重难点13 极化恒等式与等和（高）线定理（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc27283" 【题型1 利用极化恒等式求值】 PAGEREF _Tc27283 \h 3
\l "_Tc8229" 【题型2 利用极化恒等式求最值（范围）】 PAGEREF _Tc8229 \h 5
\l "_Tc5791" 【题型3 利用等和线求基底系数和的值】 PAGEREF _Tc5791 \h 8
\l "_Tc31060" 【题型4 利用等和线求基底系数和的最值（范围）】 PAGEREF _Tc31060 \h 11
1、极化恒等式与等和（高）线定理
极化恒等式是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系；等和（高）线定理是平面向量中的重要定理，由三点共线结论推导得出，在求基底系数和的值、最值（范围）中有着重要作用.
【知识点1 极化恒等式】
1．极化恒等式的证明过程与几何意义
(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
.
证明：不妨设，则，，
①，
②，
①②两式相加得：
.
(2)极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
平行四边形模式：.
2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图).
(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图).
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
【知识点2 等和(高)线定理】
1．等和(高)线定理
(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ= k；反之也成立.
(2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.
①当等和线恰为直线AB时，k=1；
②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；
③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)；
④当等和线过O点时，k=0；
⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；
⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
【题型1 利用极化恒等式求值】
【例1】（2024·贵州毕节·三模）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E，F是线段AD的两个三等分点，若BA⋅CA=7，BE⋅CE=2，则BF⋅CF=（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【解题思路】利用几何关系将BA,CA,BE,CE均用BC,AD表示出来，进而将BA⋅CA，BF⋅CF表示成与FD,BC相关，可以求出FD2=1,BC2=8，同时BF,CF的数量积也 可用FD,BC表示，即可求出结果.
【解答过程】依题意，D是BC边的中点，E，F是线段AD的两个三等分点，
则BA⋅CA=12BC−AD⋅−12BC−AD=4AD2−BC24=36FD2−BC24=7，
BE⋅CE=12BC−23AD⋅−12BC−23AD=49AD2−14BC2=16FD2−BC24=2，
因此FD2=1,BC2=8，BF⋅CF=12BC−FD⋅−12BC−FD=4FD2−BC24=4×1−84=−1.
故选：B.
【变式1-1】（23-24高三上·福建厦门·期末）如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，BF=2FO，则FD⋅FE=（ ）
A．−34B．−89C．−14D．−49
【解题思路】根据题意，得到FD⋅FE=−(OE+OF)⋅(OE−OF)，进行求解即可.
【解答过程】因为圆半径为1BC是直径，BF=2FO，
所以|OF|=13，
根据向量加法和减法法则知：FD=OD−OF,FE=OE−OF；
又DE是直径，所以OD=−OE,|OD|=|OE|=1，
则FD⋅FE=(OD−OF)⋅(OE−OF)=(−OE−OF)⋅(OE−OF)
=−(OE+OF)⋅(OE−OF)=|OF|2−|OE|2=19−1=−89.
故选 B.
【变式1-2】（2024高三·江苏·专题练习）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若AB⋅AD=－7，则BC⋅DC的值是 9 ．
【解题思路】根据平面向量的线性表示与数量积运算，利用AB⋅AD= (AO+OB)⋅(AO+OD),求出|OB|=|OD|=4，再利用BC⋅DC=(BO+OC)⋅(DO+OC)，运算可求出结果.
【解答过程】在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3,OC=5,∴OB+OD=0，
若AB⋅AD=−7，
则(AO+OB)⋅(AO+OD) =AO2+AO⋅OD+AO⋅OB+OB⋅OD =AO2+OA⋅(OD+OB)−OB2 =32−OB2 =−7，
∴OB2=16，∴|OB|=|OD|=4，
∴BC⋅DC=(BO+OC)⋅(DO+OC) =BO⋅DO+BO⋅OC+OD⋅OC+OC2= −BO2+OC⋅(BO+OD)+OC2=−42 +0+52=9.
故答案为：9.
【变式1-3】（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则EF⋅FG+GH⋅HE等于 32 ．
【解题思路】在平行四边形ABCD中，取HF的中点O，根据相等向量和向量的加法运算法则及数量积运算求解.
【解答过程】如图：
在平行四边形ABCD中，取HF的中点O，
则EF⋅FG=EF⋅EH=EO+OF⋅EO+OH=EO2−OH2=1−122=34，GH⋅HE=GH⋅GF=GO+OH⋅GO+OF==GO2−OH2=1−122=34，
则EF⋅FG+GH⋅HE=32.
故答案为：32.
【题型2 利用极化恒等式求最值（范围）】
【例2】（2024高三·全国·专题练习）半径为2的圆O上有三点A、B、C满足OA+AB+AC=0，点P是圆内一点，则PA⋅PO+PB⋅PC的取值范围为（ ）
A．[−4，14)B．[0，4)C．[4，14]D．[4，16]
【解题思路】设OA与BC交于点D，由OA+AB+AC=0得四边形OBAC是菱形，D是对角线中点，PA,PO,PB,PC用PD和其他向量表示并计算数量积后可得PA⋅PO+PB⋅PC＝2PD2−4，由点与的位置关系可得PD的取值范围，得结论．
【解答过程】如图， OA与BC交于点D，由OA+AB+AC=0得： OB+AC=0，
所以四边形OBAC是菱形，且OA=OB=2，则AD=OD=1，BD=DC=3，
由图知PB=PD+DB，PC=PD+DC，而DB=−DC，
∴PB⋅PC=PD2−DB2=|PD|2−|DB|2=|PD|2−3，
同理PA=PD+DA，PO=PD+DO，而DA=−DO，
∴PA⋅PO=PD2−DO2=|PD|2−|DO|2=|PD|2−1，
∴PA⋅PO+PB⋅PC=2|PD|2−4，
∵点P是圆内一点，则0≤|PD|