重难点19 立体几何中的截面、交线问题（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc19044" 【题型1 截面作图】 PAGEREF _Tc19044 \h 2
\l "_Tc17959" 【题型2 截面图形的形状判断】 PAGEREF _Tc17959 \h 4
\l "_Tc7262" 【题型3 截面图形的周长或面积问题】 PAGEREF _Tc7262 \h 5
\l "_Tc10342" 【题型4 球的截面问题】 PAGEREF _Tc10342 \h 6
\l "_Tc22197" 【题型5 截面切割几何体的体积、表面积问题】 PAGEREF _Tc22197 \h 6
\l "_Tc6460" 【题型6 交线长度、轨迹问题】 PAGEREF _Tc6460 \h 7
\l "_Tc23356" 【题型7 截面的范围与最值问题】 PAGEREF _Tc23356 \h 8
1、立体几何中的截面、交线问题
“截面、交线”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、周长、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解.
【知识点1 立体几何中的截面问题】
1．作截面的几种方法
(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程.
(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.
(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线.
2．球的截面
(1)球的截面形状
①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；
②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.
(2)球的截面的性质
①球心和截面圆心的连线垂直于截面；
②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：.
图形解释如下：
在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径
为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即.
【知识点2 立体几何中的截面、交线问题的解题策略】
1．立体几何截面问题的求解方法
(1)坐标法：所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，进行求解.
(2)几何法：从几何视角人手，借助立体几何中的线面平行及面面平行的性质定理，找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再进行求解.
2．截面、交线问题的解题策略
(1)作截面应遵循的三个原则：
①在同一平面上的两点可引直线；
②凡是相交的直线都要画出它们的交点；
③凡是相交的平面都要画出它们的交线.
(2)作交线的方法有如下两种：
①利用基本事实3作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.
【题型1 截面作图】
【例1】（2024·河南新乡·三模）在如图所示的几何体中，DE∥AC，AC⊥平面BCD，AC=2DE=4，BC=2，DC=1，∠BCD=60°.

（1）证明：BD⊥平面ACDE；
（2）过点D作一平行于平面ABE的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面ABE之间的几何体的体积.
【变式1-1】（2024高一下·广东佛山·竞赛）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E､F分别为棱AB､CC1的中点.

(1)请在正方体的表面完整作出过点E､F､D1的截面.（只需写出作图过程，不用证明）
(2)请求出截面分正方体上下两部分的体积之比.
【变式1-2】（2023·贵州·模拟预测）矩形ABCD中，AB=3,AD=1（如图1），将△DAC沿AC折到△D1AC的位置，点D1在平面ABC上的射影E在AB边上，连结D1B（如图2）.
(1)证明：AD1⊥BC；
(2)过D1E的平面与BC平行，作出该平面截三棱锥D1−ABC所得截面（不要求写作法）.记截面分三棱锥所得两部分的体积分别为V1,V2,V1