专题3.3 数列与函数、不等式相结合问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（原卷版）

一．方法综述

      数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题，难度较大，求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.

二．解题策略

类型一  数列中的恒成立问题

【例1】【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ）

A． B．

C． D．

【指点迷津】对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解，解答本题的关键是由等差数列通项公式可得，进而由递推关系可得，借助裂项相消法得到，又，问题等价于对任意的，恒成立.

【举一反三】已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意恒成立，则的取值范围是（    ）

A．   B．   C．   D．

类型二  数列中的最值问题

【例2】【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知数列满足，，则使的正整数的最小值是（   ）

A．2018 B．2019 C．2020 D．2021

【指点迷津】本题利用数列的递推公式,确定数列的单调性，令,利用裂项相消法得，再根

据范围求正整数的最小值.在解题时需要一定的逻辑运算与推理的能力，其中确定数列单调性是解题的关键

【举一反三】【河南省许昌市、洛阳市2019届高三三模】已知数列，的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值为（   ）

A． B． C．49 D．

类型三  数列性质的综合问题

【例3】【江苏省扬州中学2019届高三下学期3月月考】已知等差数列的前n项和为，若1≤≤3，3≤≤6，则的取值范围是_______．

【指点迷津】1.本题先根据求出的取值范围，然后根据不等式的性质可得所求结果.

2.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）累加法（相邻两项的差成等差、等比数列）；累乘法（相邻两项的积为特殊数列）；（3）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.

【举一反三】【广东省汕尾市2019年3月高三检测】已知数列的首项为数列的前项和若恒成立，则的最小值为______．

类型四  数列与函数的综合问题

【例4】已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，，恒成立，若数列满足（）且，则下列结论成立的是（  ）

A． B．

C． D．

【指点迷津】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.

(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去“f”，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.

【举一反三】【浙江省杭州第十四中学2019届高三9月月考】已知数列 中， ，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

类型五  数列与其他知识综合问题

【例5】将向量组成的系列称为向量列，并定义向量列的前项和．若，则下列说法中一定正确的是（   ）

A.    B. 不存在，使得

C. 对，且，都有    D. 以上说法都不对

【例6】斐波那契数列满足： .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论错误的是（    ）

A.     B.

C.     D.

【指点迷津】这类题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.

【举一反三】1.如图所示，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为，记矩形的周长为，则（   ）

A. 220    B. 216    C. 212    D. 208

2.将正整数12分解成两个正整数的乘积有， ， 三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解.当（且）是正整数的最佳分解时，我们定义函数，例如.数列的前100项和为__________．

类型六  数列与基本不等式结合的问题

【例7】【山东省济宁市2019届高三一模】已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为

A． B． C． D．

【指点迷津】本题考查了等比数列的相关性质以及基本不等式的相关性质，等比数列的通项公式是，等比中项，基本不等式有，考查公式的使用，考查化归与转化思想.

【举一反三】【甘肃省白银市靖远县2019届高三第四次联考】已知函数，若 ，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

三．强化训练

一、选择题

1．【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】已知正项等比数列满足 ，若存在两项，，使得，则的最小值为（   ）

A． B． C．3 D．

2.【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】已知数列的前项和为，，且满足，若，，则的最小值为（  ）

A． B． C． D．0

3.【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊】在正项等比数列中，，．则满足的最大正整数的值为（   ）

A．10 B．11 C．12 D．13

4.若数列的通项公式分别为，且，对任意恒成立，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

5．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

6．【吉林省吉林市实验中学2019届高三下学期第八次月考】已知等比数列的公比，其前n 项的和为，则与 的大小关系是　　

A． B． C． D．

7．已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为　　

A．16 B．9 C．5 D．4

8．【贵州省2019年普通高等学校招生适应性】设，点，，，，设对一切都有不等式 成立，则正整数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

 9.【河北省衡水中学2019届高三下学期一调】20．已知数列的前项和.若是中的最大值，则实数的取值范围是_____．

10．【2019届高三第二次全国大联考】已知数列的前项和为，，当时，，若 恒成立，则正数的取值范围为____________．

11．【云南省2019年高三第二次检测】已知数列的前项和为，若，则使成立的的最大值是_____．

12．【重庆市南开中学2019届高三第三次检测】在正项递增等比数列中，，记，，则使得成立的最大正整数为__________．

13.已知数列中， ，点列在内部，且与的面积比为，若对都存在数列满足，则的值为______.

14.已知函数，点O为坐标原点，点，向量，θn是向量与的夹角，则使得  恒成立的实数t的取值范围为 ___________．

15.【新疆2019届高三一模】已知数列为等差数列，，，数列的前n项和为，若对一切，恒有，则m能取到的最大正整数是______．

16. 【北京师大附中2019届高三4月模拟】设数列的前n项和为，，且，若，则n的最大值为______．