专题10.2 排列与组合（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc8092" 【题型1 排列数的化简、计算与证明】 PAGEREF _Tc8092 \h 3
\l "_Tc4595" 【题型2 组合数的化简、计算与证明】 PAGEREF _Tc4595 \h 4
\l "_Tc15272" 【题型3 全排列问题】 PAGEREF _Tc15272 \h 4
\l "_Tc21325" 【题型4 元素（位置）有限制的排列问题】 PAGEREF _Tc21325 \h 5
\l "_Tc18752" 【题型5 相邻问题的排列问题】 PAGEREF _Tc18752 \h 6
\l "_Tc32565" 【题型6 不相邻排列问题】 PAGEREF _Tc32565 \h 6
\l "_Tc27294" 【题型7 组合计数问题】 PAGEREF _Tc27294 \h 7
\l "_Tc17019" 【题型8 定序问题】 PAGEREF _Tc17019 \h 7
\l "_Tc26313" 【题型9 分组分配问题】 PAGEREF _Tc26313 \h 8
\l "_Tc18334" 【题型10 涂色问题】 PAGEREF _Tc18334 \h 8
\l "_Tc1938" 【题型11 排列组合综合】 PAGEREF _Tc1938 \h 9
1、排列与组合
【知识点1 排列与组合】
1．排列与组合的概念
2．排列数与组合数
(1)排列数定义
从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的排列数，用符号表示.
(2)组合数
从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的组合数，用符号表示.
3．排列数、组合数的公式及性质
(1)排列数公式
=n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈，并且mn.
(2)组合数公式
①连乘表示：
==.
这里，n,m∈，并且mn.
②阶乘表示：=.
规定：=1.
(3)组合数的性质
①性质1：=
②性质2：=+
【知识点2 排列、组合常见问题的分类与解题策略】
1．排列应用问题的分类与解法
(1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在
实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的
内部排列.
(3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面
元素排列的空档中.
(4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二
是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可.
(5)间接法：正面分类太多从反面入手.
(6)多排问题直排法：元素分为多排的排列问题，可以看出一排问题，再分段研究.
2．组合问题的分类与解法
组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；
“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个
关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
3．分组分配问题
(1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题.
(2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则
分组后除以m!；③完全非均匀分组，只要分组即可.
(3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数
原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解.
【方法技巧与总结】
1．解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排.
(2)合理分类与准确分步.
(3)排列、组合混合问题要先选后排.
(4)相邻问题捆绑处理.
(5)不相邻问题插空处理.
(6)定序问题倍缩法处理.
(7)分排问题直排处理.
(8)“小集团”排列问题先整体后局部。
(9)构造模型.
(10)正难则反，等价转化.
【题型1 排列数的化简、计算与证明】
【例1】（2024·全国·模拟预测）下列数中，与Am3不相等的是（ ）
A．A33⋅Cm3B．Am−13+2Am−12C．AmmAm−3m−3D．m!(m−3)!
【变式1-1】（2024·山东·模拟预测）若集合A={xx是质数}，B=n∈N*An2≤90，则A∩B=（ ）
A．3,5,7B．2,3,5,7
C．3,5,7,9D．2,3,5,7,11,13
【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）不等式A8x