四川省成都市第七中学2024-2025学年高三上学期8月学科素养测试数学试题（解析版）

这是一份四川省成都市第七中学2024-2025学年高三上学期8月学科素养测试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟；满分：150分
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题
1. 设集合，，且，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解出绝对值不等式与一元二次不等式后，再结合集合的性质即可得.
【详解】由可得，即，故，
由可得，即，故，
由且 ，故.
故选：B.
2. 已知非零平面向量，，那么“”是“”（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据数量积的运算律及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】在向量非零向量的情况下，
若，即，
即有，即．
又，故，
又，所以，即方向相反，故，
即“”是“”的必要条件；
若，则共线，但与的方向可能相同也可能相反，
所以由推不出，故充分性不成立；
综上所述，“”是“”的必要而不充分条件．
故选：B．
3. 将1个0，2个1，2个2随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用排列组合公式结合古典概型的概率公式即可求解．
【详解】将1个0，2个1，2个2随机排成一行，共有种，
其中，2个1不相邻的情况有种，
故所求概率为．
故选：A.
4. 设随机变量服从二项分布，若，则（ ）
A. 0.16B. 0.32C. 0.64D. 0.84
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项分布的概率计算公公式求解出,进而求方差.
【详解】，解得，
所以，则.
故选：C.
5. 设是等差数列的前n项和，且，则（ ）
A. 17B. 34C. 51D. 68
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的求和公式即可求解．
【详解】解：设公差为d，
则，即，
则，
故选：C
6. 已知圆关于直线对称，则的最小值是（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】转化为直线过圆心即，再利用基本不等式可得答案.
【详解】因为圆关于直线对称，
所以直线过圆心，即，
则
因为，且，所以，
所以，
当且仅当即等号成立，
则的最小值是4.
故选：D.
7. 为考察两个变量的相关性，搜集数据如表，则两个变量的线性相关程度（ ）
（参考数据：，，，，，）
A. 很强B. 很弱C. 无相关D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知计算相关系数，再根据相关系数的值判断线性相关程度．
【详解】由题可得，
则，
因为相关系数很接近于1，故两个变量的线性相关程度很强．
故选：A．
8. 已知函数，其中.当时，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，先探求必要条件，再证明当时在恒成立，通过先放缩再构造函数，对函数，分和两种情况讨论，研究函数的单调性和最值即可求解.
【详解】当时，不等式恒成立，
设，
所以在恒成立，
所以，解得，
下面证明：当时，恒成立．
因为，所以.
设，，其中.
则，其中，
（i）当时，由知恒成立，
即在为增函数，所以成立；
（ii）当时，设，可得，
由知恒成立，
所以，即在上单调递增．
所以，即上单调递减，所以成立，
综上所述，当时，恒成立，即不等式恒成立.
所以若不等式恒成立，则实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通过运算对不等式进行等价变形，从而构造新函数转化为函数的最值问题求解.利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）分离参数法.不等式中参数易于分离，且分离后具体函数的导数运算及性质研究都可求解，则先分离再构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）若参数与变量分离后并不易求解，可以考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
二、多选题
9. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了100次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本标准差为6；骑自行车平均用时，样本方差为4．假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布．则下列说法中正确的是（ ）
（参考数值：随机变量服从正态分布，则，.）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据正态分布的概念判断A，B；根据正态分布的性质及题中所给数据求解判断C，D．
【详解】由题意可设，
由题意可得：，所以A正确，B错误；
，
，
，
，故C错误；
，
，
，故D正确.
故选：AD．
10. 下列说法正确的是（ ）．
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 的最小值是2
C. 若，则
D. 的最小正周期是
【答案】ACD
【解析】
【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题即可判断选项A；由基本不等式使用的条件可判断选项B；在单调递增，即可判断选项C；由正弦型函数的最小正周期公式计算即可判断选项D.
【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，
命题“，”的否定是“，”，故A正确；
当时，，的最小值是2，
当时，，的最大值是，故B错误；
在单调递增，若，则，故C正确；
的最小正周期为：，故D正确.
故选：ACD
11. 如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，,且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（ ）

A.
B. 若，则
C. 若，则的最小值为2
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】A.利用椭圆和双曲线的定义，即可求解；B.应用余弦定理，正确表示离心率，即可判断；C.根据勾股定理，并表示离心率，最后应用基本不等式，即可判断；D.分别在椭圆和双曲线中，在焦点三角形中，应用余弦定理表示，建立等量关系，即可判断.
【详解】A.由题意可知，，，
得，故A正确；
B.中，若，设椭圆和双曲线的半焦距为，
根据余弦定理，，
整理为，
而，故B错误；
C. 若，则，则，
则，
，
当时，等号成立，这与矛盾，所以，故C错误；
D.在椭圆中，，
，
整理为，
在双曲线中，，
整理为，
所以，即，
而，则，故D正确.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确应用椭圆和双曲线的定义，并在两个曲线中正确表示离心率，以及焦点三角形中应用余弦定理.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题
12. 展开式中含的项的系数是______．
【答案】
【解析】
【分析】将三项看成两项，利用二项式定理结合分类讨论得出答案.
【详解】其展开式为，
根据题意可得：.
当时，则，展开式为.
,，则含的项的系数为.
当时，则，
展开式为，，
则含的项的系数为.
当时, 则,
展开式为，
，则含的项的系数为.
综上所述:：含的项的系数为.
故答案为：
13. 设函数，若有三个零点，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数得出根，再应用指对数转化结合换元法求解即可.
【详解】因为，所以

且,
零满足点，即，
故目标式，令且，
则上式，
令，则，，故
在内单调递增，则.
故答案为：
14. 如图，将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有________种.
【答案】72
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理以及分类加法计数原理即可求解.
【详解】下面分两种情况，即C，A同色与C，A不同色来讨论.
（1）P着色方法有4种，A的着色方法有3种，B的着色方法有2种，
C，A同色时，C的着色方法为1种，D的着色方法有2种.
（2）P的着色方法有4种，A的着色方法有3种，B的着色方法有2种.
C与A不同色时C的着色方法有1种，D的着色方法有1种，
综上，两类共有4×3×2×1×2＋4×3×2×1×1＝48＋24＝72(种).
故答案为：72
四、解答题
15. 已知为等差数列的前n项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，设的前n项和，且对于任意，都有恒成立，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由求公式解方程得出数列an的通项公式；
（2）由裂项相消法求出，再由单调性结合恒成立条件确定m的取值范围．
【小问1详解】
设数列an的公差为，则，
解得，即
【小问2详解】
由题意得，
所以，即.
16. 如图，且，，且，且，平面，.
（1）设面BCF与面EFG的交线为，求证：；
（2）证明:
（3）在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为，若存在，求出P点的位置，若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）线段BE上存在点P，且时使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为
【解析】
【分析】（1）由线面平行的判定定理和性质定理证明即可；
（2）由线面垂直的判定定理和性质定理证明即可；
（3）则以D为原点，建立空间直角坐标系，先求出点坐标，直线DP的方向向量与平面ABE的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案.
【小问1详解】
因为，，所以，
又平面，平面，
所以面，又平面，平面平面，
所以.
【小问2详解】
因为且，所以四边形ADGE为平行四边形，
又，所以四边形ADGE为菱形，所以AG⊥DE.
因为平面，平面，所以，
又，平面，所以CD⊥面，
又面，所以，又，
平面，所以面，又面，
所以.
【小问3详解】
由于，，，平面，，
则以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，如图，
于是，，设平面ABE的法向量为n=x,y,z，
则，，令，得，
假设线段BE上存在点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为.
设，，
，
解得：.
所以线段BE上存在点P，且时,使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为.
17. 近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能.某机构在网上随机对人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如下数据：
其中的数据为统计的人数，已知本次被调研的青年人数为.
（1）求，的值.
（2）在犯错误的概率不超过的前提下，对该种APP的需求，是否与是青年人还是中老年人有关？
参考公式：，其中.
临界值表：
【答案】（1）
（2）有关
【解析】
【分析】（1）根据条件，建立方程组，即可求解出的值；
（2）根据（1）得出列联表，再求得，即可求解
【小问1详解】
由题知，解得.
【小问2详解】
由（1）知青年人和中老年人对APP是否有需求的列联表为
所以，
故在犯错误的概率不超过的前提下，对该种APP的需求，与是青年人还是中老年人有关.
18. 已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）记直线的斜率分别为，证明：是定值；
（3）设为直线和的交点，记的面积分别为，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）3.
【解析】
【分析】（1）利用双曲线的焦距、结合双曲线方程求出值即可.
（2）设出直线的方程，与的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算即得.
（3）由（2）得，联立直线与的方程求出点的横坐标，再求出三角形的面积的函数关系并求出最小值.
【小问1详解】
由双曲线的焦距为，得，解得，
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
依题意，设直线的方程为，，
由消去x并整理得，
由直线与双曲线的右支交于两点，得可得 ，
解得，
则，，即，而，
所以
为定值.
【小问3详解】
由（2）知，直线：，直线：，
则点的横坐标为，
于是
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
【点睛】方法技巧：求解圆锥曲线的最值问题的解答策略与技巧：
1、几何方法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；
2、代数方法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
19. 麦克劳林展开式是泰勒展开式的一种特殊形式，的麦克劳林展开式为：，其中表示的n阶导数在0处的取值，我们称为麦克劳林展开式的第项．例如：．
（1）请写出的麦克劳林展开式中的第2项与第4项；
（2）数学竞赛小组发现的麦克劳林展开式为，这意味着：当时，，你能帮助数学竞赛小组完成对此不等式的证明吗？
（3）当时，若，求整数的最大值．
【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）3
【解析】
【分析】（1）根据泰勒展开式得出第2项及第4项；
（2）构造函数，应用函数的导函数得出函数的单调性证明不等式；
（3）先根据特殊值法得出的范围，再应用具体函数证明成立即可.
【小问1详解】
因为
所以第2项.
【小问2详解】
设，
，
因为所以g'x=x2x+1>0,gx单调递增，
所以gx>g0=ln1-0+0=0,
所以ln1+x>x-x22.
【小问3详解】
当x=1时，e1+ln1+12>16+m成立，得出，的最大整数为3.
当时，设
当x>1,h'x>0,hx单调递增，则hx>h1=ln1+12-2+32=0，
所以ex+lnx+12>x36+3x，又当x=1时，e2+ln1+12>16+3成立，
所以当时ex+lnx+12>x36+3x.
【点睛】方法点睛：构造函数，应用函数的导函数得出函数的单调性证明不等式；5
10
15
20
25
103
105
110
111
114
青年人
中年人
老年人
对该种APP有需求


对该种APP无需求



0.1
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
青年人
中老年人
合计
对该种APP有需求


对该种APP无需求


合计