专题9.3 成对数据的统计分析（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc2726" 【题型1 变量的相关关系】 PAGEREF _Tc2726 \h 4
\l "_Tc21703" 【题型2 样本相关系数】 PAGEREF _Tc21703 \h 6
\l "_Tc6758" 【题型3 一元线性回归模型】 PAGEREF _Tc6758 \h 8
\l "_Tc26673" 【题型4 非线性回归模型】 PAGEREF _Tc26673 \h 11
\l "_Tc17098" 【题型5 残差分析】 PAGEREF _Tc17098 \h 16
\l "_Tc18241" 【题型6 列联表与独立性检验】 PAGEREF _Tc18241 \h 18
\l "_Tc7303" 【题型7 独立性检验与其他知识综合】 PAGEREF _Tc7303 \h 21
1、成对数据的统计分析
【知识点1 变量的相关关系】
1．变量的相关关系
(1)函数关系
函数关系是一种确定性关系，常用解析式来表示.
(2)相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关
系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.
2．散点图
(1)散点图
成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图.
(2)正相关和负相关
如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个
变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关.

3．线性相关
一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，则称这两个变量线
性相关.
【知识点2 样本相关系数】
1．样本相关系数
(1)对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(,)，(,)，，(,)，利用
相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，相关系数r的计算公式：
（其中，，，和，，，的均值分别为和）.
①当r>0时，称成对样本数据正相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小；
当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大.
②当rr2>r3B．r2>r3>r1C．r1>r3>r2D．r3>r2>r1
【解题思路】根据散点图判断两变量的线性相关性，再根据线性相关性与相关系数的关系判断即可.
【解答过程】由散点图可知，图一两个变量成正相关，且线性相关性较强，故r1>0，
图二、图三两个变量都成负相关，且图二的线性相关性更强，
故r2r3>r2，所以r1>r3>r2.
故选：C.
【变式2-1】（23-24高二上·辽宁·期末）在一组样本数据x1,y1、x2,y2、⋯、xn,ynn≥2、x1、x2、⋯、xn不全相等）的散点图中，若所有的样本点xi,yii=1,2,⋯,n都在直线y=−2x+1上，则这组样本数据的相关系数为（ ）
A．2B．−2C．−1D．1
【解题思路】根据相关系数的与线性相关关系可得解.
【解答过程】因为所有的样本点都在直线y=−2x+1上，所以相关系数r满足r=1.
又因为−28可求出研发人员增量.
【解答过程】（1）选择模型②，理由如下：
由于模型②残差点比较均匀在落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型①带状宽度窄，
所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以模型②比较合适.
（2）根据模型②，令t=x,y与t可用线性回归来拟合，有y=c+dt.
则d=i=110(yi−y)(ti−t)i=110(ti−t)2=，所以c=y−dt=7.5−0.64×2.25=6.06,
则y关于t的经验回归方程为y^=0.64t+6.06，所以y关于x的经验回归方程为y^=0.64x+6.06.
由题意，y^=0.64x+6.06>8，解得x>97322≈9.2，又x为整数，所以x≥10.
所以，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少为10人.
【变式4-2】（2024·福建南平·模拟预测）某大型商场的所有饮料自动售卖机在一天中某种饮料的销售量y（单位：瓶）与天气温度x（单位：℃）有很强的相关关系，为能及时给饮料自动售卖机添加该种饮料，该商场对天气温度x和饮料的销售量y进行了数据收集，得到下面的表格：
经分析，可以用y=a⋅2kx作为y关于x的经验回归方程．
(1)根据表中数据，求y关于x的经验回归方程(结果保留两位小数)；
(2)若饮料自动售卖机在一天中不需添加饮料的记1分，需添加饮料的记2分，每台饮料自动售卖机在一天中需添加饮料的概率均为13，在商场的所有饮料自动售卖机中随机抽取3台，记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
参考公式及数据：对于一组数据x1,y1,x2,y2,⋯,xn,yn，经验回归方程y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2,a=y−bx;x=25,i=17(xi−x)2=700
【解题思路】（1）设z=lg2y,m=lg2a，转化为z=kx+m，利用最小二乘法，求得k=2770≈0.39，求得a≈2−1.64，进而得到y关于x的经验回归方程；
（2）根据题意，得到变量X的可能取值为3,4,5,6，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.
【解答过程】（1）解：设z=lg2y,m=lg2a，由y=a⋅2kx，可得z=lg2y=kx+lg2a=kx+m，
因为lg24=2,lg216=4,lg264=6，lg2256=8,lg22048=11,lg24096=12，
lg28192=13，所以z=2+4+6+8+11+12+137=8，
由表中的数据可得x=10+15+20+25+30+35+407=25，
则i=17xizi−7xz=10×2+15×4+20×6+25×8+30×11+35×12+40×13−7×25×8=270，
所以k=i=17(xi−x)(zi−z)i=17(xi−x)2=i=17xizi−nxzi=17(xi−x)2=270700=2770≈0.39，
则m=z−kx=8−2770×25≈−1.64，可得a=2m≈2−1.64，
所以y关于x的经验回归方程为y^=2−1.64⋅20.39x=20.39x−1.64.
（2）解：由题意，随机变量X的可能取值为3,4,5,6，
可得PX=3=233=827，PX=4=C31×232×13=49，
PX=5=C32×23×132=29，PX=6=133=127，
所以变量X的分布列为
所以，期望为EX=3×827+4×49+5×29+6×127=4.
【变式4-3】（2024·重庆·二模）某商场推出“云闪付”购物活动，由于推广期内优惠力度较大，吸引了越来越多的顾客使用这种支付方式.现统计了活动刚推出一周内每天使用“云闪付”支付的人数，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用该支付方式的人数，统计数据如下表所示：
根据散点图判断，在推广期内，支付的人数y关于天数x的回归方程适合用y=c⋅dx表示.
(1)求该回归方程，并预测活动推出第8天使用“云闪付”的人数；（lgc,lgd的结果精确到0.01）
(2)推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表：
商场规定：使用会员卡支付的顾客享8折，“云闪付”的顾客随机优惠，其它支付方式的顾客无优惠，根据统计结果得知，使用“云闪付”的顾客，享7折的概率为13，享8折的概率为16，享9折的概率为12.设顾客购买标价为a元的商品支付的费用为X，根据所给数据用事件发生的频率估计相应事件发生的概率，写出X的分布列，并求EX.
参考数据：设vi=lgyi,v=17i=17vi≈1.59,i=17xi⋅vi≈51.30,100.63≈4.27,101.92≈83.18.
参考公式：对于一组数据u1,v1,u2,v2,⋯un,vn，其回归直线v=β⋅u+α的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：β^=i=1nui⋅vi−nu⋅vi=1nui2−nu2,α^=v−β^⋅u.
【解题思路】（1）由y=c⋅dx两边取常用对数，利用换元法转化为线性归回直线方程并结合公式进行求解；
（2）根据概率的乘法公式进行求解列出分布列，根据期望公式计算结果.
【解答过程】（1）由y=c⋅dx，得lgy=lgc+lgd⋅x，设v=lgy，b=lgd，a=lgc，则v=a+b⋅x.
x=4,v≈1.59,i=17xi2=140，
lgd=b=i=17xi⋅vi−7⋅x⋅vi=17xi2−7x2=51.3−7×4×1.59140−7×16≈0.24.
把样本中心点4,1.59代入方程得lgc=a=v−lgd⋅x=1.59−0.24×4≈0.63，
所以v=0.24x+0.63，即lgy=0.24x+0.63，
其回归方程为y=100.24x+0.63=100.63⋅100.24x，
当x=8时，y=100.63⋅100.24×8≈4.27×83.18≈355.
（2）X的可能取值为：0.7a,0.8a,0.9a,a.
PX=0.7a=310×13=0.1,PX=0.8a=310+310×16=0.35
PX=0.9a=310×12=0.15,PX=a=410=0.4,
分布列如下：
所以，购物的平均费用为：EX=0.7a×0.1+0.8a×0.35+0.9a×0.15+a×0.4=0.885a.
【题型5 残差分析】
【例5】（2024·河南·模拟预测）已知一组样本数据x1,y1，x2,y2，，xn,yn，根据这组数据的散点图分析x与y之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为y=−30.4+13.5x，则在样本点9,53处的残差为（ ）
A．38.1B．22.6C．−38.1D．91.1
【解题思路】对于响应变量y，通过观测得到的数据为观测值，通过线性回归方程得到y的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.
【解答过程】因为观测值减去预测值称为残差，
所以当x=9时，y=−30.4+13.5×9=91.1，
所以残差为53−91.1 =−38.1.
故选：C.
【变式5-1】（2024·河北石家庄·三模）下列残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据一元线性回归模型对随机误差的假定即可判断结果.
【解答过程】图A显示残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部分；
图B说明残差的方差不是一个常数，随观测时间变大而变大；
图C显示残差与观测时间有线性关系，应将时间变量纳入模型；
图D的残差较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，
可见D满足一元线性回归模型对随机误差的假定．
故选：D．
【变式5-2】（23-24高二下·河北唐山·阶段练习）某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下表关系：
y与x的线性回归方程为y=6.5x+17.5，当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为（ ）
A．−10B．−20C．20D．10
【解题思路】随机误差的效应（残差）为观测值减去预测值
【解答过程】当广告支出5万元时，观测值为60，预测值为y=6.5×5+17.5=50，则随机误差的效应（残差）为60−50=10.
故选：D.
【变式5-3】（23-24高二下·安徽·阶段练习）设某制造公司进行技术升级后的第x个月（x=1,2,3,4,5）的利润为y（单位：百万元），根据统计数据，求得y关于x的经验回归方程为y=6x+3，若x=1时的观测值y=10，则x=1时的残差为（ ）
A．−1B．1C．3D．6
【解题思路】利用残差的定义求解.
【解答过程】解：因为x=1时的预测值为y^=6×1+3=9，
所以残差为10−9=1．
故选：B．
【题型6 列联表与独立性检验】
【例6】（2024·上海闵行·二模）某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表：
假设H0：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.通过计算统计量χ2，得χ2≈7.468，根据χ2分布概率表:P(χ2≥6.635)≈0.01，P(χ2≥5.024)≈0.025，P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥2.706)≈0.1.给出下列3个命题，其中正确的个数是（ ）
①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于5%；
②有99%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关；
③χ2分布概率表中的0.05、0.01等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生.
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解题思路】根据χ2≈7.468，与临界值表对照判断.
【解答过程】解：因为χ2≈7.468，且χ2≥6.635，
所以有99%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关，
即“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于5%，
故①②正确；
χ2分布概率表中的0.05、0.01等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生. 故③正确；
故选：D.
【变式6-1】（2024·辽宁鞍山·二模）校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查．其中被调查的男女生人数相同．男生选学生物学的人数占男生人数的45，女生选学生物学的人数占女生人数35．若有90%的把握认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（ ）人．
附表：
其中，K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d．
A．20B．30C．35D．40
【解题思路】借助卡方计算即可得.
【解答过程】设总人数为2n，则男生选学生物学的人数为45n，女生选生物学的人数为35n，
则K2=2n4n5×2n5−3n5×n52n×n×7n5×3n5=2n21≥2.706，
即n≥2.706×212≈28.413，又n为5的倍数，故男生最少有30人.
故选：A.
【变式6-2】（2024高三·全国·专题练习）某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A，B进行比较研究，将志愿者分为两组，分别采用方案A和方案B进行治疗，统计结果如下：
(1)完成上述列联表，并比较两种治疗方案有效的频率；
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
【解题思路】(1)根据合计数可以完善表格，结合频数可得频率；
(2)根据列联表的数据和卡方公式，计算观测值，比较观测值和临界值可得结论.
【解答过程】解：(1)列联表如下：
使用方案A组有效的频率为96120＝0.8；使用方案B组有效的频率为7280＝0.9.
(2)K2=200×(96×8−24×72)2120×80×168×32≈3.5713.841．
则零假设不成立，
即有95%的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．
【题型7 独立性检验与其他知识综合】
【例7】（2024·江苏南通·模拟预测）跑步是人们日常生活中常见的一种锻炼方式，其可以提高人体呼吸系统和心血管系统机能，抑制人体癌细胞生长和繁殖.为了解人们是否喜欢跑步，某调查机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表.
(1)根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？
(2)该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为23，张先生跑步上班迟到的概率为13.对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司（无论周四是否准时到达公司）.设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为X，求X的概率分布及数学期望EX.
附：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
【解题思路】（1）由2×2列联表中的数据，求得χ2=4099，结合附表，即可得到结论；
（2）由题意，得到变量X的可能取值为1,2,3,4，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.
【解答过程】（1）解：假设H0：人们对跑步的喜欢情况与性别无关，
根据题意，由2×2列联表中的数据，
可得χ2=40×12×10−8×10220×20×22×18=4099≈0.40410．828
所以依据小概率值α=0．001的独立性检验，可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关．
（2）记星期二选择了①号套餐为事件A1，选择②号套餐为A2，
星期四选择了①号套餐为事件B1，选择②号套餐为B2，
则PA1=PA2=12,PB1∣A1=45,PB1∣A2=23，
所以PB1=PA1PB1∣A1+PA2PB1∣A2=12×45+12×23=1115，
所以PB2=1−PB1=1−1115=415．
（3）依题意可得学生“喜欢饭堂就餐”的概率P=60100=35，
则ξ∼B10，35，所以Pξ=k=C10k35k⋅1−3510−k=C10k35k⋅2510−k 0≤k≤10且k∈N，
若Pξ=k取得最大值，则Pξ=k≥Pξ=k+1Pξ=k≥Pξ=k−1，
C10k35k⋅2510−k≥C10k+135k+1⋅259−kC10k35k⋅2510−k≥C10k−135k−1⋅2511−k
即25≥35×10−kk+135×11−kk≥25，，解得285≤k≤335，
又0≤k≤10且k∈N，所以k=6．
【变式7-2】（2024·湖南邵阳·三模）某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数y与天数x的情况，对统计得到的样本数据xi,yii=1,2,⋅⋅⋅,10作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中Yi=lnyi，Y=110i=110Yi.
(1)依据散点图推断，y=bx+a与y=ebx+a哪一个更适合作为未佩戴头盔人数y与天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)依据（1）的结果和上表中的数据求出y关于x的回归方程.
(3)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表：
依据α=0.10的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？
参考公式：b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2，a=y−bx，χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
【解题思路】（1）根据散点图的形状，可判断更适宜作为未佩戴头盔人数y与天数x的回归方程类型.
（2）将y=ebx+a两边取对数，转化为线性回归方程，利用表中的数据和线性回归方程公式求解即可.
（3）应用卡方公式求卡方值，由独立性检验的基本思想下结论即可.
【解答过程】（1）依据散点图可以判断，y=ebx+a更适合作为未佩戴头盔人数y与天数x的回归方程类型.
（2）由Yi=lnyi，得Y=lnebx+a=bx+a，
依题意得b=i=110xiYi−10xYi=110xi2−10x2=79.75−10×5.5×1.9385−10×5.52=−−0.3，
a=Y−bx=1.9−−0.3×5.5=3.55，
所以Y=−0.3x+3.55，即y=e−0.3x+3.55.
（3）零假设H0：市民佩戴头盔与性别无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到：
χ2=408×6−14×12220×20×22×18=40×120×12020×20×22×18≈3.636>2.706=x0.10，
根据小概率值α=0.10的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为市民佩戴头盔与性别有关联，
此推断犯错误的概率不超过0.10.
【变式7-3】（2024·陕西西安·模拟预测）某医疗科研小组为研究某市市民患有疾病A与是否具有生活习惯B的关系，从该市市民中随机抽查了100人，得到如表数据．（注：用M表示M的对立事件）
(1)是否有超过99%的把握认为，该市市民患有疾病A与是否具有生活习惯B有关?
(2)从该市市民中任选一人，M表示事件“选到的人不具有生活习惯B”，N表示事件“选到的人患有疾病A”，试利用该调查数据，求PN|M的估计值；
(3)从该市市民中任选3人，记这3人中具有生活习惯B，且未患有疾病A的人数为X，试利用该调查数据，求X的数学期望的估计值．
附：k2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
【解题思路】（1）先完善列联表，然后根据公式计算卡方，对照临界值表即可得结论；
（2）根据表中数据分别求出P(M),P(NM)，然后由条件概率公式可得；
（3）由二项分布的期望公式可得.
【解答过程】（1）由已知得列联表如下:
根据列联表中的数据，经计算得：
k2=100×(40×25−15×20)245×55×40×60≈8.249>6.635=k0.012.
故有超过99%的把握认为，该市市民患有疾病A与是否具有生活习惯B有关.
（2）由（1）数据可得:P(M)=45100=920,P(NM)=20100=15.
所以P(N∣M)=P(NM)P(M)=15920=49 .
（3）由（2）知，P(NM)=20100=15，
所以X~B3,15，所以E(X)的估计值为np=3×15=35.
一、单选题
1．（23-24高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知变量x和y满足关系y=−x+1，变量y与z正相关，则（ ）
A．x与y负相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y正相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关
【解题思路】根据关系式判断x,y负相关，再由变量y与z正相关可得x,z负相关即可判断.
【解答过程】因为变量x和y满足关系y=−x+1，变量y与z正相关，
由正相关、负相关的定义可知x与y负相关，x与z负相关.
故选：A.
2．（2024·广西贵港·模拟预测）下列说法中错误的是（ ）
A．独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异
B．两个变量x，y的相关系数为r，若r越接近1，则x与y之间的线性相关程度越强
C．若一组样本数据(xi,yi)（i=1,2,3,⋯,n）的样本点都在直线y=0.98x+3上，则这组数据的相关系数r为0.98
D．由一组样本数据(xi,yi)（i=1,2,3,⋯,n）求得的回归直线方程为y=0.98x+3，设yi=0.98xi+3，则i=1n(yi−yi)2i=1n(yi−y)20B．b2