专题6.3 等比数列及其前n项和（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc22176" 【题型1 等比数列的基本量运算】 PAGEREF _Tc22176 \h 4
\l "_Tc25745" 【题型2 等比数列的性质及应用】 PAGEREF _Tc25745 \h 5
\l "_Tc5890" 【题型3 等比数列的判定与证明】 PAGEREF _Tc5890 \h 6
\l "_Tc22800" 【题型4 等比数列的通项公式】 PAGEREF _Tc22800 \h 9
\l "_Tc31802" 【题型5 等比数列中的单调性与最值问题】 PAGEREF _Tc31802 \h 10
\l "_Tc13935" 【题型6 等比数列前n项和的性质】 PAGEREF _Tc13935 \h 12
\l "_Tc15780" 【题型7 等比数列的简单应用】 PAGEREF _Tc15780 \h 14
\l "_Tc25524" 【题型8 等比数列的奇偶项讨论问题】 PAGEREF _Tc25524 \h 16
\l "_Tc26342" 【题型9 等差数列与等比数列的综合应用】 PAGEREF _Tc26342 \h 19
\l "_Tc17372" 【题型10 等比数列中的不等式恒成立、有解问题】 PAGEREF _Tc17372 \h 23
\l "_Tc25930" 【题型11 与等比数列有关的新定义、新情景问题】 PAGEREF _Tc25930 \h 27
1、等比数列及其前n项和
【知识点1 等比数列及其前n项和】
1．等比数列的概念
2．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
若G是a与b的等比中项，则，所以=ab，即G=.
3．等比数列的通项公式
若等比数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是=(,q≠0).
4．等比数列的单调性
已知等比数列{}的首项为，公比为q，则
(1)当或时，等比数列{}为递增数列；
(2)当或时，等比数列{}为递减数列；
(3)当q=1时，等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)；
(4)当q0且c≠1)是公差为的等差数列.
6．等比数列的前n项和公式
若等比数列{}的首项为，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为
=.
7．等比数列前n项和的性质
已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质：
(1).
(2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为.
(3)若{}共有2n(n)项，则=q；
若{}共有(2n+1)(n)项，则=q.
【知识点2 等比数列的基本运算的解题策略】
1．等比数列基本量的运算的求解思路：
等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解.
【知识点3 等比数列的判定方法】
1．证明数列是等比数列的主要方法：
(1)定义法：（常数）为等比数列；
(2)中项法：为等比数列；
(3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列；
证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2．在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证.
【知识点4 等比数列及其前n项和的性质及应用】
1．等比数列的性质：
等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形；三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
2．等比数列的单调性与最值问题
涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
【知识点5 等比数列前n项和的函数特征】
1．Sn与q的关系
(1)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，
由此可见，数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤立的点；
(2)当公比q=1时，等比数列的前n项和公式是，则数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤立的点.
2．Sn与an的关系
当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数.
【方法技巧与总结】
1．等比数列{}的通项公式可以写成，这里c≠0，q≠0.
2．等比数列{}的前n项和Sn可以写成(A≠0，q≠1,0).
3．设数列{}是等比数列，Sn是其前n项和.
(1).
(2)若，则成等比数列.
(3)若数列{}的项数为2n，则；若项数为2n+1，则.
【题型1 等比数列的基本量运算】
【例1】（2024·安徽滁州·三模）已知an是单调递增的等比数列，a4+a5=24,a3a6=128，则公比q的值是（ ）
A．2B．−2C．3D．−3
【解题思路】利用等比数列的性质求出a4a5，再解方程组求出a4,a5，即可得解.
【解答过程】因为an是等比数列，
所以a4a5=a3a6=128，
则a4+a5=24a4a5=128，解得a4=8a5=16或a4=16a5=8，
又因为an是单调递增的等比数列，
所以a4=8a5=16，
所以公比q=a5a4=2.
故选：A.
【变式1-1】（2024·广东广州·三模）等比数列an满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a5=（ ）
A．14B．12C．1D．2
【解题思路】由已知结合等比数列的性质及通项公式可求公比q及首项，进而可求.
【解答过程】依题意有a1+a1q2=10,a1q+a1q3=5=a1+a1q2q,∴q=12,a1=8，
∴a5=a1q4=8⋅116=12.
故选：B.
【变式1-2】（2024·广东·模拟预测）已知正项等比数列an的前n项和为Sn，若S4S2=5，则数列an的公比为（ ）
A．12B．22C．2D．2
【解题思路】利用等比数列的求和公式，结合正项等比数列求出最后的结果.
【解答过程】设数列an的公比为q，显然q≠1，则S4S2=1−q41−q2=1+q2=5，解得q=2或q=−2（舍去）.
故选C.
【变式1-3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知等比数列an的前n项和为Sn，且S3=14,a3=2，则a4=（ ）
A．1B．23或-1C．−23D．−23或1
【解题思路】根据等比数列基本量的计算即可求解公比，进而可求解.
【解答过程】依题意，a1≠0，因为S3=14, a3=2=a1q2，
∴a1+a2=12=a1(1+q),故6q2−q−1=0，
故q=12或q=−13,
当q=12时，a4=a3q=1；
当q=−13, a4=a3q=−23；
∴a4=−23或1.
故选：D.
【题型2 等比数列的性质及应用】
【例2】（2024·宁夏石嘴山·三模）已知数列an是等比数列，且a2a3a4=64,则lg2a3的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】利用等比数列的性质求出a3，再代入求解即可.
【解答过程】因为{an}为等比数列，所以a2a4=a32，
因此a2a3a4=a33=64，即a3=4，
所以lg2a3=lg24=2，
故选：B.
【变式2-1】（2024·海南·模拟预测）已知等比数列an的公比为3,a2+a4=12，则a5−a1=（ ）
A．20B．24C．28D．32
【解题思路】根据题意结合等比数列性质运算求解.
【解答过程】由题意可知a1+a3=a2+a43=4,a3+a5=3a2+a4=36，
所以a5−a1=a3+a5−a1+a3=36−4=32.
故选：D.
【变式2-2】（2024·河南驻马店·二模）设等比数列an的前n项之积为Sn，若S3=1，S9=512，则a11=（ ）
A．2B．4C．8D．16
【解题思路】根据题意结合等比数列的性质可得a2=1，a5=2，进而可得q3=2，运算求解即可.
【解答过程】因为S3=1，S9=512，所以a1a2a3=a23=1，a1a2a3⋯a9=a59=512，
解得a2=1，a5=2，
则q3=a5a2=2，故a11=a2q9=23=8．
故选：C.
【变式2-3】（2024·四川巴中·模拟预测）在等比数列an中，a1+a3=2，a5+a7=18，则a3+a5=（ ）
A．3B．6C．9D．18
【解题思路】已知条件作商可求得q2，然后根据等比数列性质可得.
【解答过程】因为a1+a3=2，a5+a7=18，
所以a5+a7a1+a3=a1q4+a3q4a1+a3=q4=9，解得q2=3，
则a3+a5=a1+a3q2=6．
故选：B.
【题型3 等比数列的判定与证明】
【例3】（2024·浙江·三模）已知数列an满足a1=2，则“an为等比数列”是“am⋅an=am+n（∀m，n∈N*）”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件
【解题思路】根据等比数列的定义、通项公式及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【解答过程】若an为等比数列，则an=2qn−1，
所以am⋅an=2qm−1×2qn−1=4qm+n−2，am+n=2qm+n−1，
当q≠2时am⋅an≠am+n，故充分性不成立；
若am⋅an=am+n（∀m，n∈N*），不妨令m=1，则a1⋅an=a1+n，又a1=2，
所以2an=an+1，即an+1an=2，所以an为公比为2的等比数列，故必要性成立；
故“an为等比数列”是“am⋅an=am+n（∀m，n∈N*）”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式3-1】（2024·陕西西安·模拟预测）等差数列an的前项n和为Sn，且an∈N∗，数列bn为等比数列，则下列说法错误的选项是（ ）
A．数列2an一定是等比数列B．数列ban一定是等比数列
C．数列Snn一定是等差数列D．数列bn+bn+1一定是等比数列
【解题思路】利用等差、等比数列的定义判断A、B、C，特殊值判断D，即可得结果.
【解答过程】因为数列an是等差数列，设其通项公式为an=a1+(n−1)d，
所以2an+12an=2an+1−an=2d是定值，所以数列2an一定是等比数列，A选项正确;
因为数列bn为等比数列，设其通项公式为bn=b1qn−1，
所以ban=b1qan−1,ban+1ban=b1qan+1−1b1qan−1=qan+1−an=qd是定值，
所以数列ban一定是等比数列，B选项正确;
因为Sn=n2a1+(n−1)d2，所以Snn=2a1+(n−1)d2=a1+(n−1)⋅d2，
所以数列Snn一定是等差数列，C选项正确;
当bn=(−1)n时，bn+bn+1=0，则{bn+bn+1}不是等比数列，D选项错误，
故选：D.
【变式3-2】（2024·宁夏银川·二模）已知数列{an}满足a1=1，a2=4，3an+2+an=4an+1，则下列是等比数列的是（ ）
A．{an+3}B．{an−3}C．an+1+anD．an+1−an
【解题思路】由数列的递推式，计算前四项，由等比数列的性质可判断ABC；由数列的递推式推得an+2−an+1=13(an+1−an)，可判断D．
【解答过程】由a1=1，a2=4，3an+2+an=4an+1，
可得3a3+a1=4a2，即3a3+1=16，解得a3=5，
又3a4+a2=4a3，即3a4+4=20，解得a4=163，
由a1+3=4，a2+3=7，a3+3=8，72≠4×8，故A错误；
由a1−3=−2，a2−3=1，a3−3=2，12≠−2×2，故B错误；
由a2+a1=5，a3+a2=9，a4+a3=313，92≠5×313，故C错误；
由3an+2+an=4an+1，可得3(an+2−an+1)=an+1−an，
即为an+2−an+1=13(an+1−an)，又a2−a1=3，可得{an+1−an}是首项为3，公比为13的等比数列，故D正确．
故选：D.
【变式3-3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知“正项数列an满足an+1⋅an=4n”，则“a2=2a1”是“数列an为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【解题思路】由an+1⋅an=4n可得正项数列an隔项成等比数列，再由a2=2a1结合充分条件和必要条件的定义求解即可.
【解答过程】因为an+1⋅an=4n，所以an+2⋅an+1=4n+1，
两式相除可得：an+2⋅an+1an+1⋅an=4n+14n=4，
所以an+2an=4，
所以当n=2k，则a2k+2a2k=4，所以a2k是以a2为首项，4为公比的等比数列，
所以a2k=a2⋅4k−1=a2⋅22k−1=a2⋅22k−2，
所以当n=2k−1，则a2k+1a2k−1=4，所以a2k−1是以a1为首项，4为公比的等比数列，
所以a2k−1=a1⋅4k−1=a1⋅22k−2，
当a2=2a1，则a2k=2a1⋅22k−2=a1⋅22k−1，a2k−1=a1⋅22k−1−1，
所以数列an为公比为2的等比数列，
所以“a2=2a1”能推出“数列an为等比数列”，
若数列an为等比数列，则公比为2，故a2=2a1，
所以“数列an为等比数列”能推出“a2=2a1”.
故“a2=2a1”是“数列an为等比数列”的充要条件.
故选：C.
【题型4 等比数列的通项公式】
【例4】（2024·全国·一模）等比数列an中，a1=1，a5=−8a2，a5