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专题7.3 等比数列及其前n项和（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）
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这是一份专题7.3 等比数列及其前n项和（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用），文件包含专题73等比数列及其前n项和原卷版docx、专题73等比数列及其前n项和解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
【核心素养】
1.与等差数列的定义、性质相类比，考查等比数列的定义、性质，凸显逻辑推理的核心素养．
2．结合具体问题的计算，考查等比数列的通项公式与前n项和公式，凸显数学运算的核心素养．
3．与实际应用问题、数学文化相结合，考查等比数列的应用，凸显数学建模的核心素养．
知识点一
等比数列
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：,（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）
知识点二
等比数列的通项公式
.
说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则.
知识点三
等比中项
如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）
知识点四
等比数列的前和的求和公式
一般地，设等比数列的前n项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.
说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况.
知识点五
等比数列的性质
（1）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；
（2）在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，，，，……；，，，，……；
（3）在等比数列中，对任意，，；
（4）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，则 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 的等比中项. 也就是：，如图所示：.
（5）若数列是等比数列，且公比不为－1，是其前项的和，，那么，，成等比数列.
如下图所示：
.
（6）两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列．
（7）若数列是等比数列,则，仍为等比数列．
（8）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为.
（9）等比数列的单调性
当或时，为递增数列，当或时，为递减数列．
知识点六
等差数列与等比数列的区别与联系
(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列．
(2)如果数列成等比数列，且，那么数列 (，且)必成等差数列．
(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．
(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．
常考题型剖析
题型一：等比数列基本量的运算
【典例分析】
例1-1.（2022·全国·统考高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
例1-2.（2023·全国·统考高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【规律方法】
1.等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．
(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意分q＝1和q≠1两类分别讨论．
2.运用方程思想解答等比数列的基本运算问题是高考常见题型，要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
3.特殊设法:三个数成等比数列，一般设为；四个数成等比数列，一般设为.
这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便.
【变式训练】
变式1-1.（2020·全国·统考高考真题）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
变式1-2.（2020·全国·高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
题型二：等比数列的判定与证明
例2-1.【多选题】（2024秋·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）设数列，都是等比数列，则（ ）
A．若，则数列也是等比数列
B．若，则数列也是等比数列
C．若的前项和为，则也成等比数列
D．在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，则这个新数列仍是等比数列
例2-2.（2019·全国·高考真题（理））已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【规律方法】
等比数列的判定方法
(1)定义法：对于数列，若，则数列是等比数列；
(2)等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列；
(3)通项公式法 (均是不为0的常数，)⇔是等比数列．
【变式训练】
变式2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，求证：数列是等比数列.
变式2-2.（2018·全国·高考真题（文））已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
题型三：等比数列的前n项和及应用
【典例分析】
例3-1．（2020·全国·统考高考真题）数列中，，对任意 ，若，则 （ ）
A．2B．3C．4D．5
例3-2.（2023·北京·统考高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
例3-3.（2023·天津·统考高考真题）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)已知为等比数列，对于任意，若，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．
【规律方法】
1.若已知首项和末项，则；若等比数列{an}的首项是，公比是，则其前项和公式为.
2. 注意应用分类讨论思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{}的前n项和；当q≠1时，{}的前n项和.
3.等比数列前n项和Sn相关的结论
(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.
①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝eq \f(a1＋a2n＋1q,1＋q)(q≠1且q≠－1)．
(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝eq \f(Sn＋m－Sn,Sm)(q为公比)．
4.等比数列最值有关问题的解题思路
求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．
【变式训练】
变式3-1.（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，则 ．
变式3-2.（2024秋·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）已知为正项等比数列，，记为数列的前项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)求.
变式3-3.（2023·江西鹰潭·统考一模）已知各项均为正数的数列满足：，且，.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)设，，求.
题型四：等比数列的性质及其应用
【典例分析】
例4-1．（2023·全国·统考高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
例4-2.（2023春·四川遂宁·高三射洪中学校考开学考试）已知等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
应用等比数列性质解题时的两个关注点
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质，例如在等比数列中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…也成等比数列，公比为qk(q≠－1)．
变式4-1.（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．20B．30C．35D．40
变式4-2.（2023秋·山东日照·高三统考开学考试）已知数列为等比数列，，，则 .
题型五：等比数列与数学文化
【典例分析】
例5-1．（2023·全国·高三专题练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列：1，1，3，27，729…是一阶等比数列，则的值为（参考公式：）（ ）
A．60B．120C．240D．480
例5-2．（2023秋·福建三明·高三统考期末）在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程，若第1个图中的三角形的周长为3，则第4个图形的周长为 .
【温馨提醒】
主要有以下几类：
1.古典文集中的等比数列问题；
2.现实社会中的等比数列实际问题；
3.新定义的等比数列问题.
【变式训练】
变式5-1.（2017·全国·高考真题（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏B．3盏
C．5盏D．9盏
变式5-2.（2022·陕西汉中·校联考模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，最上面节的容积之积为，最下面节的容积之积为，则第节的容积是 .
题型六：等差数列等比数列综合问题
【典例分析】
例6-1．（2022·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
例6-2．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【总结提升】
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．
【变式训练】
变式6-1.（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）已知数列为正项等差数列，数列为递增的正项等比数列，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前2n项的和.
变式6-2.（2020·浙江·统考高考真题）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．15D．40
2．（2023·天津·统考高考真题）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ）
A．3B．18C．54D．152
3．（2023·福建泉州·统考模拟预测）记等比数列的前项和为.若，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4.（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知数列的首项，且，满足下列结论正确的是（ ）
A．数列是等比数列
B．数列是等比数列
C．
D．数列的前n项的和
三、填空题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则 .
6．（2023·全国·统考高考真题）已知为等比数列，，，则 .
7.（2023春·江西·高三统考阶段练习）黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比．其中，较大部分与整体之比的比值称为黄金分割数，黄金分割数被公认为最具有审美意义的比例数字．若数列是以黄金分割数为公比的等比数列，且，则 ．
8．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）随着全球的经济发展和人口增长，资源消耗和环境问题日益凸显，为了实现可持续发展，我国近年来不断推出政策促进再生资源的回收利用.某家冶金厂生产的一种金属主要用于电子设备的制造，2023年起该厂新增加了再生资源的回收生产，它每年的金属产量将由两部分构成：一部分是由采矿场新开采的矿石冶炼，每年可冶炼3万吨金属；另一部分是从回收的电子设备中提炼的再生资源，每年可生产的金属约占该厂截止到上一年末的累计金属总产量的10%.若截止2022年末这家冶金厂该金属的累计总产量为20万吨，则估计该厂2024年的金属产量为 万吨，预计到 年，这家厂当年的金属产量首次超过15万吨.（参考数据：，）
四、解答题
9．（2023秋·广东佛山·高三统考开学考试）已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)存在常数，使得对每一个正整数n都有，求．
10．（2023秋·河北保定·高三校联考开学考试）已知为正项等比数列，记为数列的前项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)求.
11．（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）设正项等比数列的公比为，且，.令，记为数列的前项积，为数列的前项和.
(1)若，，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求.
12．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）已知数列，满足，是等比数列，且的前项和.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列，的前项和为，证明：.
【核心素养】
1.与等差数列的定义、性质相类比，考查等比数列的定义、性质，凸显逻辑推理的核心素养．
2．结合具体问题的计算，考查等比数列的通项公式与前n项和公式，凸显数学运算的核心素养．
3．与实际应用问题、数学文化相结合，考查等比数列的应用，凸显数学建模的核心素养．
知识点一
等比数列
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：,（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）
知识点二
等比数列的通项公式
.
说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则.
知识点三
等比中项
如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）
知识点四
等比数列的前和的求和公式
一般地，设等比数列的前n项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.
说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况.
知识点五
等比数列的性质
（1）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；
（2）在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，，，，……；，，，，……；
（3）在等比数列中，对任意，，；
（4）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，则 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 的等比中项. 也就是：，如图所示：.
（5）若数列是等比数列，且公比不为－1，是其前项的和，，那么，，成等比数列.
如下图所示：
.
（6）两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列．
（7）若数列是等比数列,则，仍为等比数列．
（8）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为.
（9）等比数列的单调性
当或时，为递增数列，当或时，为递减数列．
知识点六
等差数列与等比数列的区别与联系
(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列．
(2)如果数列成等比数列，且，那么数列 (，且)必成等差数列．
(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．
(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．
常考题型剖析
题型一：等比数列基本量的运算
【典例分析】
例1-1.（2022·全国·统考高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
例1-2.（2023·全国·统考高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【规律方法】
1.等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．
(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意分q＝1和q≠1两类分别讨论．
2.运用方程思想解答等比数列的基本运算问题是高考常见题型，要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
3.特殊设法:三个数成等比数列，一般设为；四个数成等比数列，一般设为.
这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便.
【变式训练】
变式1-1.（2020·全国·统考高考真题）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
变式1-2.（2020·全国·高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
题型二：等比数列的判定与证明
例2-1.【多选题】（2024秋·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）设数列，都是等比数列，则（ ）
A．若，则数列也是等比数列
B．若，则数列也是等比数列
C．若的前项和为，则也成等比数列
D．在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，则这个新数列仍是等比数列
例2-2.（2019·全国·高考真题（理））已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【规律方法】
等比数列的判定方法
(1)定义法：对于数列，若，则数列是等比数列；
(2)等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列；
(3)通项公式法 (均是不为0的常数，)⇔是等比数列．
【变式训练】
变式2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，求证：数列是等比数列.
变式2-2.（2018·全国·高考真题（文））已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
题型三：等比数列的前n项和及应用
【典例分析】
例3-1．（2020·全国·统考高考真题）数列中，，对任意 ，若，则 （ ）
A．2B．3C．4D．5
例3-2.（2023·北京·统考高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
例3-3.（2023·天津·统考高考真题）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)已知为等比数列，对于任意，若，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．
【规律方法】
1.若已知首项和末项，则；若等比数列{an}的首项是，公比是，则其前项和公式为.
2. 注意应用分类讨论思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{}的前n项和；当q≠1时，{}的前n项和.
3.等比数列前n项和Sn相关的结论
(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.
①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝eq \f(a1＋a2n＋1q,1＋q)(q≠1且q≠－1)．
(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝eq \f(Sn＋m－Sn,Sm)(q为公比)．
4.等比数列最值有关问题的解题思路
求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．
【变式训练】
变式3-1.（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，则 ．
变式3-2.（2024秋·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）已知为正项等比数列，，记为数列的前项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)求.
变式3-3.（2023·江西鹰潭·统考一模）已知各项均为正数的数列满足：，且，.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)设，，求.
题型四：等比数列的性质及其应用
【典例分析】
例4-1．（2023·全国·统考高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
例4-2.（2023春·四川遂宁·高三射洪中学校考开学考试）已知等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
应用等比数列性质解题时的两个关注点
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质，例如在等比数列中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…也成等比数列，公比为qk(q≠－1)．
变式4-1.（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．20B．30C．35D．40
变式4-2.（2023秋·山东日照·高三统考开学考试）已知数列为等比数列，，，则 .
题型五：等比数列与数学文化
【典例分析】
例5-1．（2023·全国·高三专题练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列：1，1，3，27，729…是一阶等比数列，则的值为（参考公式：）（ ）
A．60B．120C．240D．480
例5-2．（2023秋·福建三明·高三统考期末）在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程，若第1个图中的三角形的周长为3，则第4个图形的周长为 .
【温馨提醒】
主要有以下几类：
1.古典文集中的等比数列问题；
2.现实社会中的等比数列实际问题；
3.新定义的等比数列问题.
【变式训练】
变式5-1.（2017·全国·高考真题（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏B．3盏
C．5盏D．9盏
变式5-2.（2022·陕西汉中·校联考模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，最上面节的容积之积为，最下面节的容积之积为，则第节的容积是 .
题型六：等差数列等比数列综合问题
【典例分析】
例6-1．（2022·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
例6-2．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【总结提升】
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．
【变式训练】
变式6-1.（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）已知数列为正项等差数列，数列为递增的正项等比数列，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前2n项的和.
变式6-2.（2020·浙江·统考高考真题）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．15D．40
2．（2023·天津·统考高考真题）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ）
A．3B．18C．54D．152
3．（2023·福建泉州·统考模拟预测）记等比数列的前项和为.若，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4.（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知数列的首项，且，满足下列结论正确的是（ ）
A．数列是等比数列
B．数列是等比数列
C．
D．数列的前n项的和
三、填空题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则 .
6．（2023·全国·统考高考真题）已知为等比数列，，，则 .
7.（2023春·江西·高三统考阶段练习）黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比．其中，较大部分与整体之比的比值称为黄金分割数，黄金分割数被公认为最具有审美意义的比例数字．若数列是以黄金分割数为公比的等比数列，且，则 ．
8．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）随着全球的经济发展和人口增长，资源消耗和环境问题日益凸显，为了实现可持续发展，我国近年来不断推出政策促进再生资源的回收利用.某家冶金厂生产的一种金属主要用于电子设备的制造，2023年起该厂新增加了再生资源的回收生产，它每年的金属产量将由两部分构成：一部分是由采矿场新开采的矿石冶炼，每年可冶炼3万吨金属；另一部分是从回收的电子设备中提炼的再生资源，每年可生产的金属约占该厂截止到上一年末的累计金属总产量的10%.若截止2022年末这家冶金厂该金属的累计总产量为20万吨，则估计该厂2024年的金属产量为 万吨，预计到 年，这家厂当年的金属产量首次超过15万吨.（参考数据：，）
四、解答题
9．（2023秋·广东佛山·高三统考开学考试）已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)存在常数，使得对每一个正整数n都有，求．
10．（2023秋·河北保定·高三校联考开学考试）已知为正项等比数列，记为数列的前项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)求.
11．（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）设正项等比数列的公比为，且，.令，记为数列的前项积，为数列的前项和.
(1)若，，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求.
12．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）已知数列，满足，是等比数列，且的前项和.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列，的前项和为，证明：.
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