高考数学选填压轴题型第20讲导数中的构造函数专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学选填压轴题型第20讲导数中的构造函数专题练习(原卷版+解析)，共50页。
【方法综述】
以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“、、”等特征式、解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．
方法总结： 和与积联系：，构造；
，构造；
，构造；…………………
，构造；，构造．等等．
减法与商联系：如，构造；
，构造；…………………
，构造．
，构造，，构造，………………
，构造，
奇偶性结论：奇乘除奇为偶；奇乘偶为奇。（可通过定义得到）构造函数有时候不唯一，合理构造函数是关键。给出导函数，构造原函数，本质上离不开积分知识。
【解答策略】
类型一、巧设“”型可导函数
【例1】已知不相等的两个正实数x，y满足，则下列不等式中不可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【来源】广东省佛山市2021届高三下学期二模数学试题
【举一反三】
1．若实数，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【来源】浙江省宁波市镇海中学2021届高三下学期5月模拟数学试题
2．（2020·河北高考模拟（理））设奇函数在上存在导函数，且在上，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2020·山西高考模拟（理））定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·河北衡水中学高考模拟（理））定义在上的可导函数满足，且，当时，不等式的解集为( )
A．B．C．D．
5．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集是__________．
类型二 巧设“”型可导函数
【例】已知定义在上的图象连续的函数的导数是，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【来源】2021年浙江省高考最后一卷数学（第七模拟）
【举一反三】
1．（2020锦州模拟）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（）
A．或B．或
C．或 D．或
2．（2020·陕西高考模拟）已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2020·海南高考模拟）已知函数的导函数满足对恒成立，则下列判断一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2020·青海高考模拟（理））已知定义在上的函数满足函数的图象关于直线对称，且当 成立（是函数的导数），若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5.（2020南充质检）是定义在上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集是（）
A．B．
C．D．
6．（2020荆州模拟）设函数是奇函数()的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）
A．B．
C．D．
7．（2020·河北高考模拟）已知是定义在上的可导函数，且满足，则（ ）
A．B．C．为减函数D．为增函数
8．已知为上的连续可导函数，且，则函数在上的零点个数为__________．
类型三 巧设“”型可导函数
【例3】已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【来源】广东省汕头市2021届高三三模数学试题
【举一反三】
1．定义在上的连续函数的导函数为，且成立，则下列各式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【来源】湘豫联考2021届高三5月联考文数试题
2．（2020·江西高考模拟（理））已知定义在上的函数，恒为正数的符合，则的取值范围为（ ）
A．B．C．()D．
3．（2020·辽宁高考模拟）已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·四川高考模拟）下列四个命题：①；②；③；④，其中真命题的个数是（ ）（为自然对数的底数）
A．1B．2C．3D．4
4.（2020遵义模拟）设函数是奇函数的导函数，，且当时，，则使得成立的的取值范围是（）
A．B．
C．D．
5．（2020咸阳一模）已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（）
A．B．
C．D．
6．（2020正定一中模拟）设是函数，的导数，且满足，若是锐角三角形，则（）
A．B．
C．D．
7．（2020衡水金卷）设偶函数定义在上，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（）
A．B．
C．D．
8.（2020绵阳一诊）奇函数定义域为，其导函数是．当时，有，则关于的不等式的解集为__________．
类型四 综合运用求导法则及复合函数的求导法则，构造函数
【例4】已知函数及其导数满足，，对满足的任意正数，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【来源】浙江省绍兴市上虞区2021届高三下学期第二次教学质量检测数学试题
【举一反三】
1．（2020·石嘴山市第三中学高考模拟）已知函数的导函数满足对恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．在关于的不等式(其中为自然对数的底数)的解集中，有且仅有一个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【来源】四川省攀枝花市2021届高三一模考试数学（理）试题
3．（2020·江西高考模拟（理））已知函数满足，若对任意正数都有，则的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
4．（2020•九江一模）定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f′（x），且对∀x∈（0，+∞）
都有f′（x）lnx＞f（x），则（ ）
A．12f（2）＞3f（4）＞f（8）B．3f（4）＞12f（2）＞f（8）
C．f（8）＞3f（4）＞12f（2）D．f（8）＞12f（2）＞3/f（4）
5．（2020石家庄模拟）定义在上的函数使不等式恒成立，其中是的导数，则（）
A．，B．
C．，D．
6．（2020·黑龙江高考模拟）设是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
7．（2020浙江模拟）设函数是函数的导函数，，且，则的解集为（）
A．B．C．D．
8.（2020大连一模）设函数满足，，则时，（）
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．即有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【强化训练】
一、选择题
1．【2020银川模拟】已知函数的导函数满足，则对都有（）
A．B．
C．D．
2.【2020届高三第二次全国大联考】设是定义在上的可导偶函数，若当时，，则函数的零点个数为
A．0B．1
C．2D．0或2
3.【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】的定义域是，其导函数为，若，且（其中是自然对数的底数），则
A．B．
C．当时，取得极大值D．当时，
3.【2020湖南省长郡中学高三】已知是函数的导函数，且对任意的实数都有 是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4. 已知且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．不存在满足
【来源】山东省泰安市2021届高三四模数学试题
5.，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6.【2020福建省适应性练习】已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
7.【2020云南省玉溪市第一中学调研】 设为函数的导函数，且满足 ，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8.【2020河北省唐山市一模】设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【来源】四川省广元市2021届高三三模数学（理）试题
10．【2020辽宁省抚顺市一模】若函数有三个零点，则实数的取值范围是( )
A．B．
C．D．
11．【2020辽宁省师范大学附属中学】已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．【2020安徽省毛坦厂中学联考】已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
13．已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断一定正确的是（）
A．B．C．D．
14．【2020四川省教考联盟一诊】已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
15．【2020届高三全国大联考】已知定义在上的可导函数的导函数为，若当时，，则函数的零点个数为
A．0B．1C．2D．0或2
16．已知实数，且，，，则（ ）
A．B．C．D．
【来源】2021年浙江省高考最后一卷数学（第一模拟）
17．已知展开式的常数项的取值范围为，且恒成立.则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【来源】陕西省西安地区八校联考2021届高三下学期高考押题理科数学试题
18．已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【来源】2021届吉林省长春市高三四模数学理科试题
19．已知，，，，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
20．已知是定义在上的可导函数，是的导函数，若，，则在上（ ）
A．单调递增B．单调递减C．有极大值D．有极小值
【来源】江西省九江市2021届高三三模数学（理）试题
21．已知两个不等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【来源】宁夏银川市2021届高三二模数学（理）试题
二、填空题
22．【2020·贵州高考模拟】已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，若，则实数的取值范围是__________.
23．【2020济南市山东师范大学附属中学高三】定义在R上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为______．
第20讲 导数中的构造函数
近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，一下问题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结．
【方法综述】
以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“、、”等特征式、解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．
方法总结： 和与积联系：，构造；
，构造；
，构造；…………………
，构造；，构造．等等．
减法与商联系：如，构造；
，构造；…………………
，构造．
，构造，，构造，………………
，构造，
奇偶性结论：奇乘除奇为偶；奇乘偶为奇。（可通过定义得到）构造函数有时候不唯一，合理构造函数是关键。给出导函数，构造原函数，本质上离不开积分知识。
【解答策略】
类型一、巧设“”型可导函数
【例1】已知不相等的两个正实数x，y满足，则下列不等式中不可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【来源】广东省佛山市2021届高三下学期二模数学试题
【答案】B
【解析】由已知，因为2lg4x＝lg2x，
所以原式可变形
令，，
函数 与均为上的增函数，且，且，
当时，由，则，可得，
当时，由，则，可得，
要比较x与y的大小，只需比较 与的大小，

设，则
，故在上单调递减，
又，，
则存在使得，
所以当时，，当时，，
又因为，
所以当时，，当时，正负不确定，
故当时，，所以，故，
当时，正负不定，所以与的正负不定，
所以均有可能，即选项A，C，D均有可能，选项B不可能．
故选：B．
【点睛】本题考查了不等关系的判断，主要考查了对数的运算性质以及对数函数性质的运用，解答本题的关键是要比较x与y的大小，只需比较 与的大小，，设，求导得出其单调性，从而得出的大小可能性．
【举一反三】
1．若实数，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【来源】浙江省宁波市镇海中学2021届高三下学期5月模拟数学试题
【答案】C
【解析】，，
，，
在单调递减，在单调递增，
，
恒成立，时取等号，
，
，
，
，又（不等式取等条件），
解得：，
，
故选：C.
2．（2020·河北高考模拟（理））设奇函数在上存在导函数，且在上，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由 得：，构造函数，故g（x）在单调递减，由函数为奇函数可得g(x)为奇函数，故g(x)在R上单调递减，故选D
点睛：本题解题关键为函数的构造，由要想到此条件给我们的作用，通常情况下是提示我们需要构造函数得到新函数的单调性，从而得不等式求解；
3．（2020·山西高考模拟（理））定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，利用已知条件求得，即函数为增函数，而，由此求得，进而求得不等式的解集.
【详解】构造函数，依题意可知，即函数在上单调递增.所求不等式可化为，而，所以，解得，故不等式的解集为.
【点睛】本小题主要考查利用导数解不等式，考查构造函数法，考查导数的运算以及指数不等式的解法，属于中档题.题目的关键突破口在于条件的应用.通过观察分析所求不等式，转化为，可发现对于，它的导数恰好可以应用上已知条件.从而可以得到解题的思路.
4．（2020·河北衡水中学高考模拟（理））定义在上的可导函数满足，且，当时，不等式的解集为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
在定义域上是增函数，且，
，
可转化成，得到
，又，可以得到，故选D
5．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】，则，而，且，∴，即在上单调递减，不等式可化为，即，故，解得：，故解集为：．
类型二 巧设“”型可导函数
【例】已知定义在上的图象连续的函数的导数是，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【来源】2021年浙江省高考最后一卷数学（第七模拟）
【答案】A
【解析】当时，，即有．
令，则当时，，故在上单调递增．
∵，
∴关于直线对称，故在上单调递减，
由等价于，则，得．
∴的解集为．
故选：A.
【举一反三】
1．（2020锦州模拟）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（）
A．或B．或
C．或 D．或
【答案】D．
【解析】令，则为奇函数，且当时，恒成立，即函数在，上单调递减，又，则，则可化为或，则或．故选D．
2．（2020·陕西高考模拟）已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令 ，则，
所以 即，选A.
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等
3．（2020·海南高考模拟）已知函数的导函数满足对恒成立，则下列判断一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意设，则，所以函数在上单调递增，所以，即．故选B．
4．（2020·青海高考模拟（理））已知定义在上的函数满足函数的图象关于直线对称，且当 成立（是函数的导数），若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则当，因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称，即为偶函数，为奇函数，因此当，即为上单调递减函数，因为，而，所以，选A.
5.（2020南充质检）是定义在上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集是（）
A．B．
C．D．
【答案】C．
【解析】构造函数，则．又是定义在上的奇函数，所以为奇函数，且当时，，在上函数单减，
．又，所以有的解集．故选C．
点睛：本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则及构造函数解不等式，属于难题．求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”以构造恰当的函数；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造合适的函数．
6．（2020荆州模拟）设函数是奇函数()的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】D.
【解析】设，当时，，在上为减函数，且，
当时，，，，；
当时，，，，，
∵为奇函数，
∴当时，，；当时，，．
综上所述：使得成立的的取值范围是
【点睛】构造函数，借助导数研究函数单调性，利用函数图像解不等式问题，是近年高考热点，怎样构造函数，主要看题目所提供的导数关系，常见的有与的积或商，与的积或商，与的积或商，与的积或商等，主要看题目给的已知条件，借助导数关系说明导数的正负，进而判断函数的单调性，再借助函数的奇偶性和特殊点，模拟函数图象，解不等式．
7．（2020·河北高考模拟）已知是定义在上的可导函数，且满足，则（ ）
A．B．C．为减函数D．为增函数
【答案】A
【解析】令，则由题意，得，所以函数 在上单调递增，又因为，所以当时，，则，当时，，则，而恒成立，则；所以；故选A.
点睛：本题的难点在于如何利用构造函数。
8．已知为上的连续可导函数，且，则函数在上的零点个数为__________．
【答案】0．
【解析】令函数，因为，所以函数在上单调递增，则函数在上也单调递增，且，故该函数在上无零点，应填答案．
点评：解答本题的关键是构造函数，然后借助导数的有关知识判定函数的单调性，从而确定函数与轴没有一个交点，
即函数的零点的个数是0．
类型三 巧设“”型可导函数
【例3】已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【来源】广东省汕头市2021届高三三模数学试题
【答案】D
【解析】令，则，所以不等式等价转化为不等式，即，构造函数，则，
由题意，，所以为R上的增函数，
又，所以，
所以，解得，即，所以，
故选：D.
【举一反三】
1．定义在上的连续函数的导函数为，且成立，则下列各式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【来源】湘豫联考2021届高三5月联考文数试题
【答案】C
【解析】由题可得，所以，
设则，所以在上单调递减，且
由可得，所以，，所以选项A､B错误，选项C正确.
把代入，可得，所以选项D错误，故选：C.
2．（2020·江西高考模拟（理））已知定义在上的函数，恒为正数的符合，则的取值范围为（ ）
A．B．C．()D．
【答案】D
【解析】令，则，
所以，选D.
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等
3．（2020·辽宁高考模拟）已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，所以，
设，，
可知是上的增函数，，
当时，，又，所以，
所以不等式的解集为，故选C.
3．（2020·四川高考模拟）下列四个命题：①；②；③；④，其中真命题的个数是（ ）（为自然对数的底数）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】构造函数，，当时，，
当时，，所以函数在时单调递增，在时单调递减，
而，所以，化简得故①错误，
而，所以，即，化简可得故②正确，
因为，所以，化简可得 ，故③正确，
因为当时取最大值，若④成立，可得，即，显然不成立，故错误，综上可知选B.
4.（2020遵义模拟）设函数是奇函数的导函数，，且当时，，则使得成立的的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】A．
【解析】设，则的导数为：，
∵当x＞0时，，
即当x＞0时，恒大于0，
∴当x＞0时，函数为增函数，
∵为奇函数，∴函数为定义域上的偶函数
又∵，
∵，
∴当x＞0时，＞0，当x＜0时，＜0，
∴当x＞0时，，当x＜0时，，
∴x＞1或－1＜x＜0．
故使得成立的x的取值范围是，故答案为：A．
5．（2020咸阳一模）已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（）
A．B．
C．D．
【答案】A．
【解析】令，∴。
∵，为偶函数
∴在上单调递减．
或，选A．
6．（2020正定一中模拟）设是函数，的导数，且满足，若是锐角三角形，则（）
A．B．
C．D．
【答案】D．
【解析】∵，时，
∴在上递增，又A，B，C是锐角，
∴，，，，
∴，
∴，故选D．
【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小，属于难题．联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数．
7．（2020衡水金卷）设偶函数定义在上，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（）
A．B．
C．D．
【答案】C．
【解析】令，因为是定义在上的偶函数，所以是定义在上的偶函数，又当时，，所以在上恒成立，即在上单调递减，在上单调递增，将化为，即，则，又，所以，即不等式的解集为．故选C．
点睛：本题考查利用导数研究不等式问题．利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题，往往要根据已知和所求合理构造函数，再求导进行求解，如本题中的关键是利用“”和“”的联系构造函数．
8.（2020绵阳一诊）奇函数定义域为，其导函数是．当时，有，则关于的不等式的解集为__________．
【答案】．
【解析】令，
则，
由条件得当时，，
∴函数在上单调递减．
又函数为偶函数，
∴函数在上单调递增．
①当时，，不等式可化为，∴；
②当时，，不等式可化为，∴．
综上可得不等式的解集为．
类型四 综合运用求导法则及复合函数的求导法则，构造函数
【例4】已知函数及其导数满足，，对满足的任意正数，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【来源】浙江省绍兴市上虞区2021届高三下学期第二次教学质量检测数学试题
【答案】C
【解析】∵ ，，
∴ ，当且仅当时等号成立；
∵，
∴，
记，则，
∴ ，∴，
记，∴ ，
∴ 当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
∴，
∴在恒成立，
∴在恒成立，
∴在单调递增，
∵ 对满足的任意正数，都有，
∴
∴ ，解得.
∴的取值范围是
故选：C
【点睛】
本题考查利用求导的运算法则逆向构造函数，考查了基本不等式的应用，考查运算求解能力，化归转化思想等，是难题.本题解题的关键在于构造函数记，则，进而研究函数的单调性，通过单调性求解不等式.
【举一反三】
1．（2020·石嘴山市第三中学高考模拟）已知函数的导函数满足对恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，，，得，
令，则．
故在，递减；
（e）（1），即（e）（1）．故选．
2．在关于的不等式(其中为自然对数的底数)的解集中，有且仅有一个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【来源】四川省攀枝花市2021届高三一模考试数学（理）试题
【答案】B
【解析】等价于，
令，
故的图象在图象的上方有且只有一个横坐标大于且为整数的点.
又，
当时，，当时，，当时，，
故在为减函数，在为增函数，在为减函数，
而恒成立，的图象为过的动直线，
故、的图象如图所示：
其中，，，
当时，，故，
因为的图象在图象的上方有且只有一个横坐标大于且为整数的点，
故.
当时，的图象在图象的上方有无穷多个横坐标大于且为整数的点，
此时不合题意，舍.
故选：B.
3．（2020·江西高考模拟（理））已知函数满足，若对任意正数都有，则的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题得,所以
所以当时,,单调递增,当时, ,单调递减.
所以
所以，所以在上单调递减.
因为
所以
令，u(x)是一个增函数，，所以x>1.故选D.
4．（2020•九江一模）定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f′（x），且对∀x∈（0，+∞）
都有f′（x）lnx＞f（x），则（ ）
A．12f（2）＞3f（4）＞f（8）B．3f（4）＞12f（2）＞f（8）
C．f（8）＞3f（4）＞12f（2）D．f（8）＞12f（2）＞3/f（4）
【答案】C
【解析】由f′（x）lnx＞f（x）得，f′（x）xlnx＞（1+lnx）f（x），即f′（x）xlnx﹣（1+lnx）f（x）＞0，令g（x）＝，则g′（x）＝，
由f′（x）xlnx﹣（1+lnx）f（x）＞0，
∴x∈（0，1），（1，+∞）时，g′（x）＞0，
∴g（x）在区间（0.1）和（1，+∞）上单调递增，
∴g（2）＜g（4）＜g（8），
即f（8）＞3f（4）＞12f（2），故选：C．
5．（2020石家庄模拟）定义在上的函数使不等式恒成立，其中是的导数，则（）
A．，B．
C．，D．
【答案】B．
【解析】令，
则，
又因为，
所以，即，
所以函数在上单调递增，所以，
即，所以，故选B．
6．（2020·黑龙江高考模拟）设是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】可构造函数F（x）=，F′（x）==，
由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上递增．
不等式f（lnx）＜x2即为＜1，（x＞0），即＜1，x＞0．
即有F（）==1，即为F（lnx）＜F（），
由F（x）在R上递增，可得lnx＜，解得0＜x＜．
故不等式的解集为（0，），故选B．
7．（2020浙江模拟）设函数是函数的导函数，，且，则的解集为（）
A．B．C．D．
【答案】B．
【解析】由已知得，考虑到基本初等函数的导数，与函数有关，因此设，，
由题意，，，
又，所以，，所以，不等式为，，即．故选B．
方法2：由题得： ，，即，
∴，又，∴．所以．
反思：题中若已知函数值，则函数解析式能求出来或者零点可推测。
点睛：已知导数与原函数的不等关系，可构造新函数，利用已知条件判断新函数的单调性，从而解决问题，如已知，可设，则，因此是增函数，类似地还可以设，，等等；本题已知的是，如果设，则，因此已知条件变为，这样可联想应该有，从而可求得，把问题具体化．
8.（2020大连一模）设函数满足，，则时，（）
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．即有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】由题意知．
令，则
．
由，得，
当时，，
即，则当时，，
故在上单调递增，即无极大值也无极小值．
【强化训练】
一、选择题
1．【2020银川模拟】已知函数的导函数满足，则对都有（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】构造函数，
则，
当时，，递增；
当时，，递减，
所以在时取最小值，
从而，故选A．
2.【2020届高三第二次全国大联考】设是定义在上的可导偶函数，若当时，，则函数的零点个数为
A．0B．1
C．2D．0或2
【答案】A
【解析】
设，因为函数为偶函数，所以也是上的偶函数，所以
．由已知，时，，可得当时，，故函数在上单调递减，由偶函数的性质可得函数在上单调递增．所以，所以方程，即无解，所以函数没有零点．故选A．
3.【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】的定义域是，其导函数为，若，且（其中是自然对数的底数），则
A．B．
C．当时，取得极大值D．当时，
【答案】C
【解析】
设，则
则
又得
即，所以
即
，
由得，得，此时函数为增函数
由得，得，此时函数为减函数
则，即，则，故错误
，即，则，故错误
当时，取得极小值
即当，，即，即，故错误
当时，取得极小值
此时，则取得极大值
本题正确选项：
3.【2020湖南省长郡中学高三】已知是函数的导函数，且对任意的实数都有 是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
令，则，
可设，
∵，∴．
∴，
∴．
可得：时，函数取得极大值，时，
函数取得极小值．
，，，．
∴时，不等式的解集中恰有两个整数，．
故的取值范围是，故选C．
4. 已知且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．不存在满足
【来源】山东省泰安市2021届高三四模数学试题
【答案】D
【解析】令，，则，所以在区间内单调递减，所以，又，所以，A项错误；
对两边取自然对数得，即，B项错误；
令，则，故在区间内单调递增，在区间内单调递减，因为且，所以，C项错误；
假设，则，所以，
令，则，故在区间内单调递增，故当时，，所以不存在，满足，D项正确．
故选：D．
5.，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】构造形式，则，时导函数，单调递增；时导函数，单调递减．又为偶函数，根据单调性和图象可知选B．
6.【2020福建省适应性练习】已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】易知当≤0时，方程只有一个解，所以>0．令，
，令得，
为函数的极小值点，
又关于的方程=在区间内有两个实数解，
所以，解得，
故选A.
7.【2020云南省玉溪市第一中学调研】 设为函数的导函数，且满足 ，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
，由，可得的对称轴为，所以，所以，所以，由可得，变形可得 ，即，设， ，易得函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减，所以，故实数b的取值范围为，故选A
8.【2020河北省唐山市一模】设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
∵函数，有且只有一个零点，
∴方程，，有且只有一个实数根，
令g（x）=，
则g′（x）=，当时，g′（x）0，当时，g′（x）0，
∴g（x）在上单调递增，在上单调递减，当x=时，g（x）取得极大值g（）=，
又g（0）= g（）=0，∴若方程，，有且只有一个实数根，则a=
故选B.
9．已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【来源】四川省广元市2021届高三三模数学（理）试题
【答案】A
【解析】构造函数 , ,
当 时，，故，在 上单调递增，
又为偶函数， 为偶函数，
所以为偶函数，在 单调递减.
,则，;
，
当 时，即，，所以 ；
当 时，即，，所以.
综上所述，.
故选：A
10．【2020辽宁省抚顺市一模】若函数有三个零点，则实数的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
由得，
设， 则，
由得得或，此时函数为增函数，
由得得，此时函数为减函数，
即当时， 取得极小值，
当时， 取得极大值，
当，且，函数图象如下图所示：
要使有三个零点，
则，
即实数a的取值范围是，故本题选D．
11．【2020辽宁省师范大学附属中学】已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
解：∵函数的定义域是
∴，
∵是函数的唯一一个极值点
∴是导函数的唯一根，
∴在无变号零点，
即在上无变号零点，令，
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增
所以的最小值为，
所以必须，
故选：A．
12．【2020安徽省毛坦厂中学联考】已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由恒成立得，恒成立，设，则
.设，则恒成立，
在上单调递减，
又，当时，，即；
当时，，即，
在上单调递增，在上单调递减，
，，故选:D
13．已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断一定正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】C．
【解析】由，得，
令则．
∵满足，
∴当时，．∴．此时函数单调递减．
∴．
即.
∵．
∴．故选：C．
14．【2020四川省教考联盟一诊】已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
因为，所以，
令，则，
又因为是在上的偶函数，所以是在上的奇函数，
所以是在上的单调递增函数，
又因为，可化为，
即，又因为是在上的单调递增函数，
所以恒成立，
令，则，
因为，所以在单调递减，在上单调递增，
所以，则，
所以.
所以正整数的最大值为2.
故选：B
15．【2020届高三全国大联考】已知定义在上的可导函数的导函数为，若当时，，则函数的零点个数为
A．0B．1C．2D．0或2
【答案】A
【解析】
由题意，设，则 ．
由已知，
所以当时，，当时，，
又因为在上可导，故函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以无解，即方程无解，
即方程无解，所以函数无零点．故选A．
16．已知实数，且，，，则（ ）
A．B．C．D．
【来源】2021年浙江省高考最后一卷数学（第一模拟）
【答案】A
【解析】由，，得，，，因此，，.
设函数，则，，，
，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，又，所以，
故选：A.
17．已知展开式的常数项的取值范围为，且恒成立.则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【来源】陕西省西安地区八校联考2021届高三下学期高考押题理科数学试题
【答案】D
【解析】展开式的通项为，
令，可得，所以，展开式中的常数项为，
解得或，
令，其中，可得.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，
由可得，其中，
构造函数，其中，
则，
令，其中，则.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增.
所以，.
所以，当时，，此时函数单调递减
当时，，此时函数单调递增.
所以，，.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
18．已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【来源】2021届吉林省长春市高三四模数学理科试题
【答案】C
【解析】由，
当时，可得，
即，
即，
构造函数，所以函数递增，
则，此时，即满足；
当时，可得，
由函数递增，则，此时或，即满足；
当时，，即满足.
综上，.
故选：C.
19．已知，，，，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题可设，因为，所以的图象关于直线对称.
因为，当时，，所以，，，所以，所以在上单调递增，
由对称性可知在上单调递减.因为，所以，所以；
又，，由对称性可知，且，因为，所以，
又在上单调递减，所以，所以，
故选：A.
20．已知是定义在上的可导函数，是的导函数，若，，则在上（ ）
A．单调递增B．单调递减C．有极大值D．有极小值
【来源】江西省九江市2021届高三三模数学（理）试题
【答案】A
【解析】构造函数，则，
所以，，则，
设，则，，
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，，对任意的恒成立，
因此，函数在上单调递增.
故选：A.
21．已知两个不等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【来源】宁夏银川市2021届高三二模数学（理）试题
【答案】C
【解析】因为，所以，即，
令函数，，则，
时，单调递减，时，单调递增.
函数在处取得极小值，如图所示：
依题意，，不妨设，由图象可知，，故，A错误；
假设成立，可取，则，易见不满足题意，即B不正确；
如图取时，设，则由知，可有，故D错误；
由函数（）中，时，，时，，可知，时极值点左偏，即，即一定成立，C正确.
故选：C.
二、填空题
22．【2020·贵州高考模拟】已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，若，则实数的取值范围是__________.
【答案】或
【解析】
时，，而，故在
上为减函数，又在上为奇函数，故为偶函数，
当时，为增函数，
由，根据单调性和奇偶性可得，解得，或者
取值范围是或，故答案为或.
23．【2020济南市山东师范大学附属中学高三】定义在R上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
的周期为

定义在上的奇函数
①时，令，则
，即单调递减
又

不等式的解集为
②时，
时，不等式成立
综上所述：
本题正确结果：