专题8.7 抛物线（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc3092" 【题型1 抛物线的定义及其应用】 PAGEREF _Tc3092 \h 3
\l "_Tc20883" 【题型2 抛物线的标准方程】 PAGEREF _Tc20883 \h 4
\l "_Tc18866" 【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 PAGEREF _Tc18866 \h 4
\l "_Tc11885" 【题型4 抛物线的轨迹方程】 PAGEREF _Tc11885 \h 5
\l "_Tc25634" 【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】 PAGEREF _Tc25634 \h 5
\l "_Tc30148" 【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】 PAGEREF _Tc30148 \h 5
\l "_Tc19785" 【题型7 抛物线的焦半径公式】 PAGEREF _Tc19785 \h 6
\l "_Tc29544" 【题型8 抛物线的几何性质】 PAGEREF _Tc29544 \h 6
\l "_Tc17718" 【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 PAGEREF _Tc17718 \h 7
1、抛物线
【知识点1 抛物线及其性质】
1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.
(2)集合语言表示
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.
2．抛物线的标准方程与几何性质
3．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异
抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：
①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；
②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；
③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；
④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是01，抛物线的离心率是
e=1；
⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；
⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.
【知识点2 抛物线标准方程的求解方法】
1．抛物线标准方程的求解
待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
【知识点3 抛物线的焦半径公式】
1．焦半径公式
设抛物线上一点P的坐标为，焦点为F.
(1)抛物线：，；
(2)抛物线：，；
(3)抛物线：，；
(4)抛物线：，.
注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半
径公式.
【知识点4 与抛物线有关的最值问题的解题策略】
1．与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
(1)转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.
(2)转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
【方法技巧与总结】
1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
2．抛物线上一点P到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径.
【题型1 抛物线的定义及其应用】
【例1】（2024·贵州贵阳·二模）抛物线y2=4x上一点M与焦点间的距离是10，则M到x轴的距离是（ ）
A．4B．6C．7D．9
【变式1-1】（2024·河北·模拟预测）已知点P为平面内一动点，设甲：P的运动轨迹为抛物线，乙：P到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【变式1-2】（2024·北京大兴·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F且斜率为−1的直线与直线x=−1交于点A，点M在抛物线上，且满足MA=MF，则MF=（ ）
A．1B．2C．2D．22
【变式1-3】（2024·福建莆田·模拟预测）若抛物线C的焦点到准线的距离为3，且C的开口朝左，则C的标准方程为（ ）
A．y2=−6xB．y2=6xC．y2=−3xD．y2=3x
【题型2 抛物线的标准方程】
【例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知点Aa,2为抛物线x2=2pyp>0上一点，且点A到抛物线的焦点F的距离为3，则p=（ ）
A．12B．1C．2D．4
【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）过点2,−3，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A．x2=−3yB．x2=−43yC．x2=−23yD．x2=−4y
【变式2-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（ ）
A．y2=xB．y2=2xC．y2=4xD．y2=8x
【变式2-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若BC=2BF,AE=3，则此抛物线的方程为（ ）
A．y2=3x2B．y2=9x
C．y2=9x2D．y2=3x
【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】
【例3】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知抛物线C的方程为 x=−116y2, 则此抛物线的焦点坐标为（ ）
A．(-4,0)B．−140C．(-2,0)D．−120
【变式3-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知抛物线C:y=6x2，则C的准线方程为（ ）
A．y=−32B．y=32C．y=−124D．y=124
【变式3-2】（2024·河南·三模）抛物线y2=−28x的焦点坐标为（ ）
A．0,−14B．0,−7C．−14,0D．−7,0
【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线y2=mx的准线经过双曲线x2−y2=2的右焦点，则m的值为（ ）
A．−4B．4C．−8D．8
【题型4 抛物线的轨迹方程】
【例4】（2024·湖南衡阳·三模）已知点F(2,0)，动圆P过点F，且与x=−2相切，记动圆圆心P点的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为（ ）
A．y2=2xB．y2=4xC．y2=8xD．y2=12x
【变式4-1】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在x轴的负半轴的轨迹方程是（ ）
A．y2=8xB．y2=4xC．y2=2xD．y2=x
【变式4-2】（23-24高二上·重庆·期末）已知点Px,y满足(x−1)2+y2=x+1，则点P的轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
【变式4-3】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆F：x+22+y2=1相内切，且与定直线l:x=3相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（ ）
A．y2=8x B．y2=4x C．y2=−4x D．y2=−8x
【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】
【例5】（2024·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：y2=4x上的点，N4,0，则AN的最小值为（ ）
A．2B．22C．4D．23
【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知P是抛物线y2=2x上的点，Q是圆x−52+y2=1上的点，则PQ的最小值是（ ）
A．2B．22C．23D．3
【变式5-2】（2024·湖南益阳·三模）已知M是抛物线y²=4x上一点，圆C1:x−12+y−22=1关于直线y=x−1对称的圆为C2，N是圆C2上的一点，则MN的最小值为（ ）
A．22−1B．2−1C．112−1D．37
【变式5-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，M为C上的动点，N为圆A:x2+y2+2x+8y+16=0上的动点，设点M到y轴的距离为d，则MN+d的最小值为（ ）
A．1B．22C．332D．2
【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】
【例6】（2024·四川成都·模拟预测）设点A(2,3)，动点P在抛物线C:y2=4x上，记P到直线x=−2的距离为d，则AP+d的最小值为（ ）
A．1B．3C．10−1D．10+1
【变式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:y2=16x，焦点为F.圆的方程为x−52+y−12=1，设P为抛物线上的点， Q为圆上的一点，则PF+PQ的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点F1,0，E−2,0，M2,2，动点P满足线段PE的中点在曲线y2=2x+2上，则PM+PF的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）设P为抛物线C：y2=4x上的动点，A2,6关于P的对称点为B，记P到直线x=−1、x=−4的距离分别d1、d2，则d1+d2+AB的最小值为（ ）
A．33+2B．233+2C．37+3D．237+3
【题型7 抛物线的焦半径公式】
【例7】（2024·青海西宁·一模）已知F是抛物线C:x2=4y的焦点，点M在C上，且M的纵坐标为3，则MF=（ ）
A．22B．23C．4D．6
【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知抛物线C:y2=2pxp>0上的点m,2到原点的距离为22，焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过C上一点P作PQ⊥l于Q，若∠FPQ=2π3，则PF=（ ）
A．13B．12C．33D．23
【变式7-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦PQ与弦MN的交点恰好为F，且PQ⊥MN，则1PQ+1MN=（ ）
A．22B．1C．2D．2
【变式7-3】（2024·北京西城·三模）点F抛物线y2=2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若FA+FB+FC=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（ ）
A．2B．23C．3D．43
【题型8 抛物线的几何性质】
【例8】（2024·重庆·模拟预测）A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且△OAB的重心恰为F，若|AF|=5，则p=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式8-1】（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=2x上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A．2B．23C．4D．43
【变式8-2】（23-24高三下·北京·阶段练习）设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若∠PEF=30°，则sin∠PFE=（ ）
A．34B．33C．22D．32
【变式8-3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知x轴上一定点Aa,0a>0，和抛物线y2=2pxp>0上的一动点M，若AM≥a恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．0,p2B．0,pC．0,3p2D．0,2p
【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】
【例9】（2024·江西新余·二模）已知点Q2,−2在抛物线C：y2=2px上，F为抛物线的焦点，则△OQF（O为坐标原点）的面积是（ ）
A．12B．1C．2D．4
【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知AF=5，BF=3，若△AEF的面积是△BEF面积的2倍，则抛物线C的方程为（ ）
A．y2=2xB．y2=4xC．y2=6xD．y2=8x
【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）设F为抛物线y2=4x的焦点，A,B,C为该抛物线上不同的三点，且FA+FB+FC=0,O为坐标原点，若△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3，则S12+S22+S32=（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式9-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2−4x+3=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．5
一、单选题
1．（2024·江西·模拟预测）若抛物线x2=8y上一点x0,y0到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍．则y0=（ ）
A．12B．1C．32D．2
2．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,P是抛物线C上的一点，O为坐标原点，OP=43，则PF=（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆C与x轴相切且与圆x2+y2=4外切，则圆C的圆心的轨迹方程为（ ）
A．x2=4y+4B．x2=−4y+4
C．x2=4y+4D．x2=4y−4
4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若MF=6，则△MNF的面积为（ ）
A．8B．45C．55D．105
5．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x−3y+12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆(x−2)2+(y+1)2=4的一条直径与拋物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则p=（ ）
A．12B．1C．2D．4
7．（2024·山西运城·三模）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，动点M在C上，点B与点A1,−2关于直线l:y=x−1对称，则MFMB的最小值为（ ）
A．22B．12C．33D．13
8．（2024·江西九江·二模）已知抛物线C:y2=2px过点A1,2，F为C的焦点，点P为C上一点，O为坐标原点，则（ ）
A．C的准线方程为x=−2
B．△AFO的面积为1
C．不存在点P，使得点P到C的焦点的距离为2
D．存在点P，使得△POF为等边三角形
二、多选题
9．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线C与抛物线y2=4x关于y轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线C的焦点坐标是−1,0
B．抛物线C关于y轴对称
C．抛物线C的准线方程为x=1
D．抛物线C的焦点到准线的距离为4
10．（2024·湖北襄阳·二模）抛物线C:x2=2py的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到(t,1)时，|PF|=2，直线l与抛物线相交于A、B两点，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为：x2=8y
B．抛物线的准线方程为：y=−1
C．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切
D．AF+BF≥4
11．（2024·广东广州·模拟预测）已知抛物线C：x2=2y的焦点为F，准线为l，点A，B在C上（A在第一象限），点Q在l上，以AB为直径的圆过焦点F，QB=λBF（λ>0），则（ ）
A．若λ=3，则BF=34B．若∠AQF=3π8，则AF=2+2
C．△AFB的面积最小值为14D．△AQB的面积大于3−22
三、填空题
12．（2024·陕西宝鸡·三模）抛物线y2=2px(p>0)过点A(2,2)，则点A到抛物线准线的距离为 ．
13．（2024·西藏林芝·模拟预测）抛物线x2=16y的焦点为F，点P(x,y)为该抛物线上的动点，点A(2,0)，则|PF|−|PA|的最大值是 ．
14．（2024·上海·三模）过抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F的直线交E于点A,B，交E的准线l于点C，AD⊥l，点D为垂足.若F是AC的中点，且AF=3，则AB= .
四、解答题
15．（24-25高二上·全国·课堂例题）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)焦点为−2,0；
(2)准线为y=−1；
(3)过点A2,3；
(4)焦点到准线的距离为52．
16．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知M是抛物线y2=2x上一点.
(1)设点A的坐标为2,0，求MA的最小值；
(2)若点M到直线x−y+1=0的距离最小，求出点M的坐标及距离的最小值.
17．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米.
(1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程；
(2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？
(3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？
18．（23-24高二上·上海浦东新·期末）已知点P到点F(2,0)的距离等于它到直线x=−2的距离，
(1)求点P的轨迹方程;
(2)若A(2,2)，求△PAF周长的最小值.
19．（23-24高二·全国·课后作业）在两个条件①点B3,2；②点B3,4中任选一个，补充在下面的问题中．
已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求：
(1)点P到点F与它到______的距离之和的最小值；
(2)点P到点A−1,1与它到准线l的距离之和的最小值；
(3)点P到直线y=−4x−5与它到准线l的距离之和的最小值．
考点要求
真题统计
考情分析
(1)掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程
(2)掌握抛物线的简单几何性质(范围 、对称性、顶点、离心率)
(3)了解抛物线的简单应用
2023年新高考I卷：第22题，12分
2023年新高考Ⅱ卷：第10题，5分
2023年全国乙卷（文数）：第13题，5分
2023年北京卷：第6题，4分
2024年新高考Ⅱ卷：第10题，6分
2024年北京卷：第11题，5分
抛物线是圆锥曲线中的重要内容，抛物线及其性质是高考数学的热点问题.从近几年的高考情况来看，主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质、面积问题等内容，在选择、填空、解答题都可能出现，解题思路和解题步骤相对固定，强调通性通法，选择、填空题中难度不大，解答题中难度偏大，一般以第一小问考查抛物线的方程或轨迹问题，需要灵活求解.
标准
方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
图形
顶点
(0,0)
(0,0)
轴
对称轴y=0
对称轴x=0
焦点
准线
离心率
e =1
e=1
开口
开口向右
开口向左
开口向上
开口向下
焦半径
范围
x≥0
x≤0
y≥0
y≤0