专题9.2 用样本估计总体（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc16284" 【题型1 百分位数的求解】 PAGEREF _Tc16284 \h 3
\l "_Tc12433" 【题型2 样本的数字特征的估计】 PAGEREF _Tc12433 \h 4
\l "_Tc11493" 【题型3 总体集中趋势的估计】 PAGEREF _Tc11493 \h 5
\l "_Tc32129" 【题型4 总体离散程度的估计】 PAGEREF _Tc32129 \h 7
\l "_Tc24919" 【题型5 分层方差问题】 PAGEREF _Tc24919 \h 8
\l "_Tc389" 【题型6 其他统计图表中反映的集中趋势与离散程度】 PAGEREF _Tc389 \h 9
1、用样本估计总体
【知识点1 用样本估计总体】
1．总体百分位数的估计
(1)概念
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个
值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
(2)求解步骤
可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数：
第1步，按从小到大排列原始数据.
第2步，计算i=n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p
百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
2．频率分布直方图的数字特征
(1)众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来表示，即在样本数据的频率分布直方图
中，最高小长方形的底边中点的横坐标；
(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；
(3)平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和.
3．总体集中趋势的估计
在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度
刻画了一组数据的集中趋势.具体概念回顾如下：
4．总体离散程度的估计
(1)方差和标准差
假设一组数据是，，，，用表示这组数据的平均数，则我们称为这组数据的
方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式.
我们对方差开平方，取它的算数平方根，称为这组数据的标准差.
(2)总体（样本）方差和总体标准差
①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为，，，，总体平均数为，则总体方差=
.
②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(kN)个，不妨记为，，，，其中出
现的频数为(i=1，2，，k)，则总体方差为=.
总体标准差：S=.
(3)标准差与方差的统计意义
①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.
②在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.
③标准差(方差)的取值范围为[0,+).若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，则
标准差为0.反之，标准差为0的样本，其中的数据都相等.
5．频率分布直方图中的统计参数
(1)频率分布直方图中的“众数”
根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个(些)点的横坐标为这组数据的众数.一般用
中点近似代替.
(2)频率分布直方图中的“中位数”
根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.
因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值.
(3)频率分布直方图中的“平均数”
平均数是频率分布直方图的“重心”.因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分
布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.
【方法技巧与总结】
1．若x1,x2,…,xn的平均数为，那么的平均数为.
2．数据x1,x2,…,xn与数据的方差相等，即数据经过平移后方差不变.
3．若x1,x2,…,xn的方差为s2，那么的方差为a2s2.
【题型1 百分位数的求解】
【例1】（2024·安徽六安·模拟预测）样本数据16，20，24，21，22，18，14，28的75%分位数为（ ）
A．16B．17C．23D．24
【变式1-1】（2024·河南郑州·模拟预测）已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75百分位数是（ ）
A．86B．87C．88D．90
【变式1-2】（2024·黑龙江大庆·三模）小明希望自己的高考数学成绩能超过120分，为了激励自己，他记录了近8次数学考试成绩，并绘制成折线统计图，如图，这8次成绩的第80百分位数是（ ）
A．100B．105C．110D．120
【变式1-3】（2024·福建泉州·一模）海上丝绸之路的起点城市一泉州，有着丰厚的文化底蕴，作为国家级非遗的蟳埔女簪花围习俗，是福建博大精深的海洋文化“百花园”中的一朵香花．某机构随机调查了18位“簪花围”体验者对这一活动的满意度评分情况，得到如下数据：a，60，70，70，71，73，74，74，75，76，77，79，80，83，85，87，93，100．若a恰好是这组数据的下四分位数，则a的值不可能为（ ）
A．71B．72C．73D．74
【题型2 样本的数字特征的估计】
【例2】（2024·浙江绍兴·三模）已知实数1