，进而可求出结果；
（2）根据条件求出，再利用余弦定理求出，即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得到，
又因为，所以，
故，得到，又因为，所以.
（2）因为，的面积，
所以，得到，
在中，由余弦定理得，
所以，故的周长为.
6．（2023下·上海闵行·高一校考期中）已知ABC三个内角A、B、C对应边分别为a、b、c，，.
(1)若，求ABC的面积；
(2)设线段AB的中点为D，若，求ABC外接圆半径R的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理得知，进而根据同角基本关系式，再根据三角形面积公式计算即可；
（2）在中由余弦定理得，进而在中，，再根据正弦定理求解即可.
【详解】（1）因为，根据正弦定理得，
因为， ，
所以，
因为，所以，
所以的面积为.
（2）因为线段的中点为，，，，
所以在中，由，
解得（舍），
所以在中，，即，
因为，所以，
所以由正弦定理得外接圆半径满足，
所以外接圆半径

7．（2023下·上海宝山·高一校考期中）如图，我边防巡逻艇在处测得，北偏东相距10海里的处，有一艘可疑船只正以每小时12海里的航速沿东南方向驶去．上级指示我艇：匀速航行半小时，在处准时追上目标．

(1)求我边防巡逻艇的航速；
(2)求我边防巡逻艇的航向角（即的大小，精确到）．
【答案】(1)28海里/小时；
(2)北偏东
【分析】由题设条件可得，，，根据余弦定理即可求出和．
【详解】（1）由题意，，，
又可疑船速为12海里/小时，经过半小时两船相遇于点，
在中，由余弦定理得，
，
，又，
故我边防巡逻艇的航速为28海里/小时．
（2）在中，，
由余弦定理得，
，则，
即我边防巡逻艇的航向角约为北偏东．
8．（2024上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若，的周长为3，求的面积S.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据倍角公式结合三角形内角和关系分析求解；
（2）由（1）可知：，由题意可知，利用余弦定理可得，代入面积公式即可得结果.
【详解】（1）因为，则，
即，解得.
（2）由（1）可知：，且，可得，
由题意可知，即，
由余弦定理可得，
即，解得，
所以的面积.
9．（2023下·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）通常用分别表示的三个内角所对边的边长，表示的外接圆半径.

(1)如图，在以为圆心的中，和是的弦，其中，，求弦的长；
(2)在中，若是钝角，求证：；
(3)给定三个正实数，其中.问：满足怎样的关系时，以为边长，为外接圆半径的不存在､存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用表示.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)答案见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理计算作答.
（2）由三角形的边角关系，结合余弦定理推理作答.
（3）按与的大小关系分类讨论，结合三角恒等变换、余弦定理求解作答.
【详解】（1）在中，，，由正弦定理得，
所以
.
（2）因为是钝角，则不过圆心，于是，
由余弦定理知，即，
所以.
（3）当或时，所求的不存在；
当且时，直径所对的圆周角是直角，因此，所求的只存在一个，且；
当且时，，且都是锐角，由，
确定，所求的只存在一个，且；
当时，总是锐角，可以是钝角也可以是锐角，则所求的存在两个，
由，得当时，，，
，
因此，
当时，，，
所以.
【点睛】结论点睛：的三边分别为a，b，c（a≥b≥c），若，则是锐角三角形；若，则是直角三角形；若，则是钝角三角形.
10．（2022下·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）燕山公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划条人行道、、、以及两条排水沟、，其中、、分别为边、、的中点．
(1)若，求的余弦值；
(2)若，求排水沟的长；
(3)当变化时，求条人行道总长度的最大值．（单位百米）
【答案】(1)
(2)百米；
(3)百米．
【分析】（1）在直角三角形和直角三角形中，分别求出和的正、余弦值，再利用两角和的余弦公式，求的余弦即可；
（2）在三角形中，使用余弦定理求解即可；
（3）连接，以为参变量，在三角形和中，利用和，结合解三角形知识对，进行求解，并借助函数思想求出的最大值即可.
【详解】（1）∵百米，百米，，
∴在直角三角形中，百米，
∴，，
又∵，，百米，
∴在等腰直角三角形中，百米，，，
∴
.
∴的余弦值为.
（2）由第（1）问，当时，，百米
∴在三角形中，
，
∴百米.
∴排水沟的长为百米.
（3）设，，，
∵、、分别为边、、的中点，
∴，百米，，
∴，百米，，
在三角形中，由余弦定理得,
由正弦定理，
得，
连接，∵，，为边的中点，
∴，，
在三角形中，，
由余弦定理得
，
在三角形中，，
由余弦定理得
，
令
∵，∴，∴，
∴，
令，易知在上单调递增，
∴当时，的最大值为，
.
∴最大值为，
∴条走道总长度的最大值为百米．
【点睛】本题前两问较为简单，难点在第（3）问.对于解三角形中的最值问题，有两种最常用的方法，一种是通过单一变量，构造函数，利用函数单调性和最值解决，另一种是借助不等式知识解决，本题采用了第一种方法.
11．（2023下·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，锐角的终边分别与单位圆交于A、B两点．
(1)如果A点的纵坐标为，B点的横坐标为，求的值；
(2)若角的终与单位圆交于C点，设角的正弦线分别为MA、NB、PC，求证：线段MA、NB、PC能构成一个三角形；
(3)探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)是，定值为
【分析】（1）由三角函数的定义和两角和的余弦公式即得结果；
（2）先由三角函数的定义得三条线段长度，再证明任意一边小于另两边之和，即得三条线段能构成一个三角形；
（3）利用余弦定理和正弦定理解三角形，可求得外接圆半径，即得外接圆面积为定值.
【详解】（1）由已知得，，，
则，
则
.
（2）由已知得，
①
∴②
同理③
由①②③可知，线段MA、NB、PC能构成一个三角形.
（3）设（2）中的三角形为，角所对的边长为由余弦定理可得，
设外接圆半径为R，则由正弦定理可得，
，
，
.
故（2）中三角形的外接圆面积为定值.