重难点12 解三角形的最值和范围问题（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc21190" 【题型1 三角形、四边形面积的最值或范围问题】 PAGEREF _Tc21190 \h 2
\l "_Tc16719" 【题型2 三角形边长的最值或范围问题】 PAGEREF _Tc16719 \h 5
\l "_Tc17111" 【题型3 三角形周长的最值或范围问题】 PAGEREF _Tc17111 \h 8
\l "_Tc28296" 【题型4 三角形的角（角的三角函数值）的最值或范围问题】 PAGEREF _Tc28296 \h 12
\l "_Tc21385" 【题型5 利用基本不等式求最值（范围）】 PAGEREF _Tc21385 \h 15
\l "_Tc16764" 【题型6 转化为三角函数求最值（范围）】 PAGEREF _Tc16764 \h 17
\l "_Tc24882" 【题型7 转化为其他函数求最值（范围）】 PAGEREF _Tc24882 \h 21
\l "_Tc17425" 【题型8 “坐标法”求最值（范围）】 PAGEREF _Tc17425 \h 25
\l "_Tc6499" 【题型9 与平面向量有关的最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc6499 \h 29
1、解三角形的最值和范围问题
解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.
【知识点1 三角形中的最值和范围问题】
1．三角形中的最值（范围）问题的常见解题方法：
(1)利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）；
(2)利用基本不等式求最值（范围）；
(3)转化为三角函数求最值（范围）；
(4)转化为其他函数求最值（范围）；
(5)坐标法求最值（范围）.
2．三角形中的最值（范围）问题的解题策略：
(1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运
用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）．
(2)转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略
三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利
用三角函数的范围求出最值或范围.
(3)坐标法求最值（范围）求最值（范围）问题的解题策略
“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边
角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值．
【题型1 三角形、四边形面积的最值或范围问题】
【例1】（2024·河北石家庄·三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,c=4,ab=9．
(1)若sinC=23，求sinA⋅sinB的值；
(2)求△ABC面积的最大值．
【解题思路】（1）根据正弦定理可得sinA=a6,sinB=b6，从而可求sinA⋅sinB的值；
（2）利用基本不等式可得a2+b2≥2ab=18，再根据余弦定理可得csC的范围，从而可得sinC的范围，结合三角形面积公式，即可得△ABC面积的最大值．
【解答过程】（1）由正弦定理csinC=bsinB=asinA=6，可得sinA=a6,sinB=b6，
∴sinA⋅sinB=a6⋅b6=936=14
（2）∵ab=9，∴a2+b2≥2ab=18，
由余弦定理可得csC=a2+b2−c22ab≥2ab−1618=19，
∴19≤csC