山西省晋中市平遥县部分高中学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题（Word版附解析）

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.2．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在空间直角坐标系中，已知点，则线般的中点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设线般的中点坐标为，则，由空间向量的坐标运算即可求解.
【详解】设线般的中点坐标为，
由可得，
所以可得，所以线般的中点坐标是，
故选：A.
2. 已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据与的夹角为钝角，所以且与不共线，列出不等式组，即可解出．
【详解】由题知，且与不共线，即 ，
解得且．
故选：B．
【点睛】本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角问题，解题关键是向量夹角大小与数量积符号之间的等价转化．
3. 若是平面的一个法向量，且与平面都平行，则向量等于（ ）
A. （）B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知，均与法向量垂直，利用空间向量垂直坐标表示，列出方程组求解即可．
【详解】因为是平面的一个法向量，且与平面都平行，
则，即，
解得，
所以．
故选：D．
4. 已知点，，则经过线段AB的中点，且与直线平行的直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出线段AB中点的坐标，根据直线间的平行关系设所求直线方程，代入所过点坐标求得参数，即得答案.
【详解】由点，，得线段AB中点的坐标为，
故过点且与直线平行的直线的方程可设为，
代入点，可得，故所求直线方程为，
故选：B
5. 若直线：倾斜角为，则“”是“不是钝角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据一般方程的斜率公式，结合特殊倾斜角情况和充分与必要条件的定义判断即可.
【详解】若，则的斜率，则不是钝角.
若或，则.
故“”是“不是钝角”的充分不必要条件.
故选：A
6. 已知点，，，若A是直线：和：的公共点，则直线BC的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件说明点与均满足方程，即可得答案.
【详解】由点在：上可知，，
同理由点在：上可知，
故点与均满足方程，
由于两点确定一条直线，因此直线BC的方程为，
故选：B
7. 如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后平面与平面夹角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】因为菱形纸片沿对角线折成直二面角，
所以平面平面，
因为是菱形，是的中点，
所以，，
而平面平面，平面，
所以平面，而平面，
所以，
以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，
为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，．
设平面的法向量为，
则得取，则，
得平面的一个法向量为，
易得平面的一个法向量为，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
故选：A

8. 正方体的棱长为2，P是空间内的动点，且，则的最小值为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取的中点M，连接，取的中点N，连接，则由已知条件可得动点P的轨迹为正方体的外接球，然后由向量的运算可得，从而可求得结果.
【详解】取的中点M，连接，
则，则，即，
故动点P的轨迹为以M为球心，为半径的球.
由正方体的棱长为2，可知正方体外接球的半径为3，
即动点P的轨迹为正方体的外接球.
取的中点N，连接，
则
.
由题可知，，则，，
则.
所以的最小值为，
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知空间中三点则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D. 在上投影向量的长度为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标运算，可得答案.
【详解】对于A，由，则，故A正确；
对于B，由，，因为，所以两向量显然不平行，故B错误；
对于C，由，，则，故C正确；
对于D，在上投影向量的长度为，故D正确.
故选：ACD.
10. 直线l过点，倾斜角为，且，则直线l经过点（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由二倍角的正切公式求斜率，再由点斜式得到直线的方程，代入点的坐标验证可得.
【详解】因为，所以，
则直线l斜率为，又直线l过点，
所以直线l方程为，即.
对方程，
令，得，故A正确；
令，得，故B正确；
令，得，故C正确；
将点代入方程左式得，故D错误.
故选：ABC.
11. 直线：与：在同一平面直角坐标系内的位置可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A选项，利用两条直线斜率和截距的大小关系进行判定；对于B选项当时，符合题意；对于C选项，当或时，符合题意；对于D选项，根据一条直线斜率不存在即可判断.
【详解】对于A选项，两条直线的斜率和截距均大于0，且其中一条直线的斜率和截距均大于另一条直线的斜率和截距，不符合题意，A不正确．
对于B选项，当时，符合题意，B正确．
对于C选项，当或时，符合题意，C正确．
对于D选项，其中一条直线斜率不存在，不符合题意，D不正确．
故选：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如图，圆锥轴截面是边长为2的等边三角形，O为底面中心，为中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），若，则与底面所成角的正弦值的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】先建立坐标系，设出P点坐标，求出，利用，求出OP的最大值和最小值，从而求解.
【详解】由题意，建立空间直角坐标系，如图所示，
面，则即为与底面所成角
则
设，
，，
由，即
得，，
则
则OP的最小值为，最大值为1，
PM的最小值为，最大值为，
所以与底面所成角的正弦值的最大值为，最小值为，
故答案为：
13. 如图，已知二面角的平面角大小为，四边形，均是边长为4的正方形，则________．

【答案】
【解析】
【分析】由，两边平方，利用数量积运算性质计算即可.
【详解】因为，
所以
又二面角的平面角大小为，
四边形，均为边长为4正方形，
所以，
，
，
所以，则．
故答案为：
14. 某公园的示意图为如图所示的六边形，其中，，，，且，米，米．若计划在该公园内建一个有一条边在上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为________．

【答案】
【解析】
【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用直线方程得出，，再由面积公式结合二次函数的性质求解.
【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，娱乐健身区域为矩形．

由题可知，直线的方程为，直线的方程为．
设，其中，则，，
则，，
四边形的面积．
当时，取得最大值．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，，．是否存在点D，使四边形ABDC为等腰梯形，且?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】不存在，理由见解析
【解析】
【分析】假设存在点满足条件， 得出向量，的坐标，由四边形是等腰梯形，且，且，求出的值，再检验即可得.
【详解】由已知得，，则三点不共线.
假设存在点满足条件，
则，．
因为四边形是等腰梯形，且，所以．
即
所以，
解得或．
当，，时，
，且三点不共线，
故此时四边形为平行四边形，不合题意；
当，，时，点与点重合，不合题意．
故假设不成立，即不存在满足条件的点．
16. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）由等体积法运算即可得解；
（2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.
【小问1详解】
在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，
则，
解得，
所以点A到平面的距离为；
【小问2详解】
取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，所以平面，
所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得，所以，，所以，
则,所以的中点，
则，,
设平面的一个法向量，则，
可取，
设平面的一个法向量，则，
可取，
则，
所以二面角的正弦值为.
17. 已知直线：.
（1）证明无论为何值，直线经过定点，并求出点的坐标；
（2）若斜率大于0，且经过（1）中点的直线与轴，轴分别交于，两点，为坐标原点，求面积的最小值.
【答案】（1）证明见解析，点的坐标为
（2）4
【解析】
【分析】（1）利用直线系方程即可证明，运算即可得解.
（2）利用直线方程、三角形面积公式、基本不等式运算即可得解.
【小问1详解】
解：证明：将直线的方程转化为，
令，解得，
故无论为何值，直线经过定点，且点的坐标为.
【小问2详解】
解：由题意可设该直线的方程为，
令，得；令，得，
因为是直角三角形，
所以的面积
，
当且仅当即时，等号成立，
故面积的最小值为4.
18. 已知菱形中，，，边所在直线过点．求：
（1）边所在直线的方程；
（2）对角线所在直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用互相平行的直线斜率相等，利用点斜式即可得直线方程；
（2）由互相垂直的直线斜率间关系，以及中点，利用点斜式可得直线方程.
【小问1详解】
由已知得直线，
又，
边所在直线的方程为：，
即
【小问2详解】
由已知得与互相垂直平分，
又，且中点为，
，
所在直线方程为：，
即.
19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E为BC的中点．

（1）证明：．
（2）若二面角的平面角为，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取AD的中点F，可证得，，从而平面PEF，根据线面垂直的性质可得结论；
（2）过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O，可得平面，以O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系．写出点的坐标，求出平面PAB的法向量，可得直线DG与平面PAB所成的角的正弦值的表达式，结合换元法及二次函数的性质得出答案.
【小问1详解】
如图，取AD的中点F，连接PF，EF．
∵底面ABCD是正方形，，∴，．
∵，平面PEF，∴平面PEF．
又∵平面PEF，∴．
【小问2详解】
由（1）可知，二面角的平面角为，且为，
过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O，
∵平面PEF，平面PEF，∴，
∵平面，∴平面，
以O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

易得，，，，
则，，，，，
，，，，
设平面PAB的法向量为，则
得取，则．
设，，则，
设直线DG与平面PAB所成的角为，
则，
令，则，．
当时，，；
当时，，
当，即，时，取得最大值，且最大值为，此时．
所以直线DG与平面PAB所成角的最大值为．