专题6.4 数列的通项公式的求法（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc6059" 【题型1 观察法】 PAGEREF _Tc6059 \h 3
\l "_Tc3979" 【题型2 定义法】 PAGEREF _Tc3979 \h 4
\l "_Tc26644" 【题型3 由an与Sn的关系求通项】 PAGEREF _Tc26644 \h 5
\l "_Tc23275" 【题型4 累加法】 PAGEREF _Tc23275 \h 5
\l "_Tc5699" 【题型5 累乘法】 PAGEREF _Tc5699 \h 6
\l "_Tc19727" 【题型6 构造法】 PAGEREF _Tc19727 \h 7
\l "_Tc16606" 【题型7 由等差数列的通项公式求数列通项】 PAGEREF _Tc16606 \h 8
\l "_Tc25806" 【题型8 由等比数列的通项公式求数列通项】 PAGEREF _Tc25806 \h 9
\l "_Tc25368" 【题型9 周期数列的通项问题】 PAGEREF _Tc25368 \h 10
\l "_Tc12632" 【题型10 正负、奇偶讨论型求通项】 PAGEREF _Tc12632 \h 11
\l "_Tc5358" 【题型11 双数列的通项问题】 PAGEREF _Tc5358 \h 12
\l "_Tc16927" 【题型12 特殊数列求通项】 PAGEREF _Tc16927 \h 13
1、数列的通项公式的求法
【知识点1 数列的通项公式】
1．数列的通项公式
如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这
个数列的通项公式.
2．数列的递推公式
(1)递推公式的概念
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.
(2)对数列递推公式的理解
①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.
②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.
如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
③用递推公式求出一个数列，必须给出：
基础——数列{}的第1项(或前几项)；
递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可
以用等式来表示.
【知识点2 数列的通项公式的常见求法】
1．观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项.
2．定义法：
已知数列的通项公式的类型，对于含参的通项公式，根据数列的定义结合已知条件，求出通项公式中的参数，从而得到此数列的通项.
3．公式法：
由an与Sn的关系求通项：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式.
(2) Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解.
方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.
4．累加法：
形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.
5．累乘法：
形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项.
6．构造法：
①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.
②形如an+1=pan+qn+c的数列，引入参数x，y，构造新的等比数列{}.
③形如an+1=pan+qn的数列，两边同除以qn+1，构造新的数列{}.
④形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
7．等差数列的通项公式法：
(1)如果给定的数列是等差数列，求出首项和公差，直接利用等差数列的通项公式求解；
(2)如果给定的数列可以构造出等差数列，先求出构造的等差数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式.
8．等比数列的通项公式法：
(1)如果给定的数列是等比数列，求出首项和公比，直接利用等比数列的通项公式求解；
(2)如果给定的数列可以构造出等比数列，先求出构造的等比数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式.
【题型1 观察法】
【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）数列1,−22,12,−24,14,⋯的一个通项公式为（ ）
A．−12n−1B．−22nC．−1n22n−1D．−1n+122n−1
【变式1-1】（2024·吉林·三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（ ）
A．22B．24C．25D．26
【变式1-2】（23-24高二上·山西晋城·阶段练习）数列−2,4,−263,20,⋯的一个通项公式可以是（ ）
A．an=−1n⋅2nB．an=−1n⋅3n−nn
C．an=−1n⋅2n+1−2nD．an=−1n⋅3n−1n
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，3,6,10等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（ ）
A．778B．779C．780D．781
【题型2 定义法】
【例2】（23-24高二下·全国·课后作业）已知数列an中，a1=3，a10=21，通项an是项数n的一次函数，
(1)求an的通项公式，并求a2000；
(2)若bn是由a2,a4,a6,a8,⋯,组成，试归纳bn的一个通项公式．
【变式2-1】（23-24高二上·河南周口·阶段练习）在数列an中，已知an=anbn+1，且a2=65,a3=97.
(1)求通项公式an.
(2)求证：an是递增数列.
【变式2-2】（23-24高三下·新疆·阶段练习）已知f(x)是对数函数且图象过点5,12，数列an满足an=f1−1n+1n∈N∗．
(1)求数列an的通项公式；
(2)记数列an的前n项和为Sn，若Sm≥2m∈N∗，求m的最小值．
【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）定义数列“从第二项起，若数列an的每一项与前一项的平方差为同一常数d，则称数列an为等平方差数列，d叫作此数列的公平方差．”已知数列an为“等平方差数列”，且a1=1，a5=3．
(1)判断满足条件的数列an是否唯一，并说明理由；
(2)求正项数列an的通项公式，并判断其单调性．
【题型3 由an与Sn的关系求通项】
【例3】（2024·四川·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，若Sn=2n−1−12，则数列an的通项公式为（ ）
A．an=12,n=1,2n,n≥2B．an=2n−1
C．an=(−2)n−2D．an=2n−2
【变式3-1】（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1，则数列{an}的通项公式为（ ）
A．an=n+1B．an=2n−1
C．an=2n+1D．an=2 , n=1 , 2n−1, n≥2
【变式3-2】（2024·陕西·模拟预测）已知数列an满足k=1nak2k−1=n+1，则a2024=（ ）
A．2024B．2023C．4047D．4048
【变式3-3】（2024·四川·三模）已知数列an满足2a1+22a2+23a3+⋅⋅⋅+2nan=n⋅2n，则an的通项公式为（ ）
A．an=1,n=1n+1,n≥2B．an=n+12
C．an=nD．an=1,n=1n−1,n≥2
【题型4 累加法】
【例4】（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在数列an中，a1=1，an+1=an+1nn+1，则an等于（ ）
A．1nB．2n−1nC．n−1nD．12n
【变式4-1】（23-24高二上·北京·阶段练习）在数列an中，a1=2,an+1=an+ln1+1n，则an=（ ）
A．2+nlnnB．2+n−1lnn
C．2+lnnD．2+n+lnn
【变式4-2】（2024·云南红河·一模）已知数列an满足：a1=9,an+1−an=2n，则a4=（ ）
A．21B．23C．25D．27
【变式4-3】（23-24高二上·浙江温州·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的1，5，12，22称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作an，下列不是数列an的项的是（ ）
A．35B．70C．145D．170
【题型5 累乘法】
【例5】（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知a1=2，an=nan+1−an，则数列an的通项公式是an=（ ）
A．nB．n+1C．2nD．n+1nn
【变式5-1】（23-24高二下·河南·期中）已知数列an满足a1=13，an=2n−32n+1an−1(n≥2，n∈N∗)，则数列an的通项an=（ ）
A．14n2−1B．12n2+1
C．12n−12n+3D．1n+1n+3
【变式5-2】（2024·吉林长春·一模）设数列an的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+nan为常数列，则an=（ ）
A．13n−1B．2n(n+1)
C．6(n+1)(n+2)D．5−2n3
【变式5-3】（23-24高三下·全国·阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，a2=4，Sn=n+1an2n∈N∗，则数列an的通项公式为（ ）
A．an=2nn∈N∗B．an=2nn∈N∗
C．an=n+2n∈N∗D．an=n2n∈N∗
【题型6 构造法】
【例6】（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项和Sn=2an−n．
(1)求an的通项公式；
(2)证明：a1+1a2+a2+1a4+a3+1a6+⋯+an+1a2n