2024-2025学年广西部分学校高二（上）入学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广西部分学校高二（上）入学数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在复平面内，复数2−ii对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知△ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(3,1)，C(5,m)，且∠ABC=π2，则m=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
3.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=π4,a=3,b=2，则sinB=( )
A. 24B. 26C. 22D. 23
4.直线 3x−3y−1=0的倾斜角为( )
A. 30°B. 135°C. 60°D. 150°
5.把函数f(x)=sin(4x+π3)的图象向左平移a(a>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，f(x)图象的对称轴与g(x)图象的对称轴重合，则a的值可能为( )
A. π6B. π12C. π4D. π8
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanB=− 3，b= 3ac，则(a+c)2ac=( )
A. 6B. 4C. 3D. 2
7.若α+β=3π4,tanα=2，则sin(α−β)cs(α−β)−sinαsinβ=( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
8.已知圆锥A1O在正方体ABCD−A1B1C1D1内，AB=2，且A1C垂直于圆锥A1O的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为( )
A. 3π
B. 2π
C. 3π2
D. 2 3π3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若空间几何体A的顶点数和空间几何体B的顶点数之和为12，则A和B可能分别是( )
A. 三棱锥和四棱柱B. 四棱锥和三棱柱C. 四棱锥和四棱柱D. 五棱锥和三棱柱
10.已知复数z=6i1−i，则( )
A. z−=3−3iB. |z|=3 2C. z的虚部为3D. zi=z−
11.对于直线l：(m−2)x+y−2m+1=0与圆C：x2+y2−6x−4y+4=0，下列说法不正确的是( )
A. l过定点(2,3)B. C的半径为9
C. l与C可能相切D. l被C截得的弦长最小值为2 7
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z=a2−1+(a+1)i是纯虚数，则实数a=______．
13.已知向量a,b的夹角为2π3，且|a|=5,|b|=4，则a在b方向上的投影向量为______．
14.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，AB=BD=2，点P到AD，BC的距离均为2，则四棱锥P−ABCD的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线l1：ax−(a−4)y+2=0，直线l2：2x+ay−1=0．
(1)若l1//l2，求实数a的值；
(2)若l1⊥l2，求实数a的值．
16.(本小题15分)
已知圆W经过A(4,4),B(2,2 3),C(2,−2 3)三点．
(1)求圆W的标准方程；
(2)判断圆C：x2+y2+2x+4y−4=0与圆W的位置关系．
17.(本小题15分)
在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为A1C1的中点.(1)求异面直线AE与B1C所成角的余弦值；
(2)求三棱锥A−B1CE的体积．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinCcsB=(a−1)csCsinB，b>1．
(1)证明：csC=1b；
(2)若a=2，△ABC的面积为1，求c．
19.(本小题17分)
如图，圆台的上底面直径AD=4，下底面直径BC=8，母线AB=4．
(1)求圆台的表面积与体积；
(2)若圆台内放入一个圆锥AO1和一个球O，其中O1在圆台下底面内，当圆锥AO1的体积最大时，求球O体积的最大值．
参考答案
1.C
2.D
3.D
4.A
5.C
6.B
7.B
8.C
9.AD
10.BCD
11.BC
12.1
13.−58b
14. 393
15.解：(1)因为l1//l2，所以a2+2(a−4)=0，
整理得a2+2a−8=(a−2)(a+4)=0，
解得a=2或a=−4．
当a=−4时，l1：−4x+8y+2=0，l2：2x−4y−1=0，l1，l2重合；
当a=2时，l1：2x+2y+2=0，l2：2x+2y−1=0，符合题意．
故a=2．
(2)因为l1⊥l2，所以2a−a(a−4)=0，
解得a=6或a=0．
16.解：(1)设圆W的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则4D+4E+F+32=02D+2 3E+F+16=02D−2 3E+F+16=0，
解得D=−8E=0F=0，
故圆W的方程为x2+y2−8x=0，标准方程为(x−4)2+y2=16．
(2)圆W的圆心为(4,0)，半径为4．
圆C的圆心为(−1,−2)，半径为3．
设两圆圆心的距离为d，则d= (−1−4)2+(−2)2= 29．
因为4−3< 290，故csC=1b；
(2)由a=2，△ABC的面积为1，
可得12absinC=12×2×1csC×sinC=tanC=1，
由C∈(0,π)，可得C=π4，
由余弦定理，有c2=a2+b2−2abcsC=4+b2−2×2×b×1b，
化简得b=c，故B=C=π4，则A=π2，
又a=2，所以b=c= 2．
19.解：(1)∵圆台的上底面直径AD=4，下底面直径BC=8，母线AB=4，
∴圆台的高为 42−(8−42)2=2 3，
∴圆台的表面积为π×(2+4)×4+4π+16π=44π，
圆台的体积为13×(4π+16π× 4π×16π)×2 3=56 33π；
(2)如图，设BC的中点为G，

则当O1为BG的中点时，圆锥AO1的体积最大，
由(1)可知AO1=2 3，BO1=GO1=2，∴AB=AG=BG=4，
∴△ABG为正三角形，∴四边形AGCD为边长为4的菱形，且∠GAD=60°，
此时体积最大的球O的半径R即为菱形AGCD的内切圆的半径，
∴2R=EF=AO1=2 3，∴R= 3，
∴所求球O体积的最大值为43πR3=43×π×3 3=4 3π．