专题04 锐角的三角比（考点清单，知识导图+4个考点清单+6种题型解读）原卷版-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）

这是一份专题04 锐角的三角比（考点清单，知识导图+4个考点清单+6种题型解读）原卷版-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版），共15页。

【清单01】 锐角的三角比定义
一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比.
正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.即；
余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即；
正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即；
余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即；
【清单02】 锐角的三角比性质
①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小；
②若，则；
③.
【清单03】特殊角的三角比
【清单04】锐角的三角比
【考点题型一】锐角三角比的意义
【例1】在中，，那么边的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】在中，，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】.在中，，，，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-4】已知是锐角，化简： ．
【变式1-5】如图，已知在中，，分别是边上的高，连接，那么和的周长比为 ．
【变式1-5】.若定义等腰三角形顶角的值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即顶角，若等腰，，且，则 ．
【变式1-6】.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB=AD，BD=4，．
（1）求AB的长；
（2）求点C到直线AB的距离．
【考点题型二】求角的三角比
【例2】（24-25九年级上·上海·期中）在中，，那么的值等于（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1（23-24九年级上·上海·期中）在直角坐标系中，已知，为坐标原点，与轴负半轴的夹角为，则的正切为 ．
【变式2-2】（24-25九年级上·上海·期中）中，，，那么顶角的正弦值等于 ．
【变式2-3】（21-22九年级下·上海·期中）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为


【变式2-4】（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，，将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，如果，那么 ．
【变式2-5】（2024·上海青浦·模拟预测）如图是一张矩形纸片，点M是对角线的中点，点E在边上，把沿直线折叠，使点C落在对角线上的点F处，连接．若，则的正弦值为 ．
【变式2-6】（2024·上海奉贤·二模）如图，正方形的边长为，点在延长线上，连接，如果与相似，那么 ．
【变式2-7】（2024九年级上·上海·专题练习）如图，在中，，求的值．
【变式2-8】（2024·上海普陀·二模）如图，在中，，点在边上，，．

(1)求BD的长；
(2)求的值．
【变式2-9】（2024九年级上·上海·专题练习）在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．

(1)求与的值；
(2)过点作直线轴与直线交于点，求的值．
【变式2-10】（2024·上海长宁·三模）如图，在直角梯形中 ，，， ．
(1)求梯形的面积；
(2)连接，求的正切值．
【变式2-11】（23-24九年级上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知分别是 与 轴，轴的交点．
(1)在线段 AB上， ，求的坐标；
(2)在第一问的条件下，求 的值；
(3)若 在直线 AB上，，求的坐标．
【考点题型三】已知三角比求边长
【例3】（2023·上海虹口·一模）如图，在中，已知，，，那么的长为（ ）
A．B．C．4D．5
【变式3-1】（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在中，，，，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知平面直角坐标系中点和，满足（为原点），那么的值为 ．
【变式3-3】（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，菱形ABCD的边长为5，，E是边CD上一点（不与点C、D重合），把△ADE沿着直线AE翻折，如果点D落在菱形一条边的延长线上，那么CE的长为 ．
【变式3-4】（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，中，，，.点、分别在边、上，，那么的长为 .（用含的代数式表示）

【变式3-5】（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知是等边三角形，，是边上一动点（不与、点重合），垂直平分BD，分别交AB、于点、，设，．

(1)求证：；
(2)求关于的函数解析式，并写出定义域；
(3)过点作，垂足为点，当时，求线段CD的长．
【考点题型四】特殊角三角比混合运算
【例4】（22-23九年级上·上海青浦·期中）计算：
【变式4-1】（23-24九年级上·上海闵行·期中）计算：
【变式4-2】（2024九年级下·上海·专题练习）计算：．
【变式4-3】（21-22九年级上·上海青浦·期中）计算：．
【变式4-4】（23-24九年级上·上海·阶段练习）计算：．
【变式4-5】（23-24九年级上·上海·阶段练习）计算： ．
【考点题型五】根据特殊角三角比求角度
【例5】．（2024九年级上·上海·专题练习）已知α为锐角，，则α等于（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（22-23九年级上·上海松江·期中）在中，与是锐角，且，，那么 度．
【变式5-2】（23-24九年级上·上海浦东新·期中）如果锐角的正切值为，那么锐角为 度
【变式5-3】（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知为锐角，，那么 度．
【变式5-4】（22-23九年级·上海·假期作业）求满足下列条件的锐角：
(1)； (2)．
【变式5-5】（22-23九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，已知，，问：的大小确定吗？ 若确定，求其度数；若不确定，请说明理由

【考点题型六】根据特殊角三角比求角度
【例6】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，点为斜边上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为，则 ．

【变式6-1】（21-22九年级上·上海闵行·期中）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，且，则梯子顶端上升了 米．
【变式6-2】（2023·上海普陀·三模）如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，，则 ．
【变式6-3】（21-22九年级上·上海长宁·期末）如图, 某种路灯灯柱 垂直于地面, 与灯杆 相连. 已知直线 与直线 的夹角是 . 在地面点 处测得点 的仰角是 , 点 仰角是 , 点 与点 之间的距离为 米．

求：（1）点 到地面的距离；
（2） 的长度．（精确到 米）
（参考数据: ）
【变式6-4】（21-22九年级上·上海虹口·期末）如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且．
(1)求证：；
(2)如果，，求FC的长．
【变式6-5】（21-22九年级上·上海闵行·期中）如图，已知点、分别在中的边、的延长线上，且．
(1)如果，，，求的长；
(2)如果，，，过点作，垂足为点，求的长．
【变式6-6】（21-22九年级上·上海嘉定·期末）在平行四边形中，对角线与边垂直，，四边形的周长是，点是在延长线上的一点，点是在射线上的一点，．
(1)如图1，如果点与点重合，求的余切值；
(2)如图2，点在边上的一点．设，，求关于的函数关系式并写出它的定义域；
(3)如果，求的面积．
【变式6-7】（22-23九年级上·上海·期中）已知在正方形ABCD中，，点P在边CD上，，点Q是射线AP上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线BC于点M，点R在直线BC上，使RQ始终与射线AP垂直．
(1)如图1，当点R与点C重合时，求PQ的长；
(2)如图2，试探索：的值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明理由并求出变化规律；若没有变化，请求出它的比值；
(3)如图3，当点Q在线段AP上，设，请用含x的式子表示RM．
【变式6-8】（22-23九年级上·上海长宁·期中）已知在中，，点D在的平分线上，联结并延长，交边于点E．
(1)点F在延长线上，，
①如图1，若平分，，求的值；
②如图2，若E是的中点，，求的值；
(2)如图3，若，，，求的长．
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