广东省揭阳市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份广东省揭阳市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题（Word版附解析），文件包含广东省揭阳市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题Word版含解析docx、广东省揭阳市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，求出和，再根据集合的运算，即可求出结果.
【详解】由，得到，所以，
又，所以，故，
故选：D.
2. 若复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】求出，化简复数，利用复数的几何意义可得出结论.
【详解】由题得，
∴z=1，，其对应的点位于第四象限.
故选：D．
3. 双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得双曲线的两条渐近线方程，得到斜率和倾斜角，再求出渐近线夹角的大小.
【详解】双曲线的两条渐近线的方程为，
由直线的斜率为，可得倾斜角为，
的斜率为，可得倾斜角为，
所以两条渐近线的夹角的大小为，
故选：B.
4. 在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.
【详解】由题可知，，,
所以有，所以，得.
故选：C
5. 若两个等比数列的公比相等，且，则的前6项和为（ ）
A. B. C. 124D. 252
【答案】B
【解析】
【分析】运用等比数列定义和求和公式计算即可.
【详解】由，得的公比，所以的公比为，
则的前6项和为．
故选：B.
6. 若函数在区间上是减函数，且，，，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数表达式，根据单调性与函数值，结合正弦函数的图象，确定与的值，两式相减，即可求出的值.
详解】由题知，
因为，，
所以，
又因为在区间上是减函数，
所以，
两式相减，得，
因，所以.
故选：A.
7. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值.
【详解】两点，B0,3，则，直线方程为，
圆的圆心，半径，
点到直线的距离，
因此点到直线距离的最小值为，
所以面积的最小值是.
故选：D
8. 已知函数y=fx的定义域为R，且f−x=fx，若函数y=fx的图象与函数的图象有交点，且交点个数为奇数，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】易证明为偶函数，根据题意，两个函数的交点必定是原点，据此求解.
【详解】令，其定义域为，
因为，所以为偶函数，
由题易知也为偶函数，
因为两个函数图象的交点个数为奇数，
所以两个函数的交点，必有一个是原点，
故.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 设，为随机事件，且，是，发生的概率. ，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，互斥，则B. 若，则，相互独立
C. 若，互斥，则，相互独立D. 若，独立，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A选项；由相互独立事件的概念可判断B选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C选项；由相互独立事件的概念，可判断D选项.
【详解】对于选项A，若互斥，根据互斥事件的概率公式，则，所以选项A正确，
对于选项B，由相互独立事件的概念知，若，则事件是相互独立事件，所以选项B正确，
对于选项C，若互斥，则不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件：“正面朝上”，事件：“反面朝上”，事件与事件互斥，但，，不满足相互独立事件的定义，所以选项C错误，
对于选项D，由相互独立事件的定义知，若，独立，则，所以选项D正确，
故选：ABD.
10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，内角A的平分线交BC于点D，，，以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先根据题意结合余弦定理可得，并根据二倍角公式得到，依次计算的值，根据面积公式，分析判断选项C和D.
【详解】在中，
∵，则，整理得，所以，
由二倍角公式得，解得，
在中，则，故选项A正确；
在中，则，故选项B错误；
由题意可知：，即，
由，解得，故选项C正确；
在中，
∵，则，
∴，故选项D正确.
故选：ACD.
11. 设函数，则（ ）
A. 是的极小值点
B.
C. 不等式的解集为
D. 当时，
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A：求导，利用导数判断的单调性和极值；
对于B：根据解析式代入运算即可；对于C：取特值检验即可；
对于D：分析可得，结合的单调性分析判断.
【详解】对于选项A：因为的定义域为R，
且，
当时，f′x0；
可知在，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，故A错误；
对于选项B：因为，故B正确；
对于选项C：对于不等式，
因为，即为不等式的解，但，
所以不等式的解集不为，故C错误；
对于选项D：因，则，
且，可得，
因为函数在0,1上单调递增，所以，故D正确；
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在△ABC中，若a＝2,b＋c＝7,，则b=_________________
【答案】4
【解析】
【详解】在△ABC中，利用余弦定理，
，化简得：8c－7b＋4＝0，与题目条件联立，可解得，
【考点定位】本题考查的是解三角形，考查余弦定理的应用．利用题目所给的条件列出方程组求解
13. 如果一个直角三角形的斜边长等于，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为________.
【答案】2
【解析】
【分析】由题意画出图形，结合勾股定理并通过分析得知当最大值，这个直角三角形周长取最大值，根据基本不等式的取等条件即可求解.
【详解】如图所示：
在中，，
而直角三角形周长，
由勾股定理可知，
若要使最大，只需最大即可，
即最大即可，
又，当且仅当时等号成立，
所以，所以，，
当且仅当等号成立，
此时，其面积为.
故答案为：.
14. 已知函数，点为曲线在点处的切线上的一点，点在曲线上，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】对求导后，代入可求得，根据导数几何意义可求得切线，则可将问题转化为与平行且与曲线相切的切点到直线的距离的求解，设切点，由切线斜率为可构造方程求得切点坐标，利用点到直线距离公式可求得结果.
【详解】，
，解得：，
，则，
切线的方程为：，即；
若最小，则为与平行且与曲线相切的切点，所求最小距离为到直线的距离，
设所求切点，由，可得，
所以，即，又单调递增，而时，
所以，即，
.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，角所对的边分别为．
（1）若，求的值；
（2）求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理可得，从而可求的值；
（2）利用基本不等式可得，再根据余弦定理可得的范围，从而可得的范围，结合三角形面积公式，即可得面积的最大值．
【小问1详解】
由正弦定理，可得，
【小问2详解】
，，
由余弦定理可得，
，，
，，
当且仅当时，等号成立，此时面积取得最大值
16. 某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．
方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元；
方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元．
（1）设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；
（2）设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差；
（3）如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．
【答案】（1）分布列见解析，，
（2）分布列见解析，，．
（3）应选择方案一的抽奖方式，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由条件确定的可能取值，求取各值得概率，可得分布列，结合公式求期望和方差；
（2）由条件确定的可能取值，判断，结合二项分布的分布列求法确定其分布列，再由公式求期望和方差，
（3）通过比较随机变量期望和方差的大小，确定选择方案.
【小问1详解】
设方案一摸出的红球个数为X，则X的所有可能取值为，
，，．
X的分布列为：
所以，．
【小问2详解】
设方案二摸出的红球个数为Y，则Y的所有可能取值为．
则，
所以，，
，，
所以随机变量的分布列为：
所以，．
【小问3详解】
因为，，
即两种方案抽取的红球个数的数学期望一样，但方案一更稳定，
所以应选择方案一的抽奖方式．
17. 如图，三棱柱中，侧面底面，， ，点是棱的中点．
（1）证明：；
（2）求面与面夹角正切值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由侧面底面得底面，进而可证；
（2）向量法求面与面的夹角.
【小问1详解】
因为三棱柱中，
故四边形为菱形，又因，点是棱的中点，
故，
又侧面底面，侧面底面， 侧面，
所以底面，又底面，故.
【小问2详解】
因， ，故为直角三角形，
故，
如图分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则A0,0,0，，，
由（1）可知，，，故，，
则，
由题意平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为n=x,y,z，
则即，令，则，，
则，
设面与面夹角为，则，
故，
面与面夹角的正切值为.
18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为，直线经过点，且与相交于，两点，记的倾斜角为.
（1）求的方程；
（2）求弦的长（用表示）；
（3）若直线也经过点，且倾斜角比的倾斜角大，求四边形面积的最小值.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解；
（2）分和，当时，直接求出，当时，设出直线的方程为，联立椭圆方程，利用弦长公式，即可求解；
（3）根据题设，先求出和时，四边形的面积，再求出时，，从而得出，再通过化简，得到，令，通过求出的最大值，即可解决问题.
【小问1详解】
由题知，又，得到，所以，
故椭圆的方程为.
【小问2详解】
设，因为直线经过点，且倾斜角为，
当时，直线，由，解得，，此时，
当，设直线的方程为，其中，
由，消得到，
又，所以，即，
综上，当时，；当时，.
【小问3详解】
直线也经过点，且倾斜角比的倾斜角大，所以，
当时，易知，，此时四边形面积为，
当时，可设，其中，
同理可得，
当时，，，此时四边形面积为，
当且时，四边形面积为①，
又，
代入①化简得到，
即，
令，
令，则，
所以，对称轴，又，则
当，即时，，此时，
所以四边形面积的最小值为，
又，所以四边形面积最小值.
【点睛】本题的关键在于第（3）问，分和，分别求出MN，先求出和两种情况下的面积，再根据题有，当和时，，再求出的最小值，跟特殊情况比较，即可求解.
19. 如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”.
（1）设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项；
（2）设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和.
①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值?
②若，且，求的最小值.
【答案】（1）1，3，5，7，5，3，1
（2）①1012；②2025
【解析】
【分析】（1）根据新定义“对称数列”的定义和已知条件可求得公比，进而求得结果；
（2）①根据对称数列的定义可得数列为等差数列，然后根据二次函数的性质来求解；②由条件得到数列相邻两项间的大小关系，并结合定义求得的取值范围，然后结合已知条件确定出最后的结果
【小问1详解】
因为数列bn是项数为7的“对称数列”，所以，
又因为成等差数列，其公差，…
所以数列bn的7项依次为1，3，5，7，5，3，1；
【小问2详解】
①由，，…，是单调递增数列，数列是项数为的“对称数列”且满足，
可知，，…，构成公差为2的等差数列，，，…，构成公差为的等差数列，
故
，
所以当时，取得最大值；
②因为即，
所以即，
于是，
因为数列是“对称数列”，
所以
，
因为，故，
解得或，所以，
当，，…，构成公差为的等差数列时，满足，
且，此时，所以的最小值为2025.
【点睛】关键点点睛：本题关键是理解对称数列的定义，第二问①关键是得到，，…，构成公差为的等差数列.
X
1
2
3
P
0
1
2
3