高考数学选填压轴题型第11讲数列与函数、不等式相结合问题专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学选填压轴题型第11讲数列与函数、不等式相结合问题专题练习(原卷版+解析)，共31页。
二．解题策略
类型一 数列与不等式
1.1 数列与基本不等式
【例1】某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________．
（2020·广东高三）已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前项和，若，则的最小值为（ ）
A．9B．12C．16D．18
【举一反三】
1.（2020山东省济宁市模拟）已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为
2．（2020·江苏扬州中学）已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为
1.2 数列中的恒成立问题
【例2】（2020·四川双流中学）已知定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为，且的前n项和为，若对任意的正整数n均成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【举一反三】
1.（2020安徽省毛坦厂中学）已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2.（2020·江苏高三模拟）设等差数列的前n项和为，若不等式对任意正整数n都成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
1.3 数列中的最值问题
【例3】（2020·浙江高三期末）已知数列中，，若，设，若，则正整数的最大值为（ ）
A．1009B．1010C．2019D．2020
【举一反三】
1．（2020·湖南高三月考）数列满足,且．记数列的前n项和为,则当取最大值时n为（ ）
A．11B．12C．11或13D．12或13
2.（2020浙江省湖州三校）已知数列满足，，则使的正整数的最小值是（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
类型二 数列与函数的综合问题
【例4】（2020·上海中学高三）已知函数为定义域上的奇函数，且在上是单调递增函数，函数，数列为等差数列，且公差不为0，若，则（ ）
A．18B．9C．27D．81
【举一反三】
1.（2020·湖南模拟）已知函数y＝f(x)的定义域为R，当x1，且对任意的实数x，y，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若数列满足＝f(0)，且f()＝()，则的值为( )
A．2209B．3029C．4033D．2249
2．已知定义在实数集上的函数满足，则的最大值为
A．B．C．D．
类型三 数列与其他知识综合问题
【例5】（2020·湖南衡阳市八中高三）已知函数，，若函数的所有零点依次记为，且，则
【举一反三】
1．（2020·上海高三）已知等差数列（公差不为零）和等差数列，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下九个方程（）中，无实数解的方程最多有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
2.将向量组成的系列称为向量列，并定义向量列的前项和．若，则下列说法中一定正确的是（ ）
A. B. 不存在，使得
C. 对，且，都有 D. 以上说法都不对
三．强化训练
1．（2020·江苏海安高级中学）数列是公差不为0的等差数列，且，设（），则数列的最大项为（ ）
A．B．C．D．不确定
2.（2020许昌市模拟）已知数列，的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．49D．
3．（2020·上海市实验学校高三）已知函数的定义域为，当时，，对任意的，成立，若数列满足，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4.（2020四川省成都市外国语学校一诊）在正项等比数列中，，．则满足的最大正整数的值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
5.若数列的通项公式分别为，且，对任意恒成立，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
6.（2020·辽宁实验中学高三）已知各项都为正数的等比数列的前项和为，且满足．若，为函数的导函数，则( )
A．B．C．D．
7．（2020贵阳模拟）设，点，，，，设对一切都有不等式 成立，则正整数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2020·浙江高三）已知数列满足：，．则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2020·重庆高三）已知在点处的切线方程为， ，的前项和为，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2020·宁夏高考模拟）已知数列满足，，且，记为数列的前项和，数列是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式成立的最小整数n为（ ）
A．7B．6C．5D．4
11.将正整数12分解成两个正整数的乘积有， ， 三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解.当（且）是正整数的最佳分解时，我们定义函数，例如.数列的前100项和为__________．
12.（2020河北省衡水中学）已知数列的前项和.若是中的最大值，则实数的取值范围是_____．
13.已知数列中， ，点列在内部，且与的面积比为，若对都存在数列满足，则的值为______.
14.已知函数，点O为坐标原点，点，向量，θn是向量与的夹角，则使得 恒成立的实数t的取值范围为 ___________．
15．（2020·河北高三期末（理））数列是首项，公差为的等差数列，其前和为，存在非零实数，对任意有恒成立，则的值为__________．
16．（2020·海南中学）对于三次函数，定义：设是的导数，若方程有实数解，则称为函数的拐点.某同学经过探索发现任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则______；______.
17．（2020·上海高三（理））定义函数如下：对于实数，如果存在整数，使得，则，已知等比数列的首项，且，则公比的取值范围是_______.
18．（2020·上海市南洋模范中学高三）设，圆（）与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为，若数列满足：，，要使数列成等比数列，则常数________
第11讲 数列与函数、不等式相结合问题
一．方法综述
数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题，难度较大，求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.
二．解题策略
类型一 数列与不等式
1.1 数列与基本不等式
【例1】某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________．
【答案】10
【解析】由题意可知：每年的维护费构成一个以2为首项，2为公差的等差数列，
故第n年的维护费为：an=2+2（n﹣1）=2n，总的维护费为：=n（n+1）
故年平均费用为：y=，即y=n++1.5，（n为正整数）；
由基本不等式得：y=n++1.5≥2+1.5=21.5（万元）
当且仅当n=，即n=10时取到等号，即该企业10年后需要更新设备．
故答案为：10．
（2020·广东高三）已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前项和，若，则的最小值为（ ）
A．9B．12C．16D．18
【答案】D
【解析】由得，所以.所以.当且仅当时取得最小值.故选：D
【指点迷津】本题考查了等比数列的相关性质以及基本不等式的相关性质，等比数列的通项公式是，等比中项，基本不等式有，考查公式的使用，考查化归与转化思想.
【举一反三】
1.（2020山东省济宁市模拟）已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为
【答案】
【解析】因为数列是正项等比数列，，，
所以，，，
所以，，，，，
因为，所以，，
，当且仅当时“=”成立，
所以的最小值为.
2．（2020·江苏扬州中学）已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为
【答案】4
【解析】∵a1，a3，a13成等比数列，a1=1，∴a32=a1a13，
∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d=2．
∴an=1+2（n-1）=2n-1．Sn=n+×2=n2．
∴===n+1+-2≥2-2=4，
当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，
1.2 数列中的恒成立问题
【例2】（2020·四川双流中学）已知定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为，且的前n项和为，若对任意的正整数n均成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得x∈[0，2）时f（x）的最大值，由递推式可得{an}是首项为，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得k的范围．
【详解】当x∈[0，2）时，，
所以函数f(x)在[0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，可得当0≤x＜1时，f（x）的最大值为f（）＝；
1≤x