数学华东师大版（2024）2. 相似三角形的判定精品导学案

这是一份数学华东师大版（2024）2. 相似三角形的判定精品导学案，文件包含专题233相似三角形的判定十大题型举一反三华东师大版原卷版docx、专题233相似三角形的判定十大题型举一反三华东师大版解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共46页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc13677" 【题型1 判断两个三角形是否相似】 PAGEREF _Tc13677 \h 1
\l "_Tc32673" 【题型2 补充条件使两个三角形相似】 PAGEREF _Tc32673 \h 2
\l "_Tc27275" 【题型3 裁剪使两个三角形相似】 PAGEREF _Tc27275 \h 3
\l "_Tc3822" 【题型4 尺规作图使两个三角形相似】 PAGEREF _Tc3822 \h 4
\l "_Tc27985" 【题型5 格点中判断两三角形相似】 PAGEREF _Tc27985 \h 5
\l "_Tc16058" 【题型6 确定与已知三角形相似的三角形】 PAGEREF _Tc16058 \h 6
\l "_Tc22329" 【题型7 确定哪两个三角形相似】 PAGEREF _Tc22329 \h 7
\l "_Tc12349" 【题型8 确定相似三角形的对数】 PAGEREF _Tc12349 \h 8
\l "_Tc9118" 【题型9 坐标系中确定使两三角形相似的点的个数】 PAGEREF _Tc9118 \h 9
\l "_Tc23650" 【题型10 相似三角形的证明】 PAGEREF _Tc23650 \h 11
知识点1：相似三角形的判定
【题型1 判断两个三角形是否相似】
【例1】（23-24九年级·四川遂宁·期中）下列条件中，能使△ABC∽△DEF成立的是（ ）
A．∠C＝98°，∠E＝98°，ACBC=DEDF；
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，EF＝8，DE＝10，FD＝6
C．∠A＝∠F＝90°，AC＝5，BC＝13，DF＝10，EF＝26；
D．∠B＝35°，BC ＝10，BC上的高AG＝7；∠E＝35°，EF＝5，EF上的高DH ＝3.5
【变式1-1】（23-24九年级·四川眉山·期中）下列判断中，不正确的有（ ）
A．三边对应成比例的两个三角形相似
B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
【变式1-2】（2024·江苏无锡·中考真题）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC-=OB：OD，则下列结论中一定正确的是 ( )

A．①与②相似B．①与③相似
C．①与④相似D．②与④相似
【变式1-3】（23-24九年级·上海浦东新·期末）下列命题中，说法正确的是（ ）
A．如果一个直角三角形中有两边之比为1:2，那么所有这样的直角三角形一定相似
B．如果一个等腰三角形中有两边之比为1:2，那么所有这样的等腰三角形一定相似
C．如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为1:2，那么所有这样的直角三角形一定相似
D．如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为1:2，那么所有这样的等腰三角形一定相似
【题型2 补充条件使两个三角形相似】
【例2】（23-24九年级·山东泰安·开学考试）已知P是△ABC的边AC上一点，连接BP，则下列不能判定△ABP∽△ACB的是（ ）
A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABCC．ABAP=ACABD．ABBP=ACBC
【变式2-1】（2024·云南昆明·三模）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且AB=4，AC=6．当
AD= 时，△ABC∽△ACD．
【变式2-2】（2024·江西景德镇·三模）如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC=∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（ ）
A．CA平分∠BCDB．ADAB=DCACC．AC2=BC⋅CD D．∠DAC=∠ABC
【变式2-3】（23-24九年级·河南鹤壁·阶段练习）直线DE与△ABC的边AB相交于点D，与AC边相交于点E，下列各条件：
①∠AED=∠B，②DE∥BC，③ADAB=DEBC，④AEAB=ADAC，⑤AD⋅AC=AE⋅AB，能够判断△ADE∽△ABC的是 ．
【题型3 裁剪使两个三角形相似】
【例3】（23-24九年级·海南·期末）点P是ΔABC斜边BC上的一个点(不与B,C重合),过点P作直线PD截ΔABC,使截得的三角形与ΔABC相似,满足这样的条件的截线共有 条
【变式3-1】（23-24九年级·山西·期中）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形一定与原三角形相似的是（ ）
A．①②③B．③④C．①②③④D．①②④
【变式3-2】（23-24九年级·浙江宁波·期末）如图，△ABC中∠A=60°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与△ABC不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-3】（2024九年级·浙江·专题练习）如图，在△ABC纸片中，∠C=90°，BC=5，AC=7，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 尺规作图使两个三角形相似】
【例4】（23-24九年级·陕西宝鸡·期末）如图，在△ABC中，∠B=2∠A，利用尺规作图法在边AC上求作一点D，使得△BDC∽△ABC．（不写作法，保留作图痕迹）
【变式4-1】（23-24九年级·河南·期末）如图，已知钝角△ABC中∠ABC=2∠ACB．
(1)请用无刻度直尺和圆规在AC上定一点P，使得△ABP∽△ACB．（保留痕迹，不写作法）
(2)请用数学语言简述作图的合理性．
【变式4-2】（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，D为边AB上任意一点，利用尺规作图法，在边AC上找一点E，使得△DEA∽△BCA.（不写作法，保留作图痕迹）
【变式4-3】（23-24九年级·陕西榆林·期末）如图，等腰△ABC的顶角∠A=108°，请用尺规作图法，在BC边上求作一点D，使得△ACD∽△BCA．（保留作图痕迹，不写作法）
【题型5 格点中判断两三角形相似】
【例5】（23-24九年级·广东梅州·阶段练习）如图，网格中有一个△ABC，下图中与△ABC相似的三角形的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式5-1】（23-24九年级·上海宝山·期末）如图，在正方形网格中，A、B、C、D、M、N都是格点，从A、B、C、D四个格点中选取三个构成一个与△AMN相似的三角形，某同学得到两个三角形：①△ABC；②△ABD．关于这两个三角形，下列判断正确的是（ ）
A．只有①是B．只有②是C．①和②都是D．①和②都不是
【变式5-2】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（ ）

A．①③B．①④C．②④D．①③④
【变式5-3】（23-24九年级·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与△ABC相似的三角形是 ．
【题型6 确定与已知三角形相似的三角形】
【例6】（2024·黑龙江大庆·中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 ．

【变式6-1】（23-24九年级·广西贺州·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，则下列三角形中，与△AOD一定相似的是（ ）
A．△BOCB．△AOBC．△DOCD．△ABC
【变式6-2】（23-24九年级·福建福州·期末）如图，△ABC的高AD，BE相交于点O，写出一个与△ACD相似的三角形，这个三角形可以是 ．
【变式6-3】（23-24九年级·河北保定·期末）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（点D不与点A，C重合），DE，AB交于点F，则下列一定与△BCD相似的是（ ）
A．△BDFB．△BEFC．△ABCD．△BAD
【题型7 确定哪两个三角形相似】
【例7】（23-24九年级·上海·期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转，使得点A落在边AC上，点A、C的对应点分别为D、E，边DE交BC于点F，连接CE，下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．△BAD与△BCEB．△BDF与△ECF
C．△BAC与△BDED．△DBF与△CEB
【变式7-1】（23-24九年级·河北保定·期末）如图，∠AOD=90°，OA=OB=BC=CD，以下结论成立的是（ ）
A．△OAB∽△OCAB．△OAB∽△ODA
C．△BAC∽△BDAD．以上结论都不对
【变式7-2】（2024·辽宁鞍山·一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B．那么下列各判断中，错误的是（ ）
A．△ADE∽△ABCB．△ADE∽△ACD
C．△DEC∽△CDBD．△ADE∽△DCB
【变式7-3】（23-24九年级·上海静安·期中）将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC与△AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一定相似的三角形是（ ）
△ABC与△ADE B．△ABD与△AEC
C．△ABE与△ACD D．△AEC与△ADC
【题型8 确定相似三角形的对数】
【例8】（23-24九年级·广西贵港·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，AF⊥CD于点E，交BC边于点F，连接DF，则图中与△ACE相似的三角形共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式8-1】（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，点E为平行四边形ABCD边BC延长线上的一点，连接AE与CD相交于点F．则图中相似三角形共有（ ）

A．1对B．2对C．3对D．4对
【变式8-2】（23-24九年级·福建宁德·阶段练习）如图，点D是等腰Rt△ABC斜边BC上的一个动点，以AD为边作等腰Rt△ADE，斜边AE交BC于F，则图中相似三角形共有（ ）对．
A．2B．3C．4D．5
【变式8-3】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，E为矩形ABCD的CD边延长线上一点，BE交AD于G ， AF⊥BE于F ， 图中相似三角形的对数是（ ）

A．5B．7C．8D．10
【题型9 坐标系中确定使两三角形相似的点的个数】
【例9】（23-24九年级·江苏·期中）平面直角坐标系中，直线y=-12x+2和x、y轴交于A、B两点，在第二象限内找一点P，使△PAO和△AOB相似的三角形个数为( )

A．2B．3C．4D．5
【变式9-1】（2024·江西九江·三模）如图，在平面直角坐标系中，已如A1,0，B2,0，C0,1，在坐标轴上有一点P，它与A,C两点形成的三角形与△ABC相似，则P点的坐标是 ．

【变式9-2】（2024·湖北宜昌·中考真题）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）

A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）
【变式9-3】（23-24九年级·广东深圳·阶段练习）如图，△ABO的顶点坐标是A(2,6)，B(3,1)，O(0,0)，平面内点P使得△ABP与△ABO相似，则不与点O重合的点P有 个．
【题型10 相似三角形的证明】
【例10】（23-24九年级·广东清远·期末）如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．求证：

(1)△BDG∽△DEG；
(2)BG⊥DF．
【变式10-1】（23-24九年级·陕西·期中）已知：如图在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CF的延长线交BA的延长线于点H．求证：△BEC∽△BCH．
【变式10-2】（2024九年级·全国·专题练习）在△ABC和△AED中，AB⋅AD=AC⋅AE，∠BAD=∠CAE，求证：△ABC∽△AED．

【变式10-3】（23-24九年级·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC=CD，若点E、F分别为边BC、CD上的两点，且∠EAF=∠CAD．求证：△ADF∽△ACE．
判定定理
判定定理1：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
简称为两角对应相等，两个三角形相似．
如图，如果，，则
．
判定定理2：
如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似．
简称为三边对应成比例，两个三角形相似．
如图，如果，则
．
判定定理3：
如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则．