清单02 一元二次方程（12个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）（解析版）

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【清单01】 一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
（1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数项的最高次数是2。
【清单02】 一元二次方程的一般形式
一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程
（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。
【清单03】一元二次方程的解
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
【清单04】 一元二次方程的重要结论
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。
（2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。
【清单05】 解一元二次方程
1.直接开方
注意： （1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数
（2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程
（3）方法是根据平方根的意义开平方
2.配方法
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．
总结：
3.公式法
用公式法求一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式，
（2）求出判别式
4.因式分解
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
【清单06】 一元二次方程的判别式
根的判别式：
① 时，方程有两个不相等的实数根；
② 时，方程有两个相等的实数根；
③时，方程无实数根，反之亦成立
【清单07】一元二次方程的根与系数
根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
解题技巧：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理
【清单08】一元二次方程的实际应用
1. 变化率问题
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b
2. 传染、枝干问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：
3. 握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。
4. 销售利润问题
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
5. 几何面积问题
（1）如图①，设空白部分的宽为x,则；
（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则
（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则

6. 动点与几何问题
关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.
（2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量为
【考点题型一】一元二次方程的概念
【典例1-1】下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B．x2=0C．x2+1x=1D．(x−1)2+1=x2
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】A、当a=0时，方程为bx+c=0是一元一次方程，该选项不合题意；
B、方程x2=0是一元二次方程，该选项符合题意；
C、方程x2+1x=1的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意；
D、方程(x−1)2+1=x2整理为−2x+2=0，是一元一次方程，该选项不合题意；
故选：B．
【典例1-2】若m−1xm+1−2x=3是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．−1B．1C．±1D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．
【详解】解：方程m−1xm+1−2x=3是关于x的一元二次方程，
∴m+1=2且m−1≠0，
解得m=−1，
故选：A．
【变式1-1】将一元二次方程2x2−4x=−5化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数和常数项分别为（ ）
A．4，5B．−4，5C．−4，−5D．5，4
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．把一元二次方程化为一般式，即可求解．
【详解】解：一元二次方程2x2−4x=−5的一般式为：2x2−4x+5=0，
若二次项的系数是2，则一次项系数和常数项分别为−4，5，
故选：B．
【变式1-2】若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是 ．
【答案】k≠3
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，先把方程化为一般式，再根据二次项系数不为0进行求解即可．
【详解】解：∵方程kx2+x=3x2+1，即k−3x2+x−1=0是一元二次方程，
∴k−3≠0，
∴k≠3，
故答案为：k≠3．
【变式1-3】一元二次方程3xx−1=2化成一般形式为 ，其中二次项系数为 ，常数项为 ．
【答案】 3x2−3x−2=0 3 −2
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式，找出二次项系数，常数项即可．
【详解】解：3xx−1=2，整理得：3x2−3x−2=0．
其中二次项系数为∶3，常数项为：−2．
故答案为：3x2−3x−2=0；3；−2
【考点题型二】一元二次方程的解
【典例2】已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，若a−b+c=0，则此方程必有一个根为（ ）
A．1B．0C．−1D．−2
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．将x=−1代入方程ax2+bx+c=0中的左边，得到a−b+c，由a−b+c=0得到方程左右两边相等，即x=−1是方程的解．
【详解】解：将x=−1代入方程ax2+bx+c=0中的左边得：a×−12+b×−1+c=a−b+c，
∵a−b+c=0，
∴x=−1是方程ax2+bx+c=0的根．
即方程的一个根为x=−1．
故选：C．
【变式2-1】关于x的方程x2−6x+k=0的一个根是2，则k的值是 ．
【答案】8
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把x=2代入计算即可求解．
【详解】解：根据题意，把x=2代入得，22−6×2+k=0，
解得，k=8，
故答案为：8 ．
【变式2-2】已知a是方程x2+x−1=0的一个根，则2024−2a2−2a的值为 ．
【答案】2022
【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．由题意得a2+a=1，根据2024−2a2−2a=2024−2a2+a，利用整体思想即可求解．
【详解】解：由题意得：a2+a−1=0
∴a2+a=1
∴2024−2a2−2a=2024−2a2+a=2024−2×1=2022
故答案为：2022．
【变式2-3】如果关于x的一元二次方程ax2+bx−1=0的一个解是x=1，则2023−a−b= ．
【答案】2022
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用一元二次方程解的定义得到a+b=1，然后把2023−a−b变形为2023−(a+b)，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把x=1代入方程ax2+bx−1=0得a+b−1=0，
所以a+b=1，
所以2023−a−b=2023−(a+b)=2023−1=2022.
故答案为：2022.
【变式2-4】若a是方程x2−2x−3=0的一个根，则代数式2a2−4a+1的值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出a2−2a−3=0，推出a2−2a=3，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵a是方程x2−2x−3=0的一个根，
∴a2−2a−3=0，
∴a2−2a=3，
∴2a2−4a+1=2a2−2a+1=2×3+1=7，
故答案为：7．
【考点题型三】解一元二次方程
【典例3】解下列方程：
(1)2x+12=18；
(2)x2−6x=11；
(3)3x2−4x−2=0；
(4)x−12=5x−5．
【答案】(1)x1=2,x2=−4
(2)x1=3+25,x2=3−25
(3)x1=2+103,x2=2−103
(4)x1=1,x2=6
【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，直接开平方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答；
（3）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答；
（4）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：2x+12=18
x+12=9
x+1=±3，
x+1=3或x+1=−3，
x1=2,x2=−4；
（2）解：x2−6x=11
x2−6x+9=11+9
x−32=20
x−3=±25，
x−3=25或x−3=−25，
x1=3+25,x2=3−25；
（3）解：3x2−4x−2=0，
Δ=−42−4×3×−2=40>0
∴x=4±402×3=2±103
x1=2+103,x2=2−103；
（4）解：x−12=5x−5
x−12=5x−1
x−12−5x−1=0
x−1x−1−5=0
x−1x−6=0
x−1=0或x−6=0，
x1=1,x2=6．
【变式3-1】一元二次方程x2−6x+5=0配方可变形为（ ）
A．x−32=4B．x+32=14C．x−32=14D．x+32=4
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的配方，正确掌握完全平方式的特点是正确配方的前提．方程两边都加上4，即可将原方程配方．
【详解】解：x2−6x+5=0，
∴x2−6x+5+4=4，
∴x−32=4，
故选：A．
【变式3-2】用公式法解方程x2+2x=−3时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ）
A．a=1，b=2，c=−3 B．a=1，b=2，c=0
C．a=1，b=2，c=3 D．a=0，b=2，c=−3
【答案】C
【分析】将方程化为一般式后，根据一元二次方程的一般形式确定a、b、c的值即可，注意：项的系数带着前面的符号．
【详解】解：方程整理得x2+2x+3=0，
∴a=1，b=2，c=3，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
【变式3-3】解一元二次方程：
(1)2x−32=9x+22；
(2)3x2+6x−4=0．
【答案】(1)x1=−9，x2=−35；
(2)x1=−1+213，x2=−1−213
【分析】（1）利用直接开平方法解答即可求解；
（2）利用公式法解答即可求解；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵2x−32=9x+22，
∴2x−3=±3x+2，
即2x−3=3x+2或2x−3=−3x+2，
解得x1=−9，x2=−35；
（2）解：∵a=3，b=6，c=−4，
∴Δ=62−4×3×−4=84>0，
∴x=−6±842×3=−6±2216，
∴x1=−1+213，x2=−1−213．
【变式3-4】用适当的方法解方程：
(1)3x2−2x=0；
(2)x−12=4；
(3)x2+2x−5=0；
(4)3x+2x+3=8x+15．
【答案】(1)x1=0，x2=23；
(2)x1=−1，x1=3；
(3)x1=−6−1，x2=6−1；
(4)x1=−1−132，x2=−1+132．
【分析】（1）利用因式分解法解答即可求解；
（2）利用直接开平方法解答即可求解；
（3）移项，利用配方法解答即可求解；
（4）把方程整理成一般式，再利用公式法解答即可求解；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵3x2−2x=0，
∴x3x−2=0，
∴x=0或3x−2=0，
∴x1=0，x2=23；
（2）解：∵x−12=4，
∴x−1=±2，
∴x1=−1，x1=3；
（3）解：∵x2+2x−5=0，
∴x2+2x=5，
∴x2+2x+1=6，
即x+12=6，
∴x+1=±6，
∴x1=−6−1，x2=6−1；
（4）解：方程整理得，x2+x−3=0，
∴a=1，b=1，c=−3，
∴Δ=12−4×1×−3=13>0，
∴x=−1±132×1=−1±132，
∴x1=−1−132，x2=−1+132．
【考点题型四】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况
【典例4】一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ=0，从而得出方程有两个相等的两个实数根，练掌握“当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．
【详解】解：∵在方程x2+2x+1=0中，Δ=22−4×1×1=0，
∴方程x2+2x+1=0有两个相等的两个实数根．
故选：A．
【变式4-1】关于x的一元二次方程x2+mx−8=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能判断
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2−4ac0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【考点题型五】根据一元二次方程根的根的情况求参数
【典例5】关于x的一元二次方程m−2x2+4x+2=0有两个实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】m≤4且m≠2
【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的定义以及根的判别式Δ=b2−4ac，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0，
解得k