清单03 概率投影和视图（8个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）（解析版）

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【清单01】 概率
1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ．
（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。
（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。
2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ．
（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。
（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.
（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.
（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。
（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1
当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1
不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0
随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1
（6）可能性与概率的关系
事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．

求概率方法：
（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。
（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
【清单02】 频率与概率
1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数
2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率
3、一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。
【清单03】 平行投影
1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.
2. 物高与影长的关系
（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.
（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.
即：.
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.
注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.
【清单04】 中心投影
若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
注意：
光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.
【清单05】 正投影
正投影的定义：

如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
(1)线段的正投影分为三种情况.如图所示.

①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；
②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；
③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.
(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示.

①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；
②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.
③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.
(3)立体图形的正投影.
物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.
【清单06】 三视图
视图的定义
从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.
（2）正面、水平面和侧面
用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水 平面，右边的面叫做侧面.
（3）三视图
一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.
（4）画图方法：
画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：
(1)确定主视图的位置，画出主视图；
(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.
注意：
画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.
【考点题型一】概率有关运算
【典例1-1】某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
(1)此次被调查的学生共有__________人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为__________；
(2)若该年级共有800名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数；
(3)九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率．
【答案】(1)100；72°
(2)估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人
(3)列表见解析，刚好抽中两名同学为一男一女的概率为23
【分析】本题主题考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、列表法求概率等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）利用“选择地点B的学生人数其÷其占比15%”求解即可；利用“360°×选择地点A的学生占比”求解即可；
（2）利用“该校学生总数×选择地点C的学生占比”，即可求得答案；
（3）根据题意列表，结合表格即可获得答案．
【详解】（1）解：此次被调查的学生共有15÷15%=100（人）；
研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为20100×360°=72°．
故答案为：100；72°；
（2）解：40÷100×100%×800=320（人），
答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人．
（3）解：列表如下：
由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种，
∴刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：P（一男一女）=812=23．
答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为23．
【典例1-2】一个不透明的盒子里装有除颜色外其它都相同的四个球，其中1个白球、1个黑球、2个红球，搅匀后随机从盒子中摸出两个球，则摸出两个红球的概率是（ ）
A．12B．14C．16D．19
【答案】C
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出两个红球的情况，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：画树状图得：
因为共有12种等可能的结果，其中摸出两个红球的有2种情况，
所以摸出1个白球的概率是212=16．
故选：C．
【变式1-1】某科室有3名医生，其中2名男医生和1名女医生，现随机选派两名医生前往某地震灾区参与救援工作，则选派的两名医生恰好是一男一女的概率是（ ）
A．13B．12C．23D．16
【答案】C
【分析】本题考查用列表或画树状图法求概率．正确的列出表格或画出树状图是解题关键．先列表，表示出所有可能的情况，再找出符合题意的情况，最后根据概率公式计算即可．
【详解】解：将两名男医生分别记为男1，男2，列表如下：
由表格可知，共有6种等可能的结果，其中选派的两名医生恰好是一男一女的结果有4种，
所以选派的两名医生恰好是一男一女的概率为46=23．
故选C
【变式1-2】同学们，你们知道“石头、剪子、布”的游戏吧！甲、乙两人做这种游戏，随机出手一次，则甲获胜的概率是（ ）
A．12B．13C．14D．15
【答案】B
【分析】此题主要考查了列表法和树状图法求概率知识，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲获胜的情况数，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，甲获胜的情况数是3种，
∴一次游戏中甲获胜的概率是：39=13．
故选：B．
【变式1-3】某同学手中有6张扑克牌，6张扑克牌上的数字依次为1，2，3，4，5，6．若从中同时取出两张牌，则牌面数字均为偶数的概率是 ．
【答案】15
【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，列出表格，共有30种等可能的情况，其中牌面数字均为偶数的情况有6种，利用概率公式计算即可．
【详解】解：列表如下：
由表格可知，共有30种等可能的情况，其中牌面数字均为偶数的情况有6种，
∴牌面数字均为偶数的概率是630=15．
故答案为：15
【变式1-4】南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．
(1)甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为______；
(2)求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．
【答案】(1)14
(2)14
【分析】题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数m，再找出某事件所占有的可能数n，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率=nm．
（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案．
【详解】（1）解：∵有标识为1、2、3、4的四个出入口，
∴甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为14，
故答案为：14；
（2）解：画树状图如下：
共有16种等可能结果，其中甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种结果，
∴甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率为416=14．
【变式1-5】我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容．为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）音乐社团、体育社团、美术社团、文学社团、电脑编程社团．
(1)小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是 ；
(2)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【答案】(1)15
(2)16
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
（1）直接利用概率公式计算；
（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲和乙两名同学的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】（1）解：根据题意：小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是15；
（2）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果数为2种，
所以恰好选中甲和乙两名同学的概率212=16．
【考点题型二 】利用频率估计概率
【典例2-1】某同学现有一装有若干个黄球的袋子．为了估计袋子中黄球的数量，该同学向这袋黄球中放入了30个绿球(所有球除颜色外其余均相同)，摇匀后随机抓取60个，其中绿球共计10个，则袋子中黄球的数量约为（ ）
A．200个B．180个C．240个D．150个
【答案】D
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，设黄球的数量为x，根据题意可得3030+x=1060，求出解即可．
【详解】设黄球的数量为x，根据题意得
3030+x=1060
解得x=150．
经检验是方程的解且符合题意 ，
所以袋子中黄球有150．
故选：D．
【典例2-2】某数学小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率并绘制了如图所示的折线统计图，该事件最有可能是（ ）
A．掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3
B．一个均匀的转盘被等分成10份，分别标有1~10这10个数字，任意转动转盘，转盘停止后，指针指向的数字是3的倍数
C．暗箱中有1张红桃K，1张黑桃K，1张梅花K，3张牌除花色外一模一样，从中任取1张牌是红桃 K
D．一个路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，随机经 过该路口时，遇到红灯的概率
【答案】C
【分析】本题主要考查概率公式的应用，用频率估计概率，解答本题的关键是求出各事件发生的概率．根据统计图可知发生的频率接近13，得出该事件发生的概率为13，然后逐项进行判断即可．
【详解】解：根据图象可知：发生的频率接近13，即该事件发生的概率为13；
A．掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3的概率为12，故A不符合题意；
B．一个均匀的转盘被等分成10份，分别标有1~10这10个数字，任意转动转盘，转盘停止后，指针指向的数字是3的倍数的概率为310，故B不符合题意；
C．暗箱中有1张红桃K，1张黑桃K，1张梅花K，3张牌除花色外一模一样，从中任取1张牌是红桃 K的概率为13，故C符合题意；
D．一个路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，随机经 过该路口时，遇到红灯的概率3030+5+40=3075=25，故D不符合题意．
故选：C．
【变式2-1】为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：
估计这种幼苗移植成活的概率是 （结果精确到0.1）．
【答案】0.9
【分析】本题考查了根据频率估计概率，正确理解概率是解题的关键，根据概率定义求解即可．
【详解】解：由表可得成活的频率mn在0.9的附近波动，
∴这种幼树移植成活率的概率为0.9．
故答案是：0.9
【变式2-2】一个袋子中有黑球、白球共10个，这些球除颜色外其余都相同，规定：每次只能从袋子里摸一个球出来，看过颜色后必须放回去．小明同学按规定摸出一个球．记录颜色，放回去，重复该步骤2000次．最终记录结果为黑球620次，白球1380次．由此可以估计．袋子里有 个白球．
【答案】7
【分析】本题考查了可能性的大小：利用实验的方法进行概率估算．当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．先计算出到白球的频率为0.7，利用频率估计概率，则摸到白球的概率为0.7，然后利用概率公式计算出口袋中白球的个数即可．
【详解】解：根据题意，摸到白球的频率为13802000=69100=0.69≈0.7，
估计摸到白球的概率约为0.7，
所以口袋中白球的个数为0.7×10=7（个），
即袋子里有7个白球的可能性最大．
故答案为：7
【变式2-3】在一个不透明的暗箱中装有红、黄、蓝三种除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黄球7个，蓝球a个，随机摸出一个小球记下颜色后，放回盒子里，摸到红球的频率稳定在25%左右，则a的值约为 ．
【答案】8
【分析】此题是利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：由题意可得：
55+7+a×100%=25%
解得，a=8，
经检验：a=8是原方程的解，且符合题意，
则a的值约为8．
故答案为8．
【变式2-3】老师将本题答案制作了一个二维码，并打印成面积为20cm2的正方形（如图所示），为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入白色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色部分的面积约是 ．
【答案】12cm2
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．
【详解】解：估计黑色部分的面积约为20×1−0.4=12cm2，
故答案为：12cm2．
【考点题型三】正投影
【典例3-1】某同学身高140cm，那么这名同学的正投影的长（ ）．
A．小于140cmB．等于140cmC．大于140cmD．小于或等于140cm
【答案】D
【分析】本题考查了正投影的定义，在物体的平行投影中，投影线垂直于投影面，则该平行投影称为正投影，分两种情况：当投影线垂直于地面时，当投影线平行于地面时，即可得出答案，熟练掌握正投影的定义是解此题的关键．
【详解】解：当投影线垂直于地面时，此时这名同学的正投影的长为小于140cm，
当投影线平行于地面时，此时这名同学的正投影的长为等于140cm，
综上所述，某同学身高140cm，那么这名同学的正投影的长小于或等于140cm，
故选：D．
【典例3-2】物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个三角板的正投影不可能是（ ）
A．一条线段B．一个与原三角板全等的三角形
C．一个等腰三角形D．一个小圆点
【答案】D
【分析】由三角板所在的平面与投影光线的关系逐一分析可得答案．
【详解】解：当三角板所在的平面与投影光线平行时，可得投影是一条线段，故A不符合题意；
当三角板所在的平面与投影光线垂直时，可得投影是一个与原三角板全等的三角板，故B不符合题意；
当三角板所在的平面与投影光线成一定的角度时，可得投影是一个变形的三角板，可能为等腰三角形，不可能是一个点，故C不符合题意；D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是投影的含义，理解物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关是解本题的关键．
【变式3-1】一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】正投影即投影线垂直于顶面产生的投影，据此直接选择即可．
【详解】光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是
故选：B．
【点睛】此题考查平行投影，解题关键此五棱柱的正投影与顶面的形状大小完全相同．
【变式3-2】一个矩形木框在地面上形成的投影不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据投影的特点进行判断即可．
【详解】解：一个矩形木框在地面上形成的投影可能是一条线段、一个矩形、一个平行四边形，而不可能是一个梯形，故A符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了投影与视图，解题的关键是熟练掌握投影的特点．
【变式3-3】把一个正六棱柱如图水平放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正投影的特点及图中正六棱柱的摆放位置即可直接得出答案．
【详解】解：把一个正六棱柱如图摆放，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是矩形．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正投影的性质，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形．
【变式3-4】如图，若投影线的方向如箭头所示，则图中物体的正投影是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正投影的定义，得出圆柱的正投影为长方形，正方体的正投影为正方形，即可求解．
【详解】解：观察图中的两个立体图形，圆柱的正投影为长方形，正方体的正投影为正方形，
故选：C．
【点睛】本题考查了正投影，掌握正投影的定义是解题的关键．正投影是指平行投射线垂直于投影面．
【考点题型四】平行投影
【典例4-1】下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行投影的定义判断即可．本题考查平行投影，解题的关键是掌握平行投影的定义．
【详解】解：这里属于平行投影，两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是：
故选：A．
【典例4-2】小军和小文利用阳光下的影于来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为20米，0A的影长OD为24米，小军的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且OA⊥OD，EF⊥FG．
(1)①图中阳光下的影子属于 （填“中心投影”或“平行投影”）②线段AD、线段BC与线段EG之间的位置关系为 ．
(2)已知小军的身高E为1.8米，求旗杆的高AB．
【答案】(1)①平行投影；②AD∥BC∥EG（或答“平行”）
(2)旗杆AB的长为3米
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定．
（1）根据平行投影和中心投影的定义即可做出判断．
（2）证明△AOD∼△EFG，利用相似比计算出AO的长，再证明△BOC∼△AOD，然后利用相似比计算OB的长，进一步计算即可求解．
【详解】（1）①根据题意可知是平行投影；
②AD∥BC∥EG（或答“平行”）；
故答案为：①平行投影；②AD∥BC∥EG（或答“平行”）．
（2）∵OA⊥OD，EF⊥FG，
∴∠AOD＝∠EFG＝90°，
∵AD∥EG，
∴∠D=∠G，
∴△AOD∼△EFG，
∴OAEF=ODFG，
∴OA1.8=242.4．
∴OA=18
CD=OD−OC=4，
∵AD∥BC，
∴ABOA=CDOD，
∴AB18=424，
∴AB=3（米），
所以，旗杆AB的长为3米，
【变式4-1】小红同学在校运会的第一天下午先参加了200米的比赛，一小时后再参加了400米的比赛，摄影老师在同一个位置拍摄了她参加这两场比赛的照片（如图），其中她参加400米比赛的照片是 （填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【分析】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．在不同时刻，同一物体在太阳光下形成的影子的大小和方向不同，依此进行分析．
【详解】解：∵太阳光线是平行光线，
∴下午的影子随时间的变化，由短变长，
∴她参加400米比赛的照片是甲．
故答案为：甲．
【变式4-2】在阳光下，身高1.6米的小明在地面上的影长为0.4米，同一时刻旗杆的影长为3米，则旗杆的高度为 米．
【答案】12
【分析】本题考查平行投影，根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，进行求解即可．
【详解】解：设旗杆的高度为x米，由题意，得：，
解得：x=12；
故答案为：12．
【变式4-3】古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长32米，它的影长FD是3米，同一时测得OA是274米，则金字塔的高度BO是 米．
【答案】137
【分析】本题考查平行投影，根据同一时刻，物高与影长对应成比例，列出比例式进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：EFFD=OBOA，
即：323=OB274，
∴OB=137；
故答案为：137．
【变式4-4】某学校旁有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天小明发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC=5米，长方形广告牌的长HF=4米，高HC=3米，DE=4米，则电线杆AB的高度是 米．
【答案】334/814/8.25
【分析】此题考查的平行投影，相似三角形的应用举例，在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例．过点G作GQ⊥BE于点Q，GP⊥AB于点P，得出四边形BQGP是矩形，由题意得△APG∽△FDE，然后根据实际高度和影长成正比例列式，求解即可．
【详解】如图， 过点G作GQ⊥BE于点Q，GP⊥AB于点P，
根据题意得出，四边形BQGP是矩形，BP=GQ=3米，
根据实际高度和影长成正比例，得出△APG∽△FDE，
∴APDF=PGDE，
∴AP3=5+24，
∴AP=214，
∴AB=214+3=334米．
故答案为：334．
【变式4-5】【基础解答】如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB=6m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=2m，DE在阳光下的投影长为3m．根据题中信息，求立柱DE的长．

【拓展拔高】如图，古树AB在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即BC=4m，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高CD为1m，同一时刻，竖直于地面上的1m长的竹竿，影长为2m，求这棵古树AB的高．

【答案】立柱DE=9m，古树AB=3m．
【分析】本题主要考查了投影的性质，相似三角形的判定与性质，
基础解答：根据太阳光投影中，光线都是平行的，即可得DF∥AC，据此判定△ABC∽△DEF，问题随之得解；
拓展拔高：画出图形，根据光线都是平行的，根据“基础解答”的方法，同理可得：△ABG∽△MNH，△DCG∽△MNH，问题随之得解．
【详解】基础解答
如图，

∵DF∥AC，
∴∠ACB=∠DFE，
又∵∠ABC=∠DEF=90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴ABBC=DEEF，
∵AB=6m，BC=2m，EF=3m，
∴62=DE3
解得：DE=9m；
拓展拔高
如图，

根据题意有：BC=4m，CD=1m，MN=1m，NH=2m，
根据【基础解答】，同理可得：△ABG∽△MNH，△DCG∽△MNH，
∴ABBG=MNNH，CDCG=MNNH，
即有：AB4+CG=12，1CG=12，
解得：CG=2，
即有AB=3（m），
即古树AB=3m．
【考点题型五】中心投影
【典例5-1】如图，晚上小明在路灯下沿路从A处径直走到B处，这一过程中他在地上的影子（ ）
A．一直都在变短B．先变短后变长C．一直都在变长D．先变长后变短
【答案】B
【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长．
【详解】解：在小亮从A处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短；当他走到路灯下，再走到B处时，他在地上的影子逐渐变长，
∴小亮在地上的影子先变短后边长，
故选：B．
【典例5-2】如图，一块面积为60 cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB:BB1=2:3，则△A1B1C1的面积是（ ）
A．90 cm2B．135 cm2C．150 cm2D．375 cm2
【答案】D
【详解】解：∵一块面积为60 cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，OB:BB1=2:3，
∴OBOB1=25，
∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2:5，
∵三角形硬纸板的面积为60 cm2，
∴S△ABCS△A1B1C1=252=425，
∴△A1B1C1的面积为375 cm2．
故选：D．
【变式5-1】如图，在直角坐标系中，点P2，2 是一个光源．木杆AB 两端的坐标分别为0，1、3，1 ．则木杆AB 在x轴上的投影长为（ ）

A．3B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、中心投影；利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′，B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A′B′的长．
【详解】解：延长PA、PB 分别交x轴于A′，B′ ，作PE⊥x 轴于E，交AB于D，如图

∵P2,2，A0,1，B3,1 ．
∴PD=1，PE=2，AB=3，
∵AB∥A′B′ ，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴ABA′B′=ADAE，即3A′B′=12
∴A′B′=6，
故选：C．
【变式5-2】手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁4米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，如图2所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应（ ）
A．增加0.5米B．增加1米C．增加2米D．减少1米
【答案】C
【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，解题是关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【详解】解：如图：点O为光源，AB为小明的手，CD表示小狗手影，则AB∥CD，作OE⊥AB，延长OE交CD于F，则OF⊥CD，
，∵AB∥CD，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∴△OAB∽△OCD，
∴ABCD=OEOF，
∵OE=2米，OF=6米，
∴ABCD=OEOF=26=13，
令AB=k，则CD=3k，
∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图，
，
即AB=k，C′D′=32k，△OAB∽△OC′D′，
∴ABC′D′=OE′OF′=k32k=23，则OE′6=23，
∴OE′=4米，
∴光源与小明的距离应增加4−2=2米，
故选：C．
【变式5-3】下列各种现象属于中心投影现象的是（ ）
A．中午烈日下用来乘凉的树影B．上午阳光下人走在路上的影子
C．晚上人走在路灯下的影子D．早上太阳下升旗时地面上旗杆的影子
【答案】C
【分析】本题考查了中心投影的性质，根据中心投影的性质，找到是灯光的光源即可，解题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光．
【详解】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有C选项得到的投影为中心投影，
故选：C．
【变式5-4】综合与实践．
现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．首先根据光源确定人在地面上的影子；再测量出相关数据，如高度，影长等；最后利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．已知灯柱AB，在灯柱AB上有一盏路灯 P，在路灯下，人站在点 D和点 G的位置都有影子，B、D、G三点在同一水平线上．根据上述内容，解答下列问题：
(1)已知人站在点D时路灯下的影子为DE，请画出路灯P及人站在点 G时路灯下的影子GH；
(2)如图， 若身高为1.7米的小明站在点D影长DE为3m， 沿BD方向走5m到点 G， DG=5m， 此时影长GH为4m， 求路灯 P到地面的高度PB；
【答案】(1)见解析
(2)路灯P离地面的高度为10.2m
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用以及中心投影的性质：
（1）利用中心投影的性质进而得出P点和H点位置；
（2）利用相似三角形的判定与性质得出△EPB∽△ECD，同理可得△HFG∽△HPB，进而得出答案．
【详解】（1）解：如图所示，点P、线段GH即为所求，
延长EC于点P，找到路灯 P 的位置，连接PF并延长，交射线BD于点H，即为人FG在路灯下的影子．
（2）解：∵CD∥AB，
∴△EPB∽△ECD，
∴CDPB=DEBE，即 1.7PB=33+BD ①
∵FG∥AB，
∴△HFG∽△HPB，
∴FGPB=HGHB， 即 1.7PB=44+5+BD ②
由①②得 33+BD=44+5+BD，
解得BD=15
∴1.7PB=33+15，
解得PB=10.2．
答：路灯P离地面的高度为10.2m．
【考点题型六】几何体的视图
【典例6】如图几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图．找到从上面看所得到的图形即可．
【详解】解：这个组合体的俯视图是两个同心圆．
故选：B．
【变式6-1】从各个不同的方向观察如图所示的实物几何体，看到的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图， 根据正视图是从前面向后看求解即可．
【详解】解：从前向后看，左边一列有上下两块小正方形，右边一列只有下面一个小正方形．
故选：C．
【变式6-2】如图，该几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是三视图，俯视图，从上面看到的平面图形，注意能看到的棱都要画成实线，不能看到的线画成虚线．
【详解】解：从上面看这个几何体看到的是三个长方形，
所以俯视图是：
故选C
【变式6-3】如图，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的几何体，该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【详解】该几何体的左视图如图所示：
故选：D．
【点睛】此题考查了简单几何体的三视图，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．注意：被遮挡的线条需要用虚线表示．
【变式6-4】某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查由三视图判断几何体．根据三视图的定义即可判断．
【详解】解：根据三视图的形状，结合三视图的定义以及几何体的形状特征可得该几何体为D选项．
故选：D．

【考点题型七】由三视图判断几何体
【典例7】如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．长方体 B．三棱柱C．四棱锥D．圆柱
【答案】A
【分析】本题考查了根据几何体的三视图还原几何体．熟练掌握根据几何体的三视图还原几何体是解题的关键．
由三视图可知，这个几何体是长方体，然后作答即可．
【详解】解：由三视图可知，这个几何体是长方体，
故选：A．
【变式7-1】某几何体的主视图和俯视图如图所示，则该几何体为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了由三视图判断几何体，掌握各种几何体的特征是解题的关键．根据该几何体的主视图和俯视图，结合四个选项的几何体判断即可．
【详解】解：A．该几何体的主视图的上层是三角形，选项A的几何体的上层是矩形，故本选项不符合题意；
B．该几何体的俯视图是同心圆，选项B的俯视图不是同心圆，故本选项不符合题意；
C．该几何体的俯视图是一个圆（带圆心），故本选项不符合题意；
D．该几何体的主视图和俯视图符合题意，故本选项符合题意．
故选：D
【变式7-2】某几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了由几何体的三视图还原几何体．根据三视图逐项判定即可．
【详解】解：由题意知，该几何体分上下两层，上层为圆柱，下层为长方体，故选项A，B，D均不符合题意，则该几何体如下；

故选：C．
【考点题型八】作图-三视图
【典例8】如图，以下是由大小形状相同的正方体组成的立体图形．
(1)请在网格中画出该立体图形的三视图；
(2)现量得小正方体的棱长为3cm，现在要给该立体图形表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积．
【答案】(1)画图见解析
(2)216cm2
【分析】本题主要考查了三视图，视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
1分别画出从正面看、左面看、上面看的图形，注意所看到的棱都要表示到三视图中；
2从三个方向考虑求面积即可．
【详解】（1）解：如图所示：
；
（2）涂上颜色部分的总面积为：3×3×5+3×3×16+3×3×3=216cm2，
答：涂上颜色部分的总面积为216cm2．
【变式8-1】一个几何体的三种视图如图所示，
（1）这个几何体的名称是______，其侧面积为______；
（2）在右面方格图中画出它的一种表面展开图；
（3）求出左视图中AB的长．
【答案】（1）正三棱柱，72；（2）画图见解析；（3）23
【分析】（1）由三视图所表现特征可知几何体为正三棱柱，正三棱柱侧面积为三个矩形，则侧面积为72．
（2）如图所示，答案不唯一．
（3）△EFG中过E点作FG垂线，垂足为H，可求得FH=2，再由勾股定理即可求得FH=23．
【详解】（1）该几何体由主视图和左视图可判断为棱柱，由俯视图可判断为正三棱柱
S侧=3×4×6=72
（2）如图所示
（3）如图所示，△EFG中过E点作FG垂线，垂足为H
∵△EFG为等边三角形
∴FH=2，∠EHF=∠EHG=90°
∴EH=EF2−FH2=42−22=23
【点睛】本题考查了三视图以及勾股定理，三视图是从正面、左面、上面以平行视线观察物体所得的图形，判断三视图时应结合实物，变换角度去观察，结合空间想象能力，由三视图求几何体的侧面积或表面积时，首先要根据三视图描述几何体，再根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系和轮廓线的位置确定各个面的尺寸，然后求表面积或侧面积．
【变式8-2】如图是用10个棱长是1cm，大小相同的小正方体搭成的几何体．
(1)请你画出该几何体的三种视图（不要涂成阴影）．
(2)这个几何体的表面积是 cm2（包含底部）；
(3)如果要保证俯视图和左视图不变，最多可以增加 个小正方体；
(4)如果要保证三个视图都不变，最多可以增加 个小正方体．
【答案】(1)画图见解析
(2)36
(3)4
(4)1
【分析】本题主要考查简单几何题的三视图的画法，熟练掌握主视图、左视图、俯视图的画法是解题的关键．
（1）根据三视图的概念求解即可；
（2）直接利用三视图分别乘以2求解即可；
（3）根据俯视图和左视图求解即可；
（4）根据主视图，俯视图和左视图求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：∵小正方体的棱长是1cm，
∴6+6+6×2=36cm2
这个几何体的表面积是36cm2；
（3）解：要使俯视图和左视图不变，
即在主视图的的上面加放小立方体，
故最多可加4个；
（4）解：要使主视图，俯视图和左视图不变，
只能最下面一层的中间小正方体上增加1个小正方体
故最多可加1个．
男1
男2
女1
女2
男1
男1男2
男1女1
男1女2
男2
男2男1
男2女1
男2女2
女1
女1男1
女1男2
女1女2
女2
女2男1
女2男2
女2女1
男1
男2
女
男1
男1，男2
男1，女
男2
男2，男1
男2，女
女
女，男1
女，男2
1
2
3
4
5
6
1
1，2
1，3
1，4
1，5
1，6
2
2，1
2，3
2，4
2，5
2，6
3
3，1
3，2
3，4
3，5
3，6
4
4，1
4，2
4，3
4，5
4，6
5
5，1
5，2
5，3
5，4
5，6
6
6，1
6，2
6，3
6，4
6，5
移植总数n
40
150
300
500
700
1000
1500
成活数m
35
134
271
451
631
899
1350
成活的频率mn
0.875
0.893
0.903
0.902
0.901
0.899
0.900