广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三上学期10月第一次诊断测试数学试题（Word版附解析）

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（本试卷共3页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。） 2024.10
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．已知集合，，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．，是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（ ）
A．B．2C．D．3
3．若是第三象限角，且，则的值为（ ）
A．B．5C．D．
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知平面向量和满足，在上的投影向量为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．已知关于x不等式的解集为，则（ ）
A．
B．点在第二象限
C．的最大值为
D．关于x的不等式的解集为
8．已知，，分别是函数与的零点，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．在中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，下列结论一定成立的有（ ）．
A．
B．若，则
C．若为锐角三角形，则
D．若，则是等边三角形
10．已知复数，，下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．D．若，则为纯虚数
11．若定义在上的函数，满足，，，则下列结论中正确的是（ ）
A．是偶函数B．是周期为4的周期函数
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．函数（且）恒过定点P，则点P的坐标为______．
13．若曲线过坐标原点的切线与圆相切，则实数______．
14．已知，则的最小值为______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．设函数，．
（1）求函数的最小正周期及对称轴方程；
（2）若，求的值．
16．设是定义在上的奇函数，且当时，．
（1）求函数在上的解析式；
（2）解关于x的不等式．
17．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若对于任意的，都有恒成立，求a的取值范围．
18．已知在中，满足（其中a，b，c分别是角A，B，C的对边）．
（1）求角B的大小；
（2）若角B的平分线长为1，且，求外接圆的面积；
（3）若为锐角三角形，，求的取值范围．
19．已知函数，且x轴是曲线的切线．
（1）求的最小值；
（2）证明：；
（3）设，，证明：对任意，．
深圳市高级中学2025届高三第一次诊断考试答案
1-8 ABAD BCDC
9-11 ABD ACD ABC
12-14
【详解】
8．由题意可知，则，
即，又，
所以，则．设，则，
所以在上单调递增，所以，则，所以，
则．
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，所以的最大值为．故选：C．
11．因为，所以．
又因为，所以．
又，则，
即，所以，故是周期为4的周期函数．
因为，所以也是周期为4的周期函数，选项B正确；
因为，则，则，
所以，所以为偶函数，选项A正确；
因为，令，得，即，
令，得，即，
故，选项C正确；
由，
得
所以，选项D错误．
故选：ABC．
14．法一：令，，则，，
∴，
∴，，则，
当且仅当，即时等号成立，
∴，即．
法二：，所以，
因此．
15．（1），的对称轴， （2）
【详解】（1），则的最小正周期，
，，解得，，即的对称轴，．
（2），解得．
．
16．（1） （2）
【详解】（1）当时，，
当时，，所以，
因为是定义在R上的奇函数，所以，
所以，
当时，有，从而，
所以．
（2）由（1）知，当时，因为，，所以，
当，，所以当时，，
而当时，，所以不等式在上无解；
当时，不等式为，所以．
记函数，，
因为，，所以函数，均为上的单调增函数，
所以函数为R上的单调增函数．
又，
所以当时，不等式的解集为．
从而关于x的不等式的解集为．
17．（1）当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）
【详解】（1）对求导，可得，
令，即，即，
当时，恒成立，在R上单调递增；
当时，，，，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
综上，当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）因为对于任意的，都有恒成立，
对求导，可得，
，即，即，
①当时，，则在单调递增，，符合题意；
②当时，，则，
则，在单调递增，，符合题意；
③当时，，则，
当时，，则在单调递减，
当时，，则在单调递增，
所以，
令，，则，
所以在上单调递减，所以，不合题意；
综上所述，．
18．（1） （2） （3）
【详解】（1）因为，
由正弦定理得
，
所以，又，
即，且，即．
（2）由等面积法：，
即，即，
由余弦定理得，
，则，
设外接圆半径为R，则，，
则外接圆的面积为．
（3）由为锐角三角形可得，得，
则，
由，得，
又，
所以，
则．
19．（1）的最小值为 （2）（3）证明如下
【详解】（1）由得，
因切线方程为，令，得，故可知切点为，
所以，得，
故，，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
故的最小值为．
（2）由（1）可知，故，故，
，，则，即，即，
故，
即，即证．
（3）由题意，
由得①，
要证明对任意，，只需要，，
令，，，
令，，
在区间上单调递增，故，故，
故在上递增，故只需证明，，
由①可知，
由（1）可知，故，
只需证明，化简为成立即可，
令，则，
在区间上单调递增，故，所以得证．