重难点16 数列的综合应用（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc28342" 【题型1 等差、等比数列的交汇问题】 PAGEREF _Tc28342 \h 3
\l "_Tc13628" 【题型2 数列中的数学文化问题】 PAGEREF _Tc13628 \h 6
\l "_Tc29415" 【题型3 数列的实际应用问题】 PAGEREF _Tc29415 \h 9
\l "_Tc20896" 【题型4 数列中的不等式恒成立、有解问题】 PAGEREF _Tc20896 \h 13
\l "_Tc19442" 【题型5 数列中的不等式证明问题】 PAGEREF _Tc19442 \h 17
\l "_Tc16502" 【题型6 子数列问题】 PAGEREF _Tc16502 \h 21
\l "_Tc942" 【题型7 数列与函数的交汇问题】 PAGEREF _Tc942 \h 26
\l "_Tc13864" 【题型8 数列与导数的交汇问题】 PAGEREF _Tc13864 \h 29
\l "_Tc20230" 【题型9 数列与概率统计的交汇问题】 PAGEREF _Tc20230 \h 34
\l "_Tc17784" 【题型10 数列与平面几何的交汇问题】 PAGEREF _Tc17784 \h 38
\l "_Tc26925" 【题型11 数列中的结构不良题】 PAGEREF _Tc26925 \h 43
\l "_Tc19042" 【题型12 数列的新定义、新情景问题】 PAGEREF _Tc19042 \h 47
1、数列的综合应用
数列是高考的热点内容，命题形式多种多样，大小均有，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，数列的综合应用问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容，以解答题的形式考查，一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等. 去年高考压轴题中出现数列的新定义、新情景题，综合性强，难度大，需要灵活求解.
【知识点1 等差、等比数列的交汇问题的解题策略】
1．等差、等比数列的交汇问题的求解思路：
(1)等差与等比数列的基本量间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解，求解时注意对
性质的灵活运用.
(2)数列的综合运算问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：
寻找通项公式，利用性质进行转化.
【知识点2 数列的数学文化问题】
1．数列的数学文化问题的解题步骤：
(1)读懂题意：会脱去数学文化的背景，读懂题意；
(2)构造模型：根据题意，构造等差数列、等比数列或递推关系式的模型；
(3)求解模型：利用数列知识求解数列的基本量、通项公式、前n项和等，解决问题.
【知识点3 数列的新定义、新情景问题】
1．数列的新定义、新情景问题的求解策略
(1)新定义问题：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的
要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.
(2)新情景问题：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.
【知识点4 数列的综合应用】
1．数列与不等式交汇问题的解题策略
(1)解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、 分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立、有解问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
(2)数列与不等式交汇问题的答题模板
第一步：根据题目条件，求出数列的通项公式；
第二步：根据数列项的特征，选择合适的方法(公式法、分组转化法、裂项相消法、错位相减法等)求和；
第三步：利用第二步中所求得的数列的和，证明不等式或求参数的范围；
第四步：反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤.
2．数列与函数交汇问题的解题策略
数列与函数综合问题的主要类型及解题策略
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.
(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方
法等对式子化简变形.
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性.
3．子数列问题的解题策略
子数列是数列问题中的一种常见题型，将原数列转化为子数列问题一般适用于某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置，即项不变化，项数变化，它体现了转化与化归以及分类讨论、函数与方程的思想，能很好地考查学生的思维.
4．数列中结构不良题的解法
(1))先定后动，先对题目中确定的条件进行分析推断，再观察分析“动”条件，结合题干要求选出最适合自己解答的条件求解.
(2)最优法，当题干中确定的条件只有一个时，要根据自己的知识优势和擅长之处选择更适合自己的条件进行解答.
5．数列的实际应用问题的解题策略
(1)数列的实际应用中的常见模型
①数列——分期付款模型；
②数列——产值增长模型；
③数列——其他模型；
(2)解决数列的实际应用问题的解题思路
①根据题意，分析题干条件，正确确定数列模型；
②利用数列知识求出数列的基本量、通项公式等，准确求解模型；
③通过数列模型解决问题，注意不要忽视问题的实际意义.
【题型1 等差、等比数列的交汇问题】
【例1】（2024·四川绵阳·三模）已知首项为1的等差数列an满足：a1,a2,a3+1成等比数列.
(1)求数列an的通项公式；
(2)若数列bn满足：a1bn+a2bn−1+⋯+anb1=3n−1，求数列bn的前n项和Tn.
【解题思路】（1）由已知列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）令Dn=a1bn+a2bn−1+⋯+anb1=3n−1，得Dn+1=a1bn+1+a2bn+⋯+an+1b1=3n+1−1，两式相减得Tn+1=2⋅3n，又D1=a1b1=2⇒b1=2，即得Tn=2⋅3n−1
【解答过程】（1）设an公差为d，又a1,a2,a3+1成等比数列，
所以a22=a1⋅a3+1⇒a1+d2=a1a1+2d+1，
又a1=1，即1+d2=2+2d，解得d=1或d=−1，
而d=−1时，不满足a1,a2,a3+1成等比数列，所以d=1，
所以an=1+n−1×1=n.
（2）令Dn=a1bn+a2bn−1+⋯+anb1=3n−1，
所以Dn+1=a1bn+1+a2bn+⋯+an+1b1=3n+1−1，
两式相减有：Dn+1−Dn=a1bn+1+bn+bn−1⋯+b1=2⋅3n，
所以数列bn的前n+1项和为2⋅3n，即Tn+1=2⋅3n，
又D1=a1b1=2⇒b1=2，所以b1+b2+⋯+bn=2⋅3n−1，
所以Tn=2⋅3n−1.
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知等差数列an的前n项和为Sn，a1+a2+3a4=25，且a3+2，a4，a5−2成等比数列．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=an⋅3an+1，求数列bn的前n项和Tn．
【解题思路】（1）设出公差，表达出前5项，通过等差和等比关系求出a3和公差d，即可得到数列an的通项公式；
（2）表达出数列bn的通项公式，得到数列bn的前n项和Tn的表达式，利用错位相减法即可得出数列bn的前n项和.
【解答过程】（1）由题意，n∈N∗
在等差数列an中，设公差为d,
由a1+a2+3a4=25，得5a1+10d=25，则a1+2d=a3=5，
又a3＋2，a4，a5－2成等比数列，
∴7，5＋d，3＋2d成等比数列，得5+d2=73+2d，即d−22=0，得d＝2，
∴an=a3+n−3d=2n−1，n∈N∗，
∴数列an的通项公式为：an=2n−1n∈N∗．
（2）由题意及（1）得，n∈N∗，
在数列an中，an=2n−1，
在数列bn中，bn=an⋅3an+1，
∴bn=2n−1⋅32n=2n−1⋅3n，
∴Tn=1×31+3×32+5×33+⋯+2n−1×3n，
3Tn=1×32+3×33+⋯+2n−3×3n+2n−1×3n+1，
两式相减得−2Tn=3+232+33+⋯+3n−2n−1⋅3n+1
=3+2⋅91−3n−11−3−2n−1⋅3n+1
=−6+2−2n⋅3n+1．
∴Tn=3+n−1⋅3n+1n∈N∗.
【变式1-2】（2024·上海奉贤·二模）已知数列{an}和{bn}，其中bn=2an，n∈N∗，数列{an+bn}的前n项和为Sn．
(1)若an=2n，求Sn；
(2)若{bn}是各项为正的等比数列，Sn=3n，求数列{an}和{bn}的通项公式．
【解题思路】（1）先判定数列{an}和{bn}分别为等差和等比数列，进而分别得到其通项公式，从而利用分组求和的方法得到数列{an+bn}的前n项和Sn．
（2）利用数列{an+bn}的前n项和Sn=3n列出方程组，解之即可求得a1、d、b1、q，进而求得数列{an}和{bn}的通项公式．
【解答过程】（1）解：当n≥2时，an−an−1=2n−2(n−1)=2，从而{an}是等差数列，an=2n，
bnbn−1=2an2an−1=2an−an−1=4，所以{bn}是等比数列，
又b1=2a1=22=4，则bn=4×4n−1=4n，
所以Sn=n(2+2n)2+4×(1−4n)1−4=n2+n+43(4n−1)．
（2）解：{bn}是各项为正的等比数列，设其首项为b1，公比为q，
由bn=2an，可得an=lg2bn，则an+1−an=lg2bn+1−lg2bn=lg2q，（定值）
则数列{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，
由数列{an+bn}的前n项和Sn=3n，
可得方程组a1+b1=3a1+d+b1q=3a1+2d+b1q2=3a1+3d+b1q3=3，整理得d+b1q2−b1q=0d+b1q3−b1q2=0，
解得：b1q(q−1)2=0，∵b1≠0，q≠0，∴q=1且d=0，
由a1+2a1=3，可得a1=1，则b1=2，
则数列{an}的通项公式为an=1；数列{bn}的通项公式为bn=2．
【变式1-3】（2024·天津·二模）设an是等差数列，其前n项和Sn，bn是等比数列，且a1=b1=3，a4=b2，S3=15.
(1)求an与bn的通项公式；
(2)设cn=anbn,n为奇数(3−4n)bnan−1·an+1,n为偶数，求数列cn的前2n项和T2n；
(3)若对于任意的n∈N*不等式nan+1−λan−1n+2−120，
∴f(n)=1−n+6n(n+2)0，所以an=n.
所以第n个三角形的面积为12an×1=n2.
故选：B．
【题型3 数列的实际应用问题】
【例3】（23-24高二下·河南驻马店·期中）某医院购买一台大型医疗机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，每月复利一次，则a，b满足（ ）
A．12b=aB．12b=a1+5‰12
C．12b=a1+5‰D．a