专题8.8 直线与圆锥曲线的位置关系（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc9218" 【题型1 直线与圆锥曲线的位置关系】 PAGEREF _Tc9218 \h 4
\l "_Tc3018" 【题型2 圆锥曲线的弦长问题】 PAGEREF _Tc3018 \h 4
\l "_Tc4732" 【题型3 圆锥曲线的中点弦问题】 PAGEREF _Tc4732 \h 6
\l "_Tc13685" 【题型4 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题】 PAGEREF _Tc13685 \h 7
\l "_Tc5065" 【题型5 圆锥曲线中的最值问题】 PAGEREF _Tc5065 \h 8
\l "_Tc7617" 【题型6 圆锥曲线中的向量问题】 PAGEREF _Tc7617 \h 10
\l "_Tc24816" 【题型7 圆锥曲线中的探索性问题】 PAGEREF _Tc24816 \h 11
1、直线与圆锥曲线的位置关系
【知识点1 直线与圆锥曲线的位置关系】
1．直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y (或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交；直线与圆锥曲线相切；直线与圆锥曲线相离.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.
【知识点2 圆锥曲线中的弦长问题】
1．椭圆的弦长问题
(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.
(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点，
则或.
2．双曲线的弦长问题
①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d.
②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.
③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直
线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.
④双曲线的通径：
过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还
是在y轴上，双曲线的通径总等于.
3．抛物线的弦长问题
设直线与抛物线交于A,B两点，则
|AB|==或
|AB|== (k为直线的斜率，k≠0).
【知识点3 圆锥曲线中的中点弦与焦点弦问题】
1．椭圆的“中点弦问题”
(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根
与系数的关系以及中点坐标公式解决.
②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中
点坐标和斜率的关系.
设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)，
得，
①-②可得+=0，
设线段AB的中点为，当时，有+=0.
因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦
中点轨迹问题的常用方法.
(2)弦的中点与直线的斜率的关系
线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标
为，则弦AB所在直线的斜率为，即.
2．双曲线的“中点弦问题”
“设而不求”法解决中点弦问题：
①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验.
②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.
3．抛物线的焦点弦问题
抛物线=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标).
设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为：
【知识点4 圆锥曲线中最值问题的解题策略】
1. 处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：
一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；
二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用
函数方法、不等式方法等进行求解.
【知识点5 圆锥曲线中的探索性问题的解题策略】
1. 圆锥曲线中的探索性问题
此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，
成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.
【方法技巧与总结】
1．已知M，N是椭圆C：+=1 (a>b>0)上的两点，点O为坐标原点，且P是M，N的中点，则.
2．若曲线为双曲线，其余条件不变，则.
3．若曲线为抛物线，P为弦MN的中点：(开口向右)，(开口向左)，(开口向上)，(开口向下).
【题型1 直线与圆锥曲线的位置关系】
【例1】（2024·山东·模拟预测）已知直线l：y=kx+1，椭圆C：x24+y2=1，则“k=0”是“l与C相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【变式1-1】（2024·广东肇庆·模拟预测）已知双曲线E:x24−y25=1，则过点2,5与E有且只有一个公共点的直线共有（ ）
A．4条B．3条C．2条D．1条
【变式1-2】（2024·江苏宿迁·三模）已知抛物线C:x2=y，点M(m,1)，则“m>1”是“过M且与C仅有一个公共点的直线有3条”的（ ）
A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】（2024·上海·模拟预测）已知直线l与椭圆Γ，点F1,F2分别为椭圆Γ:x22+y2=1的左右焦点，直线F1M⊥l，F2N⊥l，垂足分别为点M,N（M,N不重合），那么“直线l与椭圆Γ相切”是“F1M⋅F2N=1”的（ ）
A．充分非必要B．必要非充分
C．充分必要D．既非充分又非必要
【题型2 圆锥曲线的弦长问题】
【例2】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点是A(−1,0)，一条渐近线的方程为y=x．
(1)求双曲线E的离心率；
(2)设直线y=12x−12与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长．
【变式2-1】（2024·河南·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P3,3为椭圆C上一点，且△PF1F2的面积为26．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若倾斜角为π4的直线l与C相交于两个不同的点A,B，求AB的最大值．
【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0一个焦点F到渐近线的距离为3，且离心率为2．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设M,N分别是双曲线C左、右两支上的动点，A为双曲线C的左顶点，若直线AM,AN的斜率分别为k1,k2，且k1⋅k2=−2,MN=92，求直线MN的方程．
【变式2-3】（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0与抛物线C2:y2=4ax的图象在第一象限交于点P．若椭圆的右顶点为B，且PB=65a．
(1)求椭圆C1的离心率．
(2)若椭圆C1的焦距长为2，直线l过点B．设l与抛物线C2相交于不同的两点M、N，且△OMN的面积为24，求线段MN的长度．
【题型3 圆锥曲线的中点弦问题】
【例3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，离心率为12.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F−43,0作斜率为32的直线交椭圆C于P,Q两点，求弦PQ中点坐标.
【变式3-1】（2024·广东·二模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点与椭圆x25+y2=1的焦点重合，其渐近线方程为y=±33x.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若A,B为双曲线C上的两点且不关于原点对称，直线l:y=13x过AB的中点，求直线AB的斜率.
【变式3-2】（2024·陕西西安·三模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长是短轴长的2倍，且右焦点为F1,0．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l:y=kx+2交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为−23．求直线l的方程．
【变式3-3】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知O为坐标原点，抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F，点Ax0，2p在C上，且sin∠OAF=425p.
(1)求C的标准方程；
(2)已知直线l交C于M，N两点，且MN的中点为2,1，求直线l的方程.
【题型4 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题】
【例4】（2024·河北·模拟预测）已知直线l过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(1,0)，且交C于A43,13,B两点．
(1)求C的离心率；
(2)设点P(3,1)，求△ABP的面积．
【变式4-1】（2024·山东济南·二模）已知点B4,3是双曲线T:x2a2−y2=1上一点，T在点B处的切线与x轴交于点A.
(1)求双曲线T的方程及点A的坐标；
(2)过A且斜率非负的直线与T的左､右支分别交于N,M.过N做NP垂直于x轴交T于P（当N位于左顶点时认为N与P重合）.C为圆E:(x−1)2+(y+2)2=1上任意一点，求四边形MBPC的面积S的最小值.
【变式4-2】（2024·浙江·模拟预测）已知点A4,4，B，C，D均在抛物线W：x2=2pyp>0上，A，C关于y轴对称，直线AB，AD关于直线AC对称，点D在直线AC的上方，直线AD交y轴于点E，直线AB斜率小于2.
(1)求△ABE面积的最大值；
(2)记四边形BCDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，若S1S2=2，求sin∠BAD.
【变式4-3】（2024·陕西宝鸡·三模）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）和圆C：x2+y2=1，C经过E的右焦点F，点A，B为E的右顶点和上顶点，原点O到直线AB的距离为2217.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设D，A是椭圆E的左、右顶点，过F的直线l交E于M，N两点（其中M点在x轴上方），求△MAF与△DNF的面积之比的取值范围.
【题型5 圆锥曲线中的最值问题】
【例5】（2024·新疆·二模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，C上任意一点到F的距离的最大值和最小值之积为1，离心率为63．
(1)求C的方程；
(2)设过点R1,13的直线l与C交于M，N两点，若动点P满足PM=λMR，PN=−λNR，动点Q在椭圆C上，求PQ的最小值．
【变式5-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知P14,1为抛物线C：y2=2pxp>0上的一点，直线x=my+n交C于A，B两点，且直线PA，PB的斜率之积为2.
(1)求C的准线方程；
(2)求mn−34的最小值.
【变式5-2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆C：x26+y22=1的左右焦点分别是F1,F2，双曲线E的顶点恰好是F1、F2，且一条渐近线是y=x．
(1)求E的方程：
(2)若E上任意一点H（异于顶点），作直线HF1交C于A,B，作直线HF2交C于P,Q，求AB+4PQ的最小值．
【变式5-3】（2024·安徽·三模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，动直线l:y=kx+m与C的左､右两支分别交于点M,N，且当k=m=1时，OM⋅ON=−2（O为坐标原点）.
(1)求C的方程；
(2)若点O到l的距离为1,C的左､右顶点分别为A1,A2，记直线A1M,A2N的斜率分别为kA1M,kA2N，求kA1MkA2N1+k2|MN|的最小值
【题型6 圆锥曲线中的向量问题】
【例6】（2024·四川成都·模拟预测）椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e=22，椭圆上的点到焦点的最短距离为1−e，直线l与y轴交于点P(0,m)（m≠0），与椭圆C交于相异两点A、B，且OA+λOB=4OP．
(1)求椭圆方程；
(2)求m的取值范围．
【变式6-1】（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，F1F2=25，且E的渐近线方程为y=±12x，直线l交双曲线E于P，Q两点.
(1)求双曲线E的方程；
(2)当直线l过点4,0时，求AP⋅AQ的取值范围.
【变式6-2】（2024·福建厦门·二模）已知A−2,0，B2,0，P为平面上的一个动点.设直线AP,BP的斜率分别为k1，k2，且满足k1⋅k2=−34.记P的轨迹为曲线Γ.
(1)求Γ的轨迹方程；
(2)直线PA，PB分别交动直线x=t于点C,D，过点C作PB的垂线交x轴于点H.HC⋅HD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
【变式6-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是双曲线x23−y2=1的离心率的倒数，椭圆C的左､右焦点分别为F1,F2，上顶点为P，且PF1⋅PF2=−2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当过点Q0,2的动直线l与椭圆C相交于两个不同点A,B时，设AQ=λQB，求λ的取值范围.
【题型7 圆锥曲线中的探索性问题】
【例7】（2024·云南昆明·模拟预测）已知双曲线E：x2a2−y23=1a>0的右焦点为F2c,0，一条渐近线方程为y=23cx．
(1)求双曲线E的方程；
(2)是否存在过点F2的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A，B两点，且使得∠F1AB=∠F1BA，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
【变式7-1】（2024·上海长宁·二模）已知椭圆Γ:x26+y23=1,O为坐标原点；
(1)求Γ的离心率e；
(2)设点N1,0，点M在Γ上，求MN的最大值和最小值；
(3)点T2,1，点P在直线x+y=3上，过点P且与OT平行的直线l与Γ交于A,B两点；试探究：是否存在常数λ，使得PA⋅PB=λPT2恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由；
【变式7-2】（2024·全国·二模）椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b≥3)的离心率为223，左、右顶点分别为A，B，过点M(3,0)的动直线l与椭圆Γ相交于P，Q两点，当直线l的斜率为1时，|PQ|=2725.
(1)求椭圆Γ的标准方程；
(2)设直线AP与直线x=t的交点为N，是否存在定实数t，使Q，B，N三点共线?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为54，且点−42,3在双曲线C上．
(1)求双曲线C的标准方程．
(2)过点P0,1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于点A,B．问：在y轴上是否存在定点Q，使直线AQ与BQ的斜率之和为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
一、单选题
1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知直线kx+y+2k=0与椭圆x23+y24=1相切，则k的值为（ ）
A．2B．12C．±2D．±12
2．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆x24+y23=1，一组斜率32的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（ ）
A．y=12xB．y=−2xC．y=−12xD．y=2x
3．（2024·全国·模拟预测）设抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，FA⊥FB，FA=2FB，则l的斜率是（ ）
A．±1B．±2C．±3D．±2
4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若MF=6，则△MNF的面积为（ ）
A．8B．45C．55D．105
5．（2024·河南信阳·三模）已知椭圆y29+x2=1，P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直线l1:y=3x和l2:y=−3x平行的直线，分别交l2，l1交于M，N两点，则MN的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2024·黑龙江·二模）双曲线C:x2a2−y2b2=1的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点.若F1M=14MN，且cs∠F1NF2=14，则直线MA1与MA2的斜率之积为（ ）
A．32B．43C．52D．53
7．（2024·陕西商洛·三模）已知抛物线E:y2=2pxp>0的焦点为F，过F的直线交E于A，B两点，点P满足OP=λOF0<λ<1，其中O为坐标原点，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D，记△PAB，△PCD的面积分别为S1，S2，则S2S1=（ ）
A．λB．2λC．λ2D．2λ2
8．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，抛物线E：y2=2pxp>0的焦点为F，过点Mp,0的直线l1，l2与E分别相交于Ax1,y1，Bx2,y2和C，D两点，直线AD经过点F，当直线AB垂直于x轴时，AF=3．下列结论正确的是（ ）

A．p=4
B．y1y2=−6
C．若AD，BC的斜率分别为k1，k2，则k1=2k2
D．若△FAB的面积为22，则△FCD的面积为42
二、多选题
9．（2024·广东茂名·二模）已知双曲线C:4x2−y2=1，直线l:y=kx+1k>0，则下列说法正确的是（ ）
A．若k=2，则l与C仅有一个公共点
B．若k=22，则l与C仅有一个公共点
C．若l与C有两个公共点，则2D．若l与C没有公共点，则k>22
10．（2024·江西·模拟预测）已知A−2,0，B2,0，C1,0，动点M满足MA与MB的斜率之积为−34，动点M的轨迹记为Γ，过点C的直线交Γ于P，Q两点，且P，Q的中点为R，则（ ）
A．M的轨迹方程为x24+y23=1
B．MC的最小值为1
C．若O为坐标原点，则△OPQ面积的最大值为32
D．若线段PQ的垂直平分线交x轴于点D，则R点的横坐标是D点的横坐标的4倍
11．（2024·浙江金华·模拟预测）已知椭圆x22+y2=1,O为原点，过第一象限内椭圆外一点Px0,y0作椭圆的两条切线，切点分别为A,B.记直线OA,OB,PA,PB的斜率分别为k1,k2,k3,k4，若k1⋅k2=14，则（ ）
A．直线AB过定点B．k1+k4⋅k2+k3为定值
C．x0−y0的最大值为2D．5x0−3y0的最小值为4
三、填空题
12．（2024·海南·模拟预测）已知抛物线 C:y2=6x的焦点为 F，过点F的直线 l与抛物线 C交于M，N两点，若 |MN|=54，则直线 l的斜率为 .
13．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A,B为C上的两点．若直线FA的斜率为12，且FA⋅FB=0，延长AF,BF分别交C于P,Q两点，则四边形ABPQ的面积为 ．
14．（2024·宁夏银川·三模）已知曲线C:y=1−x29，A−3,0，B3,0，P为C上异于A，B的一点，直线AP与直线x=5交于M，直线BP与直线x=6交于点N，则有以下四种说法：
①存在两个定点，使得P到这两个定点的距离之和为定值
②直线AP与直线BP的斜率之差的最小值为23
③MN的最小值为1053
④当直线AP的斜率大于13时，MN大于2333
其中正确命题的序号为 .
四、解答题
15．（2024·海南·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的实轴长为22，点P(2,6)在双曲线C上.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点P且斜率为26的直线与双曲线C的另一个交点为Q，求PQ.
16．（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，离心率为23，且经过点2,53.
(1)求E的方程；
(2)过F1且不垂直于坐标轴的直线l交E于A,B两点，点M为AB的中点，记△MF1F2的面积为S1,△BF1F2的面积为S2，求S1S2的取值范围.
17．（2024·山西太原·二模）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，过点D2,1且斜率为1的直线经过点F．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足OA⊥OB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2024·河南郑州·模拟预测）设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，Px0,y0是C上一点且|PF|2−|PF|=x02+x0，直线l经过点Q(−8,0)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)①若l与C相切，且切点在第一象限，求切点的坐标；
②若l与C在第一象限内的两个不同交点为A,B，且Q关于原点O的对称点为R，证明：直线AR,BR的倾斜角之和为π．
19．（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，右顶点Q与C的上，下顶点所围成的三角形面积为23．
(1)求C的方程．
(2)不过点Q的动直线l与C交于A，B两点，直线QA与QB的斜率之积恒为14．
（i）证明：直线l过定点；
（ii）求△QAB面积的最大值．
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法
(2)掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式
(3)能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题
2022年新高考全国I卷：第22题，12分
2022年新高考全国Ⅱ卷：第22题，12分
2023年新高考I卷：第22题，12分
2023年新高考Ⅱ卷：第21题，12分
2023年全国甲卷（理数）：第20题，12分
2024年新高考I卷：第16题，15分
2024年新高考Ⅱ卷：第10题，6分
2024年新高考Ⅱ卷：第19题，17分
圆锥曲线是高考的热点内容，直线与圆锥曲线的位置关系是每年高考必考内容.从近几年的高考情况来看，本节内容主要以解答题的形式考查，考查方向主要有两个方面：一是平面解析几何通性通法的研究；二是圆锥曲线中的弦长、面积、最值、定点、定值或定直线等问题的求解；有时会与向量、数列等知识结合考查，其思维要求高，计算量较大，需要灵活求解.
标准方程
弦长公式
y2=2px(p>0)
|AB|=x1+x2+p
y2=-2px(p>0)
|AB|=p-(x1+x2)
x2=2py(p>0)
|AB|=y1+y2+p
x2=-2py(p>0)
|AB|=p-(y1+y2)