2024-2025学年山西省晋中市平遥县部分高中学校高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年山西省晋中市平遥县部分高中学校高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，已知点A(1,−2,3)，B(−3,0,1)，则线段AB的中点坐标是( )
A. (−1,−1,2)B. (1,1,−2)C. (2,2,−4)D. (−2,−2,4)
2.已知a=(3,−2,−3)，b=(−1,x−1,1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是( )
A. (−2,+∞)B. (−2,53)∪(53,+∞)
C. (−∞,−2)D. (53,+∞)
3.若a=(x,2y−1,−14)是平面α的一个法向量，且b=(−1,2,1)，c=(3,12,−2)与平面α都平行，则向量a=( )
A. (−2752,−5326,−14)B. (−952,−5326,−14)C. (−952,−2752,−14)D. (−952,126,−14)
4.已知点A(1,4)，B(3,−2)，则经过线段AB的中点，且与直线x−2y+9=0平行的直线的方程为( )
A. x−2y−8=0B. x−2y=0C. 2x+y−10=0D. 2x+y−5=0
5.若直线l：Ax+By+C=0的倾斜角为α，则“A⋅B0，
令y=0，得A(−1k−2,0)；
令x=0，得B(0,2k+1)，
因为△OAB是直角三角形，
所以△OAB的面积S=12|OA||OB|=12⋅|−1k−2|⋅|2k+1|=2k+12k+2≥2 2k⋅12k+2=4，
当且仅当2k=12k，即k=12时等号成立，
故△OAB面积的最小值为4．
18.解：(1)因为BC边所在直线过点P(5,9)，
所以直线BC的方程为：y+3=9−(−3)5−2(x−2)，
即4x−y−11=0，在菱形ABCD中可知AD//BC，
所以设直线AD的方程为4x−y+m=0，将点A(−4,7)代入4⋅(−4)−7+m=0，
所以m=23，
所以直线AD的方程为：4x−y+23=0；
(2)由题意可得线段AC的中点M(−4+22,−3+72)，即M(−1,2)，
kAC=7−(−3)−4−2=−53，
因为菱形的对角线互相垂直平分，所以直线BD的斜率为35，
所以BD所在的直线方程为y−2=35(x+1)，即3x−5y+13=0．
19.解：(1)如图，取AD的中点F，连接PF，EF．
∵底面ABCD是正方形，PA=PD，∴AD⊥EF，AD⊥PF．
∵EF∩PF=F，EF,PF⊂平面PEF，∴AD⊥平面PEF．
又∵PE⊂平面PEF，∴AD⊥PE．
(2)由(1)可知，二面角P−AD−B的平面角为∠PFE，且为2π3，
过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O，
∵AD⊥平面PEF，PO⊂平面PEF，∴PO⊥AD，
∵AD∩EF=F,AD,EF⊂平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，
以O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

易得∠PFO=π3，PF=2，OF=1，PO= 3，
则P0,0, 3，A1,1,0，B1,3,0，C−1,3,0，D−1,1,0，
PA=1,1,− 3，AB=0,2,0，DP=1,−1, 3，PC=−1,3,− 3，
设平面PAB的法向量为n=x,y,z，则n⋅PA=0,n⋅AB=0,
得x+y− 3z=0,2y=0,取z=1，则n= 3,0,1．
设PG=λPC=−λ,3λ,− 3λ，λ∈0,1，
则DG=DP+PG=1−λ,3λ−1, 3− 3λ，
设直线DG与平面PAB所成的角为θ，
则sin θ=|cs ⟨DG,n⟩|=|DG⋅n|DG||n||= 3(1−λ) (1−λ)2+(3λ−1)2+3(1−λ)2= 31−λ 3λ−12+41−λ2，
令t=1−λ，则t∈0,1，sinθ= 31−λ 3λ−12+41−λ2= 3t 2−3t2+4t2= 3 t213t2−12t+4．
当t=0时，sinθ=0，θ=0；
当t≠0时，sinθ= 3× 14t2−12t+13= 3× 141t−322+4，
当1t=32，即t=23，λ=13时，sinθ取得最大值，且最大值为 32，此时θ=π3．
所以直线DG与平面PAB所成角的最大值为π3．