数学13.1.1 轴对称说课ppt课件

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1.轴对称图形满足的两个条件(1)轴对称图形是一个整体图形;(2)沿一条直线(对称轴)折叠,直线两旁的部分能够互相重合.两者缺一不可,如图所示.
 (1)轴对称图形是对一个图形而言的;(2)对称轴是一条直线,不是 线段或射线;(3)“互相重合”是指对称轴两旁的部分全等.
2.几种常见轴对称图形的对称轴
　剪纸是中国传统民间艺术,其传承的视觉形象和造型格式 蕴涵了丰富的文化历史信息.小邱利用课余时间学习剪纸,将纸 张折叠后以图①为基础图形剪下,然后展开剪纸得到如图②所示 的图形,该图形的对称轴有 (　    ) A.3条　　　　    B.6条 C.9条　　　　    D.12条　    
解:如图,共有6条对称轴,故选B. 
　如图所示,判断下列图形是不是轴对称图形,如果是,请画出 它们所有的对称轴. 
解:①②④⑤⑥是轴对称图形,对称轴如图所示. 
1.轴对称的概念包含的两层含义(1)有两个图形;(2)存在一条直线(对称轴),两个图形沿这条直线对折能够互相重 合.
2.对称点折叠后重合的点是对应点,叫做对称点,如图所示.
3.轴对称和轴对称图形的区别和联系
　分别观察图(1)~(4)中的两个图形,判断它们是否分别关于 某条直线成轴对称,并说明原因. 
解:(1)(4)分别关于某条直线成轴对称,因为沿某一直线对折,每一 组的两个图形都可以完全重合.(2)(3)不成轴对称,因为不能找到它们的对称轴.
　如图,△ABC与△DEF关于直线MN成轴对称,则以下结论中 不一定成立的是 (　    ) 
A.A、D的连线被直线MN垂直平分B.AB∥DFC.AB=DED.∠B=∠E
解:A中,A、D的连线被直线MN垂直平分,故结论正确;B中,AB与 DF不一定平行,故结论错误;∵△ABC与△DEF关于直线MN成轴 对称,∴△ABC≌△DEF,∴AB=DE,∠B=∠E,故C、D结论正确.故 选B.
　如图所示,AB比AC长2 cm,BC的垂直平分线交AB于点D,交 BC于点E,△ACD的周长是14 cm,求AB和AC的长. 
解:设AB=x cm,AC=y cm.∵DE垂直平分BC,∴DB=DC.∵AC+AD+DC=14 cm,∴AC+AD+BD=14 cm,即AC+AB=14 cm.又∵AB-AC=2 cm,∴ 解得 故AB的长为8 cm, AC的长为6 cm.
    (2020湖北宜昌中考)如图,点E,F,G,Q,H在一条直线上,且EF =GH,我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线.下列 说法正确的是 (　    ) 
A.l是线段EH的垂直平分线B.l是线段EQ的垂直平分线C.l是线段FH的垂直平分线D.EH是l的垂直平分线
解:设直线l与FG交于点O(图略),∵直线l为线段FG的垂直平分线,∴FO=GO,l⊥FG,∵EF=GH,∴EF+FO=GH+OG,即EO=OH,∴l为线段EH的垂直平分线,故选项A正确;∵EO≠OQ,∴l不是线段EQ的垂直平分线,故选项B错误;∵FO≠OH,∴l不是线段FH的垂直平分线,故选项C错误;∵l为直线,直线没有垂直平分线,∴EH不能平分直线l,故选项D错 误.故选A.
画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的步骤如下:(1)找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点;(2)连接这对对应点;(3)画出对应点所连线段的垂直平分线.这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对 称轴.
　如图,△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称,请你作出这 条直线. 
解:(1)连接AD,分别以A、D为圆心,大于 AD的长为半径画弧,使其交于点M、N;(2)作直线MN,直线MN即为所求作的直线.如图所示. 
·教材知识全解知识点1 轴对称变换　知识点2 画轴对称图形　知识点3 用坐标表示轴对称　
13.2　画轴对称图形
　如图,△DEF是由△ABC经轴对称变换得到的,对称轴为直 线l.(1)△DEF与△ABC全等吗?全等的两个三角形一定能经轴对称变换互相得到吗?(2)分别找出点C、点B关于直线l的对称点,如果点M在△ABC内, 那么点M关于直线l的对称点一定在△DEF内吗?(3)连接BE,线段BE与直线l有怎样的位置关系?
解:(1)△DEF与△ABC全等.全等的两个三角形不一定能经轴对 称变换互相得到,这要看这两个三角形的位置关系.(2)点C、点B关于直线l的对称点分别是点F、点E.如果点M在△ABC内,那么点M关于直线l的对称点一定在△DEF内.(3)线段BE被直线l垂直平分.
　画出如图所示的图形关于直线l的对称图形. 
分析    先在原图上找到特殊点,再画各个特殊点关于直线l的对称点,最 后依次连接各对称点,得到对称图形.
(1)横坐标相同,纵坐标互为相反数的两点关于x轴对称;横坐标互 为相反数,纵坐标相同的两点关于y轴对称.(2)点(a,b)在平面直角坐标系中的对称点:点(a,b)关于直线x=m(直 线上各点的横坐标均为m)对称的点的纵坐标与点(a,b)的纵坐标 相等,横坐标与点(a,b)的横坐标的和为2m;点(a,b)关于直线y=n(直 线上各点的纵坐标均为n)对称的点的横坐标与点(a,b)的横坐标 相等,纵坐标与点(a,b)的纵坐标的和为2n.如图所示,点A与点A″ 关于直线x=-1(直线上各点的横坐标均为-1)对称,点A与点A'关于
直线y=-1(直线上各点的纵坐标均为-1)对称. 
　若点P关于x轴的对称点为P1(2a+b,-a+5),关于y轴的对称点 为P2(-4-b,b+2),则ba的值为　　　    .
解:因为点P关于x轴的对称点为P1(2a+b,-a+5),所以点P的坐标为(2a+b,a-5).因为点P关于y轴的对称点为P2(-4-b,b+2),所以点P的坐标为(4+b,b+2),所以 解得 所以ba=(-5)2 =25.
如图所示,直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为 A(2,1),B(-1,3),C(-3,2).(1)在图中作出△ABC关于x轴对称的△A'B'C';(2)若点P(a,a-2)与点Q关于y轴对称,且PQ=8,求点P的坐标. 
解:(1)点A'的坐标为(2,-1),点B'的坐标为(-1,-3),点C'的坐标为(-3,-2),描点、连线得到△A'B'C',如图所示. 
(2)∵点P(a,a-2)与点Q关于y轴对称,∴Q(-a,a-2),∵PQ=8,∴|a-(-a)|=8,解得a=4或a=-4,∴点P的坐标为(4,2)或(-4,-6).
·教材知识全解知识点1 等腰三角形的性质知识点2 等腰三角形的判定　·易错易混全解
13.3　等腰三角形13.3.1　等腰三角形
1.性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).数学语言:如图所示,在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C.
 2.性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重 合(简写成“三线合一”).数学语言:如图所示,在△ABC中,(1)∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC,BD=CD;
(2)∵AB=AC,BD=CD,∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC;(3)∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD,BD=CD. 
   (1)已知等腰三角形的一个角是30°,求三角形的另外两个角 的度数;(2)已知等腰三角形的一个角是160°,求三角形的另外两个角的度 数.
分析    (1)分两种情况:当30°角是顶角时,当30°角是一个底角时,分别进 行计算即可解答;(2)因为三角形的内角和是180°,所以160°角只能是等腰三角形的 顶角,然后进行计算即可解答.
解:(1)分两种情况:当30°角是顶角时,底角的度数为 ×(180°-30°)=75°,∴三角形的另外两个角的度数分别为75°,75°;当30°角是一个底角时,另一个底角也是30°,∴顶角的度数为180°-2×30°=120°,∴三角形的另外两个角的度数分别为120°,30°.综上所述,三角形的另外两个角的度数分别为75°,75°或30°,120°.
(2)∵160°角是钝角,∴160°角只能是等腰三角形的顶角,∴底角的度数为 ×(180°-160°)=10°,∴三角形的另外两个角的度数分别为10°,10°.
　如图①所示,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC.(1)若AD=AE,求证:BD=CE;(2)如图②所示,若BD=CE,F为DE的中点,∠BAF=70°,求∠C的度 数. 
解:(1)证明:如图,过点A作AF⊥BC于F.
∵AB=AC,AD=AE,∴BF=CF,DF=EF,
∴BF-DF=CF-EF,∴BD=CE.(2)∵BD=CE,F为DE的中点,∴BD+DF=CE+EF,∴BF=CF.∵AB=AC,∴AF⊥BC,∠B=∠C.∴∠C=∠B=90°-70°=20°.
　已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°,求它的 底角度数.
分析    此题中等腰三角形的顶角是钝角、锐角还是直角不能确定,所以 等腰三角形一腰上的高的位置也就不确定,因此要针对顶角的类 型进行分类讨论.
解:分三种情况进行讨论:(1)若顶角为锐角,则高在三角形的内部,如图①所示,依题意知∠ABD=50°.因为BD⊥AC,所以∠BDA=90°.在△ABD中,∠A=180°-∠ABD-∠BDA=180°-50°-90°=40°.因为△ABC是等腰三角形,所以∠ABC=∠C= (180°-∠A)= ×(180°-40°)=70°,
即底角为70°. (2)若顶角为钝角,则高在三角形的外部,如图②所示,由题意可知 ∠ABD=50°,
所以∠BAC=∠ABD+∠ADB=50°+90°=140°.又因为△ABC是等腰三角形,所以∠ABC=∠C= (180°-∠BAC)= ×(180°-140°)=20°,即底角为20°.(3)若顶角为直角,则一腰上的高与另一腰重合,如图③所示,此情 况不成立.综上所述,这个三角形的底角度数为70°或20°.
　如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是AB上的一点,过点D作 DE⊥BC于点E,延长ED交CA的延长线于点F,求证:△ADF是等腰 三角形. 
证明    ∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵DE⊥BC, ∴∠DEB=∠DEC=90°,∴∠2+∠B=90°,∠F+∠C=90°,∴∠2=∠F.又∵∠1=∠2,∴∠1=∠F,∴AF=AD,∴△ADF是等腰三角形.
“两头凑”的分析方法:此法就是先从要证的结论开始寻找它成立需具备的条件,再从已知条件出发,看如何得到要满足的条件,从而找到证题的途径.本题还可以作AG⊥BC,利用AG∥EF来证.
　等腰三角形的一个角是70°,则它顶角的度数是 (　    )A.70°　　　　　     B.40°    C.70°或20°　　　　　    D.70°或40°
解:①70°角是底角,则顶角为180°-70°×2=40°;②70°角为顶角.综 上所述,顶角的度数为40°或70°.
当求等腰三角形各角的度数时,若顶角和底角不能确定,则必须 进行分类讨论.(1)若已知角是钝角或直角,则这个角只能是等腰 三角形的顶角;(2)若已知角是锐角,则分这个已知角是顶角和底 角两种情况讨论.
·教材知识全解知识点1 等边三角形的概念及性质知识点2 等边三角形的判定　知识点3 含30°角的直角三角形的性质　
13.3　等腰三角形13.3.2　等边三角形
　如图,已知等边△ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P,(1)求证:AD=BE;(2)求∠APE的度数. 
解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC,∠ABD=∠C=60°,在△ABD和△BCE中, ∴△ABD≌△BCE(SAS),∴AD=BE.(2)由(1)知△ABD≌△BCE,∴∠BAD=∠CBE,∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠PBD+∠ABP=∠ABD=60°.
　如图所示,在等边△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,BO,OC的垂直平分线分别交BC于点E,F,连接OE,OF.求证:△OEF是等边三角形.
分析    利用三角形外角的性质,易求得∠OEF=∠OFE=60°,从而证明△OEF是等边三角形.
证明    ∵E,F分别是BO,CO的垂直平分线上的点,∴OE=BE,OF=CF,∴∠BOE=∠OBE,∠FOC=∠OCF.又∵△ABC是等边三角形,且BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,∴∠OBE=∠BOE=∠OCF=∠COF=30°,∴∠OEF=∠OFE=60°,∴∠EOF=60°,∴△OEF是等边三角形.
(1)含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分 关系的重要依据.(2)有些题目中,当给出直角三角形的一个角是15°时,往往运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,将15°的角转化为30°的角,进而利用这个性质解决问题.
　 如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=30°,AB⊥AD,AD=4 cm,求BC 的长. 
分析    根据等腰三角形的性质求出∠B,再求出∠DAC=∠C,由此可得 AD=DC=4 cm,根据含30°角的直角三角形的性质求出BD,即可求 出答案.
解:∵AB=AC,∠C=30°,∴∠B=∠C=30°,∵AB⊥AD,AD=4 cm,∴∠ADB=60°,BD=2AD=8 cm,∵∠C=30°,∴∠DAC=30°=∠C,∴CD=AD=4 cm,∴BC=BD+CD=8+4=12(cm).
　如图,已知∠AOB=30°,P是∠AOB的平分线上一点,PC∥ OA,交OB于点C,PD⊥OA,垂足为D,如果PC=4,求PD的长. 
解:如图,过点P作PE⊥OB于E, ∵PC∥OA,∴∠PCE=∠AOB=30°,∵在Rt△PCE中,PC=4,∴PE=2,
∵OP是∠AOB的平分线,PE⊥OB,PD⊥OA,∴PD=PE=2.