四川省成都市第七中学2024-2025学年高二上学期十月阶段测试数学试题

这是一份四川省成都市第七中学2024-2025学年高二上学期十月阶段测试数学试题，共12页。试卷主要包含了方程表示圆，则实数的取值范围是，已知空间向量，则的最小值为，已知直线，其中等内容，欢迎下载使用。

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知点，若向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ）
A.30 B.60 C.120 D.150
2.方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.已知空间向量，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
4.已知直线与直线，则直线关于轴对称的充要条件是（ ）
A. B.
C. D.
5.在空间直角坐标系中，点，向量是平面的法向量，则向量的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
6.已知平面上两点是直线上一动点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.5
7.在长方体中，，点满足，，点满足，则向量模的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.平面内四个点分布在直线的两侧，且两侧的点到直线的距离之和相等，则直线过定点（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.记空间向量，向量均为单位向量且两两夹角为.则下列命题中，正确的是（ ）
A.向量不能作为空间向量的基底
B.向量是平面的法向量
C.向量，则点在内
D.向量在向量方向上的投影为
10.已知直线，其中.有以下命题正确的有（ ）
A.直线的倾斜角为
B.若是直线上的任意一点，则
C.当时，直线与两坐标轴的截距之和的最小值为
D.集合，当变化时，该集合在坐标平面内的补集构成的图形面积为
11.在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点为，向量对应的点叫做点的仿射点，在下列选项中，对点的仿射点的描述，正确的是（ ）
A.若点在圆上，则点到仿射点的距离的最大值为2
B.点的仿射点的仿射点是
C.若点的轨迹是一条不过原点的直线，则其仿射点的轨迹是圆
D.若点的轨迹是圆，则其仿射点的轨迹是一条直线
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在空间直角坐标系中，已知点，则直线与坐标平面的交点坐标为__________.
13.已知直线，若直线与关于直线对称，则直线的方程为__________.
14.已知棱长为2的正四面体，动点是正四面体内切球上一动点，则的值等于__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
某保险公司在2023年度给年龄在20~70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示.（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元.
（1）用样本的频率分布估计总体的概率分布，判断该公司本年度是亏本还是盈利？
（2）经调查，年龄在之间的中年人对该疾病的防范意识还比较弱，为加强宣传，按分层抽样的方法从年龄在和的中年人中选取6人进行教育宣讲，再从选取的6人中随机选取2人，被选中的2人免一年的保险费，求被免去的保费超过150元的概率.
16.（本小题满分15分）
已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.
（1）求顶点的坐标；
（2）求过三个顶点的圆的方程，并求出该圆的圆心和半径.
17.（本小题满分15分）
已知点，直线.
（1）若这三条直线不能围成三角形，求实数的值；
（2）点关于直线的对称点为，求的取值范围.
18.（本小题满分17分）
如图，在三棱柱中，平面，是棱的中点，在棱上，且.
（1）证明：平面；
（2）若点到平面的距离为，
①求直线到平面的距离；
②求平面与平面的夹角.
19.（本小题满分17分）
在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，点是正方形内一动点（包括正方形边界）.
（1）当取得最大值时，求点在正方形内轨迹的长度；
（2）在（1）的条件下，求向量在向量上投影的取值范围；
（3）当取得最大值时，求线段的长度.
成都七中高2026届十月阶段测试数学试题
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.A 2.D 3.C 4.D
5.A 6.B 7.D 8.B
第8题解析：点分布在直线的两侧，且两侧的点到直线的距离之和相等，
则将的坐标代入直线的方程，得代数式之和等于0，
即，
，即，
所以直线，过定点
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.BD 10.BCD 11.ABC
第11题解析：设，则，向量，
对于A.，点在圆上，所以的仿射点为，
，所以线段的最大值为2，A正确，
对于B.，点的仿射点记为，点的仿射点记为点，
则，所以B正确，
对于C.，设点的仿射点为点，
则，解得，
设点在直线，
，即，表示圆，所以C正确，
对于D.，设点在圆上，
，
整理得，
化简得，当时表示圆，所以D错误.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
13.或
14.
第13题解析：直线的方向向量为，直线的方向向量为，
，
所以直线的斜率为，
又直线与的交点为，
所以直线的方程为或.
第14题解析，易得正四面体内切球半径为，设球心为，
如图建立空间直角坐标系，则内切球球心，
设点，则，
，
，
，
.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.解：（1），解得
保险公司每年收取的保费为：
因为，
所以2023年度公司为盈利，
（2）选取的6人中，有2人来自年龄在），记这2人分别为，
有4人来自年龄在，记这4人分别为，
从这6人中任取2人的所有基本事件有：
，
共15种，
其中保费超过150元的有共6种，
所以被免去保费超过150元的概率为.
16.解：（1），且，
所以边所在直线方程为，
联立，解得，即顶点，
设顶点，则，
因为点在直线上，
，即，
又点在直线上，即，
联立，解得，即顶点，
（2）设过的圆的方程为，
分别将的坐标代入圆的方程，得，
解得，
所以过的圆的方程为，
圆标准方程为，
即圆心为，半径为，
17.解：（1）①当时，
由斜率相等得，
②当时，
由斜率相等得，
③当相交于一点时，
由，解得.
，
综上，实数的值为或1或，
（2）直线，
所以直线恒过定点，
因为点关于直线对称，
，
的轨迹方程为，
又因为直线的斜率，
的轨迹方程为，去掉点，
又，
，
即直线与点的轨迹圆相切，
又的几何意义等于的模乘以在方向上的投影，
由数形结合得：的最大值为，
，
所以取值范围为.
18.解：（1）面，
又
平面，
又平面，
由得：为棱的中点，
连接交于，连接交于，连接，
在中，交
平面，
平面；
（2）①平面，
为点到平面的距离，即，
以分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
设平面的法向量为，
由，得，令，得，
直线到平面的距离，即点到平面的距离，
②取平面的法向量，
，
所以平面与平面的的夹角余弦值为，即夹角为.
19.（1）设线段的长度为，
，当时取等号，
此时点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（位于正方形内的一部分），
所以点在正方形内的轨迹的长度为：，
（2）如图建立空间直角坐标系，
设，
则由（1）可得
又
，
，其中，
，
（3）连接，现证明当取得最大值时，点位于线段上，
如图，过点作的垂线，垂足为，连接，
记的外接圆为，
以为轴，将旋转至平面内，
，
所以将旋转至平面内时，点位于圆外，
，
即若要使取得最大值，
则点位于线段上，
延长相交于点，
易得，
在中，由正弦定理得，
所以当的外接圆半径最小值时，取得最大值，
即的外接圆与直线相切时，取得最大值，
此时，，
，又，
所以取得最大值时，，即点为线段的中点.年龄
保费
30
60
90
120
150