高考数学选填压轴题型第10讲复杂数列的求和问题专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学选填压轴题型第10讲复杂数列的求和问题专题练习(原卷版+解析)，共30页。
二．解题策略
类型一 数列求和中的新定义问题
【例1】（2020银川一中模拟）对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，数列{an}的“差数列”的通项为an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝( )
A．2 B．2n C．2n＋1－2 D．2n－1－2
【举一反三】
1.（2020湖南师范大学附属中学高三）对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（ ）
A．2022 B．1011 C．2020 D．1010
2.已知数列的前项和为，定义为数列前项的叠加和，若2016项数列的叠加和为2017，则2017项数列的叠加和为( )
A. 2017 B. 2018 C. D.
类型二 子数列中的求和问题
【例2】（2020贵阳模拟）已知有穷数列中， ，且，从数列中依次取出构成新数列，容易发现数列是以-3为首项，-3为公比的等比数列，记数列的所有项的和为，数列的所有项的和为，则（ ）
A. B. C. D. 与的大小关系不确定
【举一反三】
1．（2020·四川高考模拟）定义在上的函数满足：当时，；当时，.记函数的极大值点从小到大依次记为并记相应的极大值为则的值为（ ）
A．B．C．D．
2.已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和为，则使得的最小正整数的值为（ ）
A. B. C. D.
类型三 奇偶性在数列求和中的应用
【例3】（2020·河北衡水中学高考模拟）已知数列，，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【举一反三】
1.（2020福建省高三模拟）记函数在区间内的零点个数为，则数列的前20项的和是（ ）
A．430B．840C．1250D．1660
2．（2020·山东高考模拟（文））设数列的前n项和为，已知，且，记，则数列的前10项和为______．
类型四 周期性在数列求和中的应用
【例4】（2020·江苏高考模拟）对于实数，定义：，已知数列满足，，，设表示数列的前和，若，则的值为__________.
【举一反三】
1.数列满足，则数列的前100项和为__________．
2.已知数列2008，2009，1，，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2019项之和______．
类型五 数列求和的综合问题
【例5】（2020·河南高考模拟（理））已知数列的前项和为
，若对于任意，当时，不等式
恒成立，则实数的取值范围为__________ .
【举一反三】
1.已知数列和的前项和分别为和，且，，（），若对任意的，恒成立，则的最小值为_____.
2.（2020上海市青浦区模拟）等差数列,满足，则（ ）
A．的最大值为50B．的最小值为50
C．的最大值为51D．的最小值为51
三．强化训练
1．（2020·湖南师大附中高考模拟（理））设数列的前项和为，且 ，则数列的前10项的和是（ ）
A．290B．C．D．
2．（2020·北京人大附中高考模拟）已知数列和的前项和分别为和，且，,，若对任意的 ,恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·四川高考模拟（理））我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设，，，，表示数列的前项之和，则使不等式成立的最小正整数的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·吉林高考模拟）已知正项数列的前项和为，满足，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·沭阳县修远中学高考模拟）已知数列满足，且，其前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．（2020·江西师大附中高考模拟）数列中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从左到右分别排，；第三行项，……依此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2020·贵州高考模拟）设，点，，，，设对一切都有不等式 成立，则正整数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2020·山东高考模拟）对于任意实数，符号表示不超过的最大整数，例如.已知数列满足，其前项和为，若是满足的最小整数，则的值为（ ）
A．305B．306C．315D．316
9．（2020·广东高考模拟）已知数列满足…，设数列满足：,数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（2019·湖南长沙一中高考模拟）已知是函数的极值点，数列满足，，记，若表示不超过的最大整数，则（ ）
A．2017B．2018C．2019D．2020
11.我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设，，，，表示数列的前项之和，则使不等式成立的最小正整数的值是
12.（2020安徽省合肥市模拟）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则的值为
13.已知数列满足，，且，，设数列的前项和为，则__________（用表示）.
14.（2020湖北省宜昌市模拟）已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，点、均在函数的图象上，的横坐标为，的横坐标为，直线的斜率为.若，，则数列的前项和__________．
15．（2020·湖南长沙一中高考模拟）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推那么该数列的前50项和为
16．（2020·福建高考模拟）已知数列的前项和为，直线与圆交于，两点，且.若对任意恒成立，则实数的取值范围是
17．（2020广东省汕尾市模拟）已知数列的首项为数列的前项和若恒成立，则的最小值为______．
18．（2020上海交通大学附属中学）对任意，函数满足：，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则________．
第10讲 复杂数列的求和问题
一．方法综述
数列的求和问题是数列高考中的热点问题， 数列的求和问题会渗透多种数学思想，会跟其他知识进行结合进行考查.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列求和中的新定义问题、子数列中的求和问题、奇偶性在数列求和中的应用、周期性在数列求和中的应用、数列求和的综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.
二．解题策略
类型一 数列求和中的新定义问题
【例1】（2020银川一中模拟）对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，数列{an}的“差数列”的通项为an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝( )
A．2 B．2n C．2n＋1－2 D．2n－1－2
【答案】C
【解析】因为an＋1－an＝2n，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝eq \f(2－2n,1－2)＋2＝2n－2＋2＝2n，所以Sn＝eq \f(2－2n＋1,1－2)＝2n＋1－2.
【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
2.解决此类问题的一些技巧：
（1）抓住“新信息”的特点，找到突破口；
（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识与方法.所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪个知识点有关，以便找到一些线索.
（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循.
【举一反三】
1.（2020湖南师范大学附属中学高三）对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（ ）
A．2022 B．1011 C．2020 D．1010
【答案】B
【解析】由，
得， ①
， ②
①-②得，即，，
所以.故选B.
2.已知数列的前项和为，定义为数列前项的叠加和，若2016项数列的叠加和为2017，则2017项数列的叠加和为( )
A. 2017 B. 2018 C. D.
【答案】A
类型二 子数列中的求和问题
【例2】（2020贵阳模拟）已知有穷数列中， ，且，从数列中依次取出构成新数列，容易发现数列是以-3为首项，-3为公比的等比数列，记数列的所有项的和为，数列的所有项的和为，则（ ）
A. B. C. D. 与的大小关系不确定
【答案】A
【解析】因为， ，所以，当时， 是中第365项，符合题意，所以,所以，选A. 学科*网
【指点迷津】一个数列中某些项的求和问题，关键在于弄清楚新的数列的形式，了解其求和方法.
【举一反三】
1．（2020·四川高考模拟）定义在上的函数满足：当时，；当时，.记函数的极大值点从小到大依次记为并记相应的极大值为则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】确定函数极大值点及极大值求得.，再求和即可
【详解】由题当当时，极大值点为1，极大值为1
当时，.则极大值点形成首项为1公差为2 的等差数列，极大值形成首项为1公比为3 的等比数列
故.,故
设S=
3S=
两式相减得-2S=1+2()-
∴S=，故选A
2.已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和为，则使得的最小正整数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
类型三 奇偶性在数列求和中的应用
【例3】（2020·河北衡水中学高考模拟）已知数列，，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由递推公式可得：
当 为奇数时， ，数列 是首项为1，公差为4的等差数列，
当 为偶数时， ，数列 是首项为2，公差为0的等差数列，

【指点迷津】数列求和中遇到，，都会用到奇偶性，进行分类讨论.再采用分组转化法求和或者并项求和的方法，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型还有分段型（如 ）及符号型（如 ）
【举一反三】
1.（2020福建省高三模拟）记函数在区间内的零点个数为，则数列的前20项的和是（ ）
A．430B．840C．1250D．1660
【答案】A
【解析】令，得①或②
由①得，令，得，故①共有n个解，
由②得，
令，得③，
令，得④
当n为偶数时，③有个解，④有个解，故②有n个解，故
当n为奇数时，③有个解，④有个解，故②有n+1个解，故
令
故故选：A
2．（2020·山东高考模拟（文））设数列的前n项和为，已知，且，记，则数列的前10项和为______．
【答案】200
【解析】
【分析】由已知求，利用递推公式可得数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，从而可求，即可求和.
【详解】∵，且，
∴，
∵，∴时，，
两式相减可得，，（）
即时，即，
∵，∴数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，
，
∴，
则数列，则的前10项和为 故答案为200
类型四 周期性在数列求和中的应用
【例4】（2020·江苏高考模拟）对于实数，定义：，已知数列满足，，，设表示数列的前和，若，则的值为__________.
【答案】118
【解析】
【分析】对a分类讨论，利用递推关系可得周期性，进而得出所求结果.
【详解】①当时，因为，，可得：
，同理可得： 故可知，数列是周期为5的周期数列，所以，解得或，不合题意舍去.
②当时，因为，，可得：，同理可得： 故可知，数列是周期为5的周期数列，所以，解得或（舍去）
所以，, ,所以，故填118.
【指点迷津】本题主要考查数列的周期性，发现规律，从而转化为熟悉的等差数列求和问题.解决此类问题要求具有观察、猜想、归纳能力，将抽象数列转化为等差或等比数列问题. [来源:学+科+网]
【举一反三】
1.数列满足，则数列的前100项和为__________．
【答案】5100
2.已知数列2008，2009，1，，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2019项之和______．
【答案】4018
【解析】
数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，
可得2008，2009，1，，，，2008，2009，1，，
即有数列的最小正周期为6，可得一个周期的和为0，
由，可得．
故答案为：4018．
类型五 数列求和的综合问题
【例5】（2020·河南高考模拟（理））已知数列的前项和为
，若对于任意，当时，不等式
恒成立，则实数的取值范围为__________ .
【答案】
【解析】试题分析：，，两式相减得又，因此为以2首项，3 为公比的等比数列，即，叠加法得，从而，因此对恒成立，即解得
考点：和项求通项，等比数列定义，不等式恒成立
【举一反三】
1.已知数列和的前项和分别为和，且，，（），若对任意的，恒成立，则的最小值为_____.
【答案】
【解析】
，，可得，解得，
当时， ，
化为 ，由，可得，
即有，
，
即有 ，
对任意的，恒成立，可得，即的最小值为.
故答案为：.
2.（2020上海市青浦区模拟）等差数列,满足，则（ ）
A．的最大值为50B．的最小值为50
C．的最大值为51D．的最小值为51
【答案】A
【解析】时，满足条件，所以满足条件，即最小值为2，舍去B,D.
要使得取最大值，则项数为偶数，
设，等差数列的公差为，首项为，不妨设，
则，且，由可得，
所以
,
因为，所以，所以，而，
所以，故.
故选A
【指点迷津】先根据题意可知中的项有正有负，不妨设，根据题意可求得，根据，去绝对值求和，即可求出结果.
三．强化训练
1．（2020·湖南师大附中高考模拟（理））设数列的前项和为，且 ，则数列的前10项的和是（ ）
A．290B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】由得为等差数列，求得，得利用裂项相消求解即可
【详解】由得，
当时，，整理得，
所以是公差为4的等差数列，又，
所以，从而，
所以，
数列的前10项的和.故选.
2．（2020·北京人大附中高考模拟）已知数列和的前项和分别为和，且，,，若对任意的 ,恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
相减得，
因为，所以，
又，所以, 因为，所以,
因此，,
从而,即的最小值为，选B.
3．（2020·四川高考模拟（理））我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设，，，，表示数列的前项之和，则使不等式成立的最小正整数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵
∴，
∴，
而
∴，
，
即，
当n=8时，左边=，右边=，显然不适合；
当n=9时，左边=，右边=，显然适合，
故最小正整数的值9
4．（2020·吉林高考模拟）已知正项数列的前项和为，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，，解得；当时，，两式相减可得， ，可得，所以，.
，所以.故选A.
5．（2020·沭阳县修远中学高考模拟）已知数列满足，且，其前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】】对3an+1+an=4 变形得：3（an+1﹣1）=﹣（an﹣1）即：
故可以分析得到数列bn=an﹣1为首项为8公比为的等比数列．
所以bn=an﹣1=8× ，an=8×+1
所以
|Sn﹣n﹣6|= 解得最小的正整数n=7
6．（2020·江西师大附中高考模拟）数列中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从左到右分别排，；第三行项，……依此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据规律可总结出第行的和为，利用分组求和的方法可求得前行和，经验证，从而可得结论.
【详解】第一行为，其和为，可以变形为：；
第二行为首项为，公比为的等比数列，共项，其和为：；
第三行为首项为，公比为的等比数列，共项，其和为；
依此类推：第行的和：；
则前行共：个数
前行和为：
满足
而第六行的第个数为：，则
满足的最小正整数的值为：本题正确选项：
7．（2020·贵州高考模拟）设，点，，，，设对一切都有不等式 成立，则正整数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】先求得，再求得左边的范围，只需，利用单调性解得t的范围.
【详解】由题意知sin，∴，
∴，随n的增大而增大，∴,
∴，即，又f(t)=在t上单增，f(2)= -10，
∴正整数的最小值为3.
8．（2020·山东高考模拟）对于任意实数，符号表示不超过的最大整数，例如.已知数列满足，其前项和为，若是满足的最小整数，则的值为（ ）
A．305B．306C．315D．316
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，求解得图象，即可求解前项和，即可求解满足的最小整数的值．
【详解】由题意，，当时，可得，（1项）
当时，可得，（2项）
当时，可得，（4项）
当时，可得，（8项）
当时，可得，（16项）

当时，可得，（项）
则前项和为
，
两式相减得 ，
所以，此时，
当时，对应的项为，即，故选D．
9．（2020·广东高考模拟）已知数列满足…，设数列满足：,数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】先求出的通项，再求出的通项，从而可求，利用参变分离可求的取值范围.
【详解】因为…，
所以…，
故即，其中.
而令，则，故，.
，
故
，
故恒成立等价于即恒成立，
化简得到，因为，故.故选D.
10．（2019·湖南长沙一中高考模拟）已知是函数的极值点，数列满足，，记，若表示不超过的最大整数，则（ ）
A．2017B．2018C．2019D．2020
【答案】A
【解析】由题意可得，
∵是函数的极值点，∴，
即．
∴，
∴，，，，，
以上各式累加可得．
∴．
∴=
===．
∴．选A．
11.我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设，，，，表示数列的前项之和，则使不等式成立的最小正整数的值是
【答案】9
【解析】∵
∴，
∴，
而
∴，
，
即，
当n=8时，左边=，右边=，显然不适合；
当n=9时，左边=，右边=，显然适合，
故最小正整数的值9
12.（2020安徽省合肥市模拟）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则的值为
【答案】10
【解析】由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为万元，第三层货物总价为万元，…，第层货物总价为万元，设这堆货物总价为万元,则，
，
两式相减得
，
则,
解得，
13.已知数列满足，，且，，设数列的前项和为，则__________（用表示）.
【答案】
【解析】当是奇数时，，，所以，，，…，，…是首项为1，公差为6的等差数列，因此；当是偶数时，，，所以，，，…，，…是首项为4，公比为3的等比数列，因此.综上，，所以，即 .
14.（2020湖北省宜昌市模拟）已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，点、均在函数的图象上，的横坐标为，的横坐标为，直线的斜率为.若，，则数列的前项和__________．
【答案】
【解析】由题意可知：，，
，，
∴，解得，
∴
∴
∴①
②
①﹣②得，
所以，
整理得．
故答案为：
15．（2020·湖南长沙一中高考模拟）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推那么该数列的前50项和为
【答案】1044
【解析】
【分析】
将已知数列分组，使每组第一项均为1，第一组：，第二组：，，第三组：，，，第k组：，，，，，根据等比数列前n项和公式，能求出该数列的前50项和．
【详解】
将已知数列分组，使每组第一项均为1，
即：第一组：，
第二组：，，
第三组：，，，
第k组：，，，，，
根据等比数列前n项和公式，
求得每项和分别为：，，，，，
每项含有的项数为：1，2，3，，k，
总共的项数为，
当时，，
故该数列的前50项和为
16．（2020·福建高考模拟）已知数列的前项和为，直线与圆交于，两点，且.若对任意恒成立，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】
【分析】由已知得到关于数列{an}的递推式，进一步得到{Sn+2}是以+2为首项，2为公比的等比数列．求出数列{an}的前n项和为Sn，进一步求得数列{an}的通项，然后利用错位相减法求得，代入＜λan2+2，分离参数λ，求出的最大值得答案．
【详解】圆心O（0，0）到直线y＝x﹣2，即x﹣y﹣20的距离d2，
由d2r2，且，
得22+Sn＝2an+2，∴4+Sn＝2（Sn﹣Sn﹣1）+2，
即Sn+2＝2（Sn﹣1+2）且n≥2；
∴{Sn+2}是以+2为首项，2为公比的等比数列．
由22+Sn＝2an+2，取n＝1，解得＝2，
∴Sn+2＝（+2）•2n﹣1，则Sn＝2n+1﹣2；
∴（n≥2）．
＝2适合上式，∴．
设 ，，
所以 .
所以，若对任意恒成立，
即对任意恒成立，即对任意恒成立.
设，因为，所以，故的最大值为
因为，所以.
17．（2020广东省汕尾市模拟）已知数列的首项为数列的前项和若恒成立，则的最小值为______．
【答案】
【解析】数列的首项，
则：常数
故数列是以为首项，3为公差的等差数列．
则：首项符合通项．
故：，
，
，
由于数列的前n项和恒成立，
故：，则：t的最小值为，故答案为：．
18．（2020上海交通大学附属中学）对任意，函数满足：，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则________．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
展开为，，
即0≤f（n）≤1，．
即，
∴，
化为＝．
∴数列{}是周期为2的数列．
∵数列{}的前15项和为，
∴＝7（）+．
又，
解得，．
∴＝，＝．
由0，f（k+1），解得f（2k﹣1）．
0，f（n+1），解得f（2k），
又，
令数列的前n项和为，则当n为奇数时，，取极限得；
则当n为偶数时，，取极限得；
若数列的前项和的极限存在，则，，
故答案为.