人教版2024-2025学年七年级数学上册4.3图形规律问题(压轴题专项讲练)专题特训(学生版+解析)

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专题4.3 图形规律问题典例分析 【典例1】如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，⋅⋅⋅⋅⋅⋅依此规律，第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为 ．【思路点拨】本题考查了图形变化的规律，能根据图形得出第n个图案点和三角形的个数规律是解题关键．根据图案得到第n个图案点的个数为3n个；三角形有nn+12个，再求出第10个图案点的个数为30个；三角形有55个，问题得解．【解题过程】解：由所给图案可得：第1个图案点的个数为3×2−3=3个；三角形有1个；第2个图案点的个数为3×3−3=6个；三角形有1+2=3个；第3个图案点的个数为3×4−3=9个；三角形有1+2+3=6个；……所以第n个图案点的个数为3n+1−3=3n个；三角形有1+2+3+…+n=nn+12个；所以第10个图案点的个数为3×10=30个；三角形有10×112=55个，所以第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为30+55=85个．故答案为：85学霸必刷1．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）用黑、白棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有黑色棋子7颗，第②个图案中有黑色棋子10颗，第③个图案中有黑色棋子13颗，依照此规律排列下去，则第个图案中有黑色棋子（   ）A．301颗 B．304颗 C．307颗 D．310颗2．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下图是一组有规律的图案，图1中有4个小黑点，图2中有7个小黑点．图3中有12个小黑点，图4中有19个小黑点，⋯，按此规律图9中的小黑点个数为（    ）A．64 B．67 C．84 D．873．（24-25七年级上·全国·课后作业）将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图中“○”的个数，则第10个图中“○”的个数是（    ）．  A．90 B．95 C．100 D．1054．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，是某同学在沙滩上用石子摆成的“纸杯蛋糕”，其中第①个图案用了5个石子，其中第②个图案用了11个石子，其中第③个图案用了18个石子，其中第④个图案用了26个石子，⋅⋅⋅，按此规律排列下去，则第⑦个图案中石子的个数为（    ）A．45 B．56 C．58 D．605．（2024九年级下·重庆·专题练习）下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第10个图形中●的个数为（　　） A．50 B．53 C．64 D．766．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第20个图案用的木棍根数是（　　）  A．104 B．109 C．123 D．1297．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）找出图形变化的规律，则第2023个图形中黑色正方形的数量是（    ） A．2022 B．3035 C．3029 D．30368．（23-24七年级上·福建宁德·期中）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知第506个正方形的左上角标的数是（　　）A．2020 B．2021 C．2022 D．20239．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第2幅图形中“●”的个数为a3， …， 依次类推， 则 1a1+1a2+1a3+⋯1a20的值为（     ）A．2122 B．144 C．419924 D．32546210．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上；（1）每次只能移动1个碟片．（2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面．如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的n个碟片移动到2号杆子上最少需要an次，则a6=（    ）A．31次 B．33次 C．62次 D．63次11．（2024七年级上·全国·专题练习）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第12个图案中共有小三角形的个数是 ．12．（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，一张长方形的桌子可坐6人，按照图中方式继续摆放桌子和椅子，若拼成一张大桌子后，座位刚好可坐38人，则共需要这种长方形桌子 张13．（2024七年级上·全国·专题练习）下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的，如图①，正方形的个数为8，周长为18．  （1）推测第4个图形中，正方形的个数为 ，周长为 ；（2）推测第n个图形中，正方形的个数为 ，周长为 ；（都用含n的代数式表示）．14．（24-25七年级上·全国·期中）如图，从原点A开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆；⋯按此规律，继续画半圆，则第7个半圆的面积为 ．（结果保留π）15．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，圆桌周围有20个箱子，按顺时针方向编号1～20，小明先在1号箱子中丢入一颗红球，然后沿着圆桌按顺时针方向行走，每经过一个箱子丢一颗球，规则如下：①若前一个箱子丢红球，则下一个箱子就丢绿球．②若前一个箱子丢绿球，则下一个箱子就丢白球．③若前一个箱子丢白球，则下一个箱子就丢红球．他沿着圆周走了2024圈，求4号箱内有 颗红球．16．（23-24七年级上·浙江温州·期中）排球比赛时，甲方6名队员开始站位如图所示，比赛开始由甲方1号位的选手发球，再轮到甲方选手发球时是第二轮发球，此时甲方全体队员按顺时针方向转一个位置（转一圈），即1号位的队员到6号位置，6号位到5号位，…，此时2号位队员到1号位置发球，以此类推，如果甲方选手小花开场时站在6号位置，记a1=6；甲方第二轮发球时，小花站在a2号位置，…，这场比赛甲方发了21轮球，则a1+a2+…+a21的值为 ．17．（23-24七年级上·安徽·单元测试）观察下列图形中点的个数．（1）图2中点的个数是 ；（2）若按其规律再画下去，如果图形中有36个点，那它是第 个图形；（3）若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为 （用含n的代数式表示）．18．（23-24七年级上·北京通州·期末）现有一个长方形ABCD的宽为1，长为aa>1的纸片，先剪去一个正方形，余下一个长方形，在余下的长方形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个长方形……，依此类推，如图是剪3次后余下的长方形恰好是正方形的其中一种示意图及相应a的值，请画出（与示意图不同）剪3次后余下的长方形恰好是正方形的示意图，并写出相应a的值．19．（24-25七年级上·全国·单元测试）观察如图所示的图形，回答下列问题：（1）图中的点被线段隔开分成四层，第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有5个点，第四层有______个点；（2）如果要你继续画下去，那么第五层有多少个点？（3）某一层有77个点，你知道这是第几层吗？（4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和是多少？前四层的和是多少？根据你的推测，前十二层的和是多少？20．（23-24七年级上·福建三明·期中）（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：第1个点阵：   1+3+1=12+22第2个点阵：  1+3+5+3+1=______＋______第3个点阵：  1+3+5+7+5+3+1=______＋______（2）观察猜想，写出第n个点阵相对应的等式．（3）根据以上猜想，求出1+3+5+…+199+201+199+…+5+3+1的值．21．（24-25七年级上·全国·单元测试）将一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的等边三角形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去．（1）如果剪n次共能得到 个等边三角形．（2）若原等边三角形的边长为1，设an表示第n次所剪出的小等边三角形的边长，如a1=12．①试用含n的式子表示an= ；②计算a1+a2+a3+⋯an= ．22．（23-24六年级上·山东威海·期末）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推．（1）阴影部分的面积是______；（2）以下是甲，乙两位同学求S=12+122+123+124+125+126的方法；甲同学的方法：利用已给正方形图形求，S=1−S阴影；乙同学的方法：S=12+122+123+124+125+126①2S=1+12+122+123+124+125②②－①即可．根据两位同学的方法，你认为S=______；（3）12+122+123+124+⋅⋅⋅+127=______；（4）计算：12+122+123+124+⋅⋅⋅+122024；（5）请借助甲，乙同学的方法，分别求出14+142+143+144+⋅⋅⋅+142024的值．专题4.3 图形规律问题典例分析 【典例1】如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，⋅⋅⋅⋅⋅⋅依此规律，第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为 ．【思路点拨】本题考查了图形变化的规律，能根据图形得出第n个图案点和三角形的个数规律是解题关键．根据图案得到第n个图案点的个数为3n个；三角形有nn+12个，再求出第10个图案点的个数为30个；三角形有55个，问题得解．【解题过程】解：由所给图案可得：第1个图案点的个数为3×2−3=3个；三角形有1个；第2个图案点的个数为3×3−3=6个；三角形有1+2=3个；第3个图案点的个数为3×4−3=9个；三角形有1+2+3=6个；……所以第n个图案点的个数为3n+1−3=3n个；三角形有1+2+3+…+n=nn+12个；所以第10个图案点的个数为3×10=30个；三角形有10×112=55个，所以第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为30+55=85个．故答案为：85学霸必刷1．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）用黑、白棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有黑色棋子7颗，第②个图案中有黑色棋子10颗，第③个图案中有黑色棋子13颗，依照此规律排列下去，则第个图案中有黑色棋子（   ）A．301颗 B．304颗 C．307颗 D．310颗【思路点拨】本题考查了图形的变化规律，根据已知图形得出规律“第n个图形中黑色棋子的个数为3n+1+1”，找到正确的规律是解题的关键．【解题过程】解：第一个图形中有2×3+1=7颗黑色棋子；第二个图形中有3×3+1=10颗黑色棋子；第三个图形中有4×3+1=13颗黑色棋子；⋯，则第n个图形中黑色棋子的个数为3n+1+1，∴第100个图形中黑色棋子的个数为3×101+1=304个，故选：B．2．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下图是一组有规律的图案，图1中有4个小黑点，图2中有7个小黑点．图3中有12个小黑点，图4中有19个小黑点，⋯，按此规律图9中的小黑点个数为（    ）A．64 B．67 C．84 D．87【思路点拨】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察图形，找到图形变化的规律，利用规律求解即可，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的规律．【解题过程】解：观察图形可知， 第一个图有3+12=4个小黑点，第二个图有3+22=7个小黑点，第三个图有3+32=12个小黑点，第四个图有3+42=19个小黑点 ，故依此类推，第n个图有3+n2个小黑点，∴第九个图有3+92=84个小黑点 ，故选：C．3．（24-25七年级上·全国·课后作业）将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图中“○”的个数，则第10个图中“○”的个数是（    ）．   A．90 B．95 C．100 D．105【思路点拨】本题考查图形和数字类规律探究，根据前几个图形中“○”的个数得到变化规律，进而可求解．【解题过程】解：第1个图形中“○”的个数为5=5+1×0，第2个图形中“○”的个数为7=5+2×1，第3个图形中“○”的个数为11=5+3×2第4个图形中“○”的个数为17=5+4×3，……，依次类推，第n个图形中“○”的个数为5+nn−1，∴第10个图形中“○”的个数为5+10×9=95，故选：B．4．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，是某同学在沙滩上用石子摆成的“纸杯蛋糕”，其中第①个图案用了5个石子，其中第②个图案用了11个石子，其中第③个图案用了18个石子，其中第④个图案用了26个石子，⋅⋅⋅，按此规律排列下去，则第⑦个图案中石子的个数为（    ）A．45 B．56 C．58 D．60【思路点拨】本题考查了图形的变化类．解决本题的关键是根据前四个图形的变化寻找规律．根据图形的变化分别写出前四个图形中石子的个数，即可解答第7个图形中的石子数．【解题过程】解：观察图形的变化，可知，第1个图案要用的石子数为；S1=1+1×4=5；第2个图案要用的石子数为；S2=1+2+2×4=11；第3个图案要用的石子数为；S3=1+2+3+3×4=3×1+32+3×4=18；第4个图案要用的石子数为；S4=1+2+3+4+4×4=4×1+42+4×4=26；…；第7个（n为正整数）图案要用的石子数为，7×1+72+4×7=56．故选：B．5．（2024九年级下·重庆·专题练习）下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第10个图形中●的个数为（　　） A．50 B．53 C．64 D．76【思路点拨】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是找出规律．根据已知图形得出图n中点的个数为(n+1)2−(1+2+3+…+n−1)，据此可得．【解题过程】解：因为图①中点的个数为4=22−0，图②中点的个数为8=32−1，图③中点的个数为13=42−(1+2)，图④中点的个数为19=52−(1+2+3)，...,图n中点的个数为(n+1)2−(1+2+3+…+n−1)，所以图10中点的个数为112−(1+2+3+…+9)=121−45=76，故选：D．6．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第20个图案用的木棍根数是（　　）  A．104 B．109 C．123 D．129【思路点拨】根据前几个图形，发现每一个图形的木棍数都等于4加上图形位置序数的5的倍数，据此规律求解即可．本题主要考查了图形的数字规律．根据图形，数出木棍数，数形结合找到规律是解决问题的关键．【解题过程】解：由图可知：第1个图案用木棍，4+5=9（根），第2个图案用木棍，4+5×2=14（根），第3个图案用木棍4+5×3=19（根），第4个图案用木棍，4+5×4=24（根），∴第n个图案用的木棍根数是，4+5n；当n=20时，4+5×20=104．故选：C．7．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）找出图形变化的规律，则第2023个图形中黑色正方形的数量是（    ） A．2022 B．3035 C．3029 D．3036【思路点拨】本题考查了图形的规律变化类，根据图形的变化规律归纳出第n个图形中黑色正方形的数量即可求解，通过图形找到变化规律是解题的关键．【解题过程】解：根据图形变化规律可知：第1个图形中黑色正方形的数量为2，第2个图形中黑色正方形的数量为3，第3个图形中黑色正方形的数量为5，第4个图形中黑色正方形的数量为6，⋯，∴当n为奇数时，黑色正方形的个数为n+n+12，当n为偶数时，黑色正方形的个数为n+n2，∴第2023个图形中黑色正方形的数量是2023+2023+12=3035，故选：B．8．（23-24七年级上·福建宁德·期中）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知第506个正方形的左上角标的数是（　　）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【思路点拨】观察图形可知每个正方形上标4个数，则有506×4=2024，即第506个正方形左下角的数是2024，从而可求第506个正方形左上角的数．【解题过程】解：由题意可知每个正方形上标4个数，且所有图形标注的数字都是从右下角开始，沿逆时针依次标注四个连续的且依次增大的正整数，且第一个图形右下角是从1开始标注，∴第506个正方形标注的最大数字是：506×4=2024，即第506个正方形的左下角的数是2024 ， ∴第506个正方形左上角的数是2024−1=2023．故选：D．9．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第2幅图形中“●”的个数为a3， …， 依次类推， 则 1a1+1a2+1a3+⋯1a20的值为（     ）A．2122 B．144 C．419924 D．325462【思路点拨】本题主要考查图形的变化类，解题的关键是得出 an=nn+2及1nn+2=12×1n−1n+2．【解题过程】解：a1=3=1×3,a2=8=2×4，a3=15=3×5,a4=24=4×6，⋯，an=nn+2；∴1a1+1a2+1a3+⋯+1a20=11×3+12×4+13×5++120×22=12×(1−13+12−14+13−15+⋯+120−122)=12×1+12−121−122=12×650462=325462，故选: D．10．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上；（1）每次只能移动1个碟片．（2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面．如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的n个碟片移动到2号杆子上最少需要an次，则a6=（    ）A．31次 B．33次 C．62次 D．63次【思路点拨】本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题．根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．【解题过程】解：n=1时，an=1；n=2时，小盘→3柱，大盘→2柱，小盘从3柱→2柱，完成，即a2=3=22−1；n=3时，小盘→2柱，中盘→3柱，小盘从2柱→3柱，大盘→2柱，再用n=2的方法转移，即a3=7=23−1，……以此类推，an=2n−1，∴ a6=26−1=63．故选：D．11．（2024七年级上·全国·专题练习）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第12个图案中共有小三角形的个数是 ．【思路点拨】此题考查图形的变化规律，观察与比较每个图案相同点与不同点，得出后一个图案总是在与之相邻的前一个图案基础上有规律地增加小三角形数，即在前一个图案的基础上增加比图案序号数多3个的小三角形数，从而解决该题，解决本题的关键是找出图形之间的运算规律．【详解】解：当n=1时，第1个图案的小三角形的个数是=2（个）)．当n=2时，第2个图案的小三角形的个数是=3+2=5（个）．当n=3时，第3个图案的小三角形的个数是=3×2+2=8（个）．当n=4时，第4个图案的小三角形的个数是=3×3+2=11（个）．以此类推，第n个图案的小三角形的个数是=3(n−1)+2=3n−1；∴第12个图案中共有小三角形的个数是3×12−1=35（个），故答案为：35．12．（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，一张长方形的桌子可坐6人，按照图中方式继续摆放桌子和椅子，若拼成一张大桌子后，座位刚好可坐38人，则共需要这种长方形桌子 张【思路点拨】本题考查了图形规律问题，根据图形得出2张桌子，3张桌子拼在一起可坐的人数，然后得出每多一张桌子可多坐4人的规律，进而得出n张桌子拼在一起可坐4n+2人，再列方程解答即可．【解题过程】解：由图可知，1张长方形桌子可坐6人，6=4×1+1，2张桌子拼在一起可坐10人，10=4×2+2，3张桌子拼在一起可坐14人，14=4×3+2，…以此类推，每多一张桌子可多坐4人，所以，n张桌子拼在一起可坐4n+2人；若拼成一张大桌子后，座位刚好可坐38人，可得：4n+2=38，解得：n=9故答案为：913．（2024七年级上·全国·专题练习）下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的，如图①，正方形的个数为8，周长为18．  （1）推测第4个图形中，正方形的个数为 ，周长为 ；（2）推测第n个图形中，正方形的个数为 ，周长为 ；（都用含n的代数式表示）．【思路点拨】（1）依次数出n=1，2，3，4时正方形的个数，算出图形的周长；（2）根据规律以此类推，可得出第n个图形中，正方形的个数为及周长；本题考查了根据图示寻找规律，读懂题意，找出规律是解题的关键．【解题过程】解：（1）因为n=1时，正方形有8个，即8=5×1+3，周长是18，即18=10×1+8，n=2时，正方形有13个，即13=5×2+3，周长是28，即28=10×2+8，n=3时，正方形有18个，即18=5×3+3，周长是38，即38=10×3+8，n=4时，正方形有23个，即23=5×4+3，周长是48，即48=10×4+8，故答案为：① 23；② 48；（2）解：由（1）总结可得，第n个图形时，正方形有5n+3个，周长是10n+8，故答案为：③ 5n+3，④ 10n+8．14．（24-25七年级上·全国·期中）如图，从原点A开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆；⋯按此规律，继续画半圆，则第7个半圆的面积为 ．（结果保留π）【思路点拨】本题以图形作为背景考查数字变化规律，根据已知得出第n个半圆的直径为2n−1是解题的关键．先根据规律得出第n个半圆的直径为2n−1，再除以2得到半径，进而可求出第7个半圆的面积．【解题过程】解：根据已知可得出第n个半圆的直径为2n−1，∴第7个半圆的直径为：27−1=26=64，半径为32，第7个半圆的面积为：12×π×322=512π， 故答案为：512π．15．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，圆桌周围有20个箱子，按顺时针方向编号1～20，小明先在1号箱子中丢入一颗红球，然后沿着圆桌按顺时针方向行走，每经过一个箱子丢一颗球，规则如下：①若前一个箱子丢红球，则下一个箱子就丢绿球．②若前一个箱子丢绿球，则下一个箱子就丢白球．③若前一个箱子丢白球，则下一个箱子就丢红球．他沿着圆周走了2024圈，求4号箱内有 颗红球．【思路点拨】本题考查了图形的变化规律，根据题意先找到各个红球都在那个箱内，然后找到哪一圈会在4号箱内丢红球，从而得到规律即可求解，根据题意找到变化规律是解题的关键.【解题过程】解：根据题意可知，第1圈红球在1、4、7、10、13、16、19号箱内，第2圈红球在2、5、8、11、14、17、20号箱内，第3圈红球在3、6、9、12、15、18号箱内，第4圈红球在1、4、7、10、13、16、19号箱内，⋯，∴第1、4、7、10⋯2023圈会在4号箱内丢一颗红球，∵2023−1÷3=674，∴红球颗数为674颗，故答案为：674．16．（23-24七年级上·浙江温州·期中）排球比赛时，甲方6名队员开始站位如图所示，比赛开始由甲方1号位的选手发球，再轮到甲方选手发球时是第二轮发球，此时甲方全体队员按顺时针方向转一个位置（转一圈），即1号位的队员到6号位置，6号位到5号位，…，此时2号位队员到1号位置发球，以此类推，如果甲方选手小花开场时站在6号位置，记a1=6；甲方第二轮发球时，小花站在a2号位置，…，这场比赛甲方发了21轮球，则a1+a2+…+a21的值为 ．【思路点拨】此题主要考查了图形的变化规律，根据题意列举发现发球轮数与所占位置的规律是解题关键．分别列举出发球与所占位置的规律，进而得出两者之间的数字规律进而得出答案．【解题过程】解：小花上场时，站在6号位置，第1轮发球时，站在⑥号位置，则a1=6；第2轮发球时，站在⑤号位置，则a2=5；第3轮发球时，站在④号位置，则a3=4；第4轮发球时，站在③号位置，则a4=3；第5轮发球时，站在②号位置，则a5=2；第6轮发球时，站在①号位置，则a6=1；第7轮发球时，站在⑥号位置，则a7=6；第8轮发球时，站在⑤号位置，则a8=5；…由此可得，每6轮重复出现相应的位置上，∵21÷6=3……3，6+5+4+3+2+1=21，∴a21=4∴a1+a2+…+a21=6+5+4+3+2+1+6+…+6+5+4=21×3+6+5+4=63+15=78．故答案为：7817．（23-24七年级上·安徽·单元测试）观察下列图形中点的个数．（1）图2中点的个数是 ；（2）若按其规律再画下去，如果图形中有36个点，那它是第 个图形；（3）若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为 （用含n的代数式表示）．【思路点拨】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题．（1）图2中点的个数为：1+3+5=9;（2）由第1个图形中点的个数为：1+3=4=22， 第2个图形中点的个数为：1+3+5=9=32，第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16=42，得出第n个图形中点的个数为：1+3+5++2n+1=n+12，进一步得出36=5+12,也就是第5个图形；（3）利用 （2）中的规律得出答案即可．【解题过程】（1）解：图2中点的个数是：1+3+5=9，故答案为：9；（2）解：第1个图形中点的个数为：1+3=4=22,第2个图形中点的个数为：1+3+5=9=32,第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16=42，…∴第n个图形中点的个数为：1+3+5+⋯+2n+1=n+12，∴36=5+12,∴是第5个图形，故答案为：5；（3）解：第n个图形中点的个数为：1+3+5++2n+1=n+12.故答案为：n+12．18．（23-24七年级上·北京通州·期末）现有一个长方形ABCD的宽为1，长为aa>1的纸片，先剪去一个正方形，余下一个长方形，在余下的长方形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个长方形……，依此类推，如图是剪3次后余下的长方形恰好是正方形的其中一种示意图及相应a的值，请画出（与示意图不同）剪3次后余下的长方形恰好是正方形的示意图，并写出相应a的值．【思路点拨】a有四个值：当a=4时，三个最大的正方形边长都为1，余下的正方形边长为1；当a=52时，第一个和第二个正方形边长都为1，第三个正方形边长为12，余下的正方形边长为12；当a=53时，第一个正方形边长为1，第二个正方形边长为23，第三个正方形边长为13，余下的正方形边长为13；当a=43时，第一个正方形边长为1，第二个和第三个正方形边长都为13，余下的正方形边长为13．【解题过程】解：①如图，a=1+1+1+1=4；②如图，a=1+1+12=52；③如图，a=1+13+13=53；④如图，a=1+13=43．19．（24-25七年级上·全国·单元测试）观察如图所示的图形，回答下列问题：（1）图中的点被线段隔开分成四层，第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有5个点，第四层有______个点；（2）如果要你继续画下去，那么第五层有多少个点？（3）某一层有77个点，你知道这是第几层吗？（4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和是多少？前四层的和是多少？根据你的推测，前十二层的和是多少？【思路点拨】本题考查了图形类规律探索，正确得出规律是解此题的关键．（1）由图形即可得出答案；（2）由题意得出规律：第n层有2n−1个点，由此计算即可得解；（3）由（2）可得，第n层有2n−1个点，令2n−1=77，计算即可得解；（4）分别计算出第一层与第二层的和，前三层的和、前四层的和，得出规律前n层的和是n2，即可得解．【解题过程】（1）解：由图可得：第四层有7个点；（2）解：∵第一层有1=2×1−1个点，第二层有3=2×2−1个点，第三层有5=2×3−1个点，第四层有7=2×4−1个点，…，∴第n层有2n−1个点，∴第五层有2×5−1=9个点；（3）解：由（2）可得，第n层有2n−1个点，令2n−1=77，解得：n=39，∴某一层有77个点，这是第39层；（4）解：第一层与第二层的和是：1+3=4=22，前三层的和是：1+3+5=9=32；前四层的和是：1+3+5+7=16=42；…，故前n层的和是：n2，∴前十二层的和是：122=144．20．（23-24七年级上·福建三明·期中）（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：第1个点阵：   1+3+1=12+22第2个点阵：  1+3+5+3+1=______＋______第3个点阵：  1+3+5+7+5+3+1=______＋______（2）观察猜想，写出第n个点阵相对应的等式．（3）根据以上猜想，求出1+3+5+…+199+201+199+…+5+3+1的值．【思路点拨】（1）根据点阵图即可求解；（2）根据（1）中的3个等式得出规律，进而写出第n个点阵相对应的等式；（3）根据（2）中得出的规律，进行计算即可．【解题过程】解：（1）由图可得：1+3+5+3+1=22+32，1+3+5+7+5+3+1=32+42，故答案为：22，32，32，42；（2）∵第1个点阵：   1+3+1=12+22第2个点阵：  1+3+5+3+1=22+32第3个点阵：1+3+5+7+5+3+1=32+42…∴第n个点阵相对应的等式为：1+3+5+…+2n−1+2n+1+2n−1+…+5+3+1=n2+n+12；（3）由（2）可得：1+3+5+…+2n−1+2n+1+2n−1+…+5+3+1=n2+n+12，∵2n+1=201，∴n=100，∴1+3+5+…+199+201+199+…+5+3+1=1002+100+12=1002+1012=10000+10201=20201．21．（24-25七年级上·全国·单元测试）将一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的等边三角形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去．（1）如果剪n次共能得到 个等边三角形．（2）若原等边三角形的边长为1，设an表示第n次所剪出的小等边三角形的边长，如a1=12．①试用含n的式子表示an= ；②计算a1+a2+a3+⋯an= ．【思路点拨】本题主要考查图形变化的规律、数字变化规律等知识点，能根据所给图形发现三角形的个数及边长的变化规律是解题的关键．（1）观察发现：每剪一次，等边三角形的个数增加3，据此写出代数式即可；（2）①依次求出等边三角形的边长，根据发现的规律即可解答；②运用①中的结论进行解答即可．【解题过程】（1）解：由题意可知：剪1次共得到的等边三角形个数为：4=1×3+1；剪2次共得到的等边三角形个数为：7=2×3+1；剪3次共得到的等边三角形个数为：10=3×3+1；…，所以剪n次共得到的等边三角形个数为3n+1个．故答案为：3n+1．（2）解：①因为原等边三角形的边长为1，所以第1次所剪出的小等边三角形的边长为：12；第2次所剪出的小等边三角形的边长为：14=122；第3次所剪出的小等边三角形的边长为：18=123；…，所以第n次所剪出的小等边三角形的边长为：12n，即an=12n，故答案为：12n；②由①题可知：a1+a2+a3+．．．+an=12+122+123+⋯+12n；令S=12+122+123+⋯+12n①，则2S=1+12+122+⋯+12n−1②，②−①得：S=1−12n ，即a1+a2+a3+．．．+an=1−12n．故答案为：1−12n．22．（23-24六年级上·山东威海·期末）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推．（1）阴影部分的面积是______；（2）以下是甲，乙两位同学求S=12+122+123+124+125+126的方法；甲同学的方法：利用已给正方形图形求，S=1−S阴影；乙同学的方法：S=12+122+123+124+125+126①2S=1+12+122+123+124+125②②－①即可．根据两位同学的方法，你认为S=______；（3）12+122+123+124+⋅⋅⋅+127=______；（4）计算：12+122+123+124+⋅⋅⋅+122024；（5）请借助甲，乙同学的方法，分别求出14+142+143+144+⋅⋅⋅+142024的值．【思路点拨】本题考查了图形规律的探究，有理数的运算．熟练掌握图形规律的探究，有理数的运算是解题的关键．（1）根据S阴影=1×12×12×12×12×12×12，计算求解即可；（2）甲同学： S=1−S阴影=1−164；乙同学：②−①得，S=1−126，计算求解即可；（3）设T=12+122+123+124+⋅⋅⋅+127，则2T=1+12+122+123+124+⋅⋅⋅+126，T=1−127，计算求解即可；（4）同理（3）计算求解即可；（5）甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的14，依此类推，则图中阴影部分的面积为143=1−34−342−343，可得一般性规律为14n=1−34−342−343−......−34n，整理得1−14n=314+142+143+......+14n，然后求解即可；乙同学：令S=14+142+143+144+⋅⋅⋅+142024，则4S=1+14+142+143+144+⋅⋅⋅+142023，3S=1−142024，计算求解即可．【解题过程】（1）解：由题意知，S阴影=1×12×12×12×12×12×12=164，故答案为：164；（2）解：甲同学： S=1−S阴影=1−164=6364；乙同学：S=12+122+123+124+125+126①，2S=1+12+122+123+124+125②②−①得，S=1−126=6364，故答案为：6364；（3）解：设T=12+122+123+124+⋅⋅⋅+127，则2T=1+12+122+123+124+⋅⋅⋅+126，∴T=1−127=127128，故答案为：127128；（4）解：令S=12+122+123+124+⋅⋅⋅+122024，则2S=1+12+122+123+124+⋅⋅⋅+122023，∴S=1−122024，∴12+122+123+124+⋅⋅⋅+122024=1−122024；（5）解：甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的14，依此类推， 则图中阴影部分的面积为143=1−34−342−343，∴可得一般性规律为：14n=1−34−342−343−......−34n，整理得1−14n=314+142+143+......+14n，∴14+142+143+144+⋅⋅⋅+142024=131−142024；乙同学：令S=14+142+143+144+⋅⋅⋅+142024，则4S=1+14+142+143+144+⋅⋅⋅+142023，∴3S=1−142024，解得，S=131−142024，∴14+142+143+144+⋅⋅⋅+142024的值为131−142024．