华东师大版（2024）九年级上册第23章 图形的相似23.3 相似三角形4. 相似三角形的应用优秀导学案

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\l "_Tc1046" 【题型1 建筑物高问题】 PAGEREF _Tc1046 \h 1
\l "_Tc11733" 【题型2 影长问题】 PAGEREF _Tc11733 \h 6
\l "_Tc29477" 【题型3 河宽问题】 PAGEREF _Tc29477 \h 9
\l "_Tc5688" 【题型4 树高问题】 PAGEREF _Tc5688 \h 13
\l "_Tc25573" 【题型5 杠杆问题】 PAGEREF _Tc25573 \h 17
\l "_Tc26203" 【题型6 实验问题】 PAGEREF _Tc26203 \h 22
\l "_Tc11251" 【题型7 古文问题】 PAGEREF _Tc11251 \h 26
\l "_Tc1522" 【题型8 裁剪问题】 PAGEREF _Tc1522 \h 30
\l "_Tc659" 【题型9 现实生活相关问题】 PAGEREF _Tc659 \h 34
\l "_Tc3078" 【题型10 三角形内接矩形问题】 PAGEREF _Tc3078 \h 39
【题型1 建筑物高问题】
【例1】（23-24九年级·山东潍坊·期末）小亮运用《数书九章》中测量塔高的方法测量一幢楼房的高度．如图，MN表示楼房的高，AB表示一根直杆顶端B到地面的高，CD表示小亮的眼睛到地面的高，MN,AB,CD在同一平面内，点C,A,M在同一条直线上．已知AM=98m，AB=3m，CD=1.6m，CA=2m，小亮从点D远眺楼顶N，视线恰好经过直杆的顶端B，请帮小亮求出楼房的高．
【答案】楼房的高为71.6m
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．过D作DF⊥MN于F，根据矩形的性质得到AE=MF=CD=1.6m，DE=AC=2m，EF=AM=98m，求得BE=AB-AE=1.4m，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：过D作DF⊥MN于F，交AB于E，
则AE=MF=CD=1.6m，DE=AC=2m，EF=AM=98m，
∴BE=AB-AE=1.4m，DF=DE+EF=100m，
∵BE∥FN，
∴△DBE∽△DNF，
∴ BEFN=DEDF，
∴ 1.4FN=2100，
∴FN=70，
∴MN=FN+FM=70+1.6=71.6(m)，
答：楼房的高为71.6m．
【变式1-1】（23-24·河南商丘·模拟预测）圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具．图1为圭表示意图．某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度．如图2，旗杆MN的影长MA在水平地面上，将标杆AB（长度1米）竖直放置在影长的最远端点A处，此时标杆AB的影长为AD．经测量，AD=1.2米，AM=12.1米．
(1)根据以上信息，计算旗杆MN的高度．（结果保留整数）
(2)若该同学在操作过程中，测量完AD的长度后，准备测量AM的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量AM的长度，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由．
【答案】(1)旗杆MN的高度约为10米
(2)不可以．理由见解析
【分析】本题考查了相似三角形的实际应用：
（1）根据BD∥AN证明△MNA∽△ABD，由相似三角形的性质可得MNAB=MAAD，进行计算即可；
（2）旗杆和标杆的影长随着时间变化而变化，必须同时测量，才可以准确得到旗杆的高度．
【详解】（1）解：由题意，可知BD∥AN．
∴∠NAM=∠D．
又∵∠NMA=∠BAD=90°，
∴△MNA∽△ABD．
∴MNAB=MAAD，即MN1=12.11.2．
∴MN≈10（米）．
答：旗杆MN的高度约为10米．
（2）解：不可以．
理由如下：旗杆和标杆的影长随着时间变化而变化，必须同时测量，小明测量标杆影长后半个小时再测旗杆影长，此时旗杆影长已发生变化，故不可以准确得到旗杆的高度．（理由合理即可）
【变式1-2】（23-24·河南·模拟预测）小明和小亮两位同学春节期间在游览某景区时，对景区内一座古塔产生浓厚的兴趣，他们想用所学的知识测量古塔的高度．为了保护古塔，工作人员在古塔底部设有栅栏，古塔底部不可直接到达．经询问得知栅栏长17米（即FC=17米），小亮在F处利用1米高的栅栏（即FG=1米，且FG⊥FC），在栅栏顶端G处测得塔的顶部A处的仰角为45°，小明同学在古塔另一侧的C处放置平面镜（点D，C，B，F四点在一条直线上），当他站在D处时恰好能从平面镜中看到古塔的塔顶A，已知小明的身高为1.8米（即ED=1.8米，且ED⊥DB），小明到平面镜的水平距离为0.9米（即DC=0.9米），求古塔AB的高．

【答案】古塔AB的高为12米．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、相似三角形的应用等知识点，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
如图：过点G作GH⊥AB，垂足为H，根据题意可得：GH=BF，GF=BH=1米，然后设BC=x米，则FB=GH=17-x米，在Rt△AGH中，求出AH的长，从而求出AB的长，再根据题意可得：∠ACB=∠ECD，AB⊥FD，ED⊥FD，从而可得∠ABC=∠D=90°，进而可得△ABC∽△EDC，最后利用相似三角形的性质进行计算可得AB=2x,从而列出关于x的方程，然后进行计算即可解答．
【详解】解：如图：过点G作GH⊥AB，垂足为H，

由题意得：GH=BF，GF=BH=1米，
设BC=x米，
∵FC=17米，
∴FB=GH=FC-BC=17-x米，
在Rt△AGH中，∠AGH=45°，
∴AH=17-x米，
∴AB=AH+BH=17-x+1=18-x米，
由题意得：∠ACB=∠ECD，AB⊥FD，ED⊥FD，
∴∠ABC=∠D=90°，
∴△ABC∽△EDC，
∴ABED=BCDC，即：AB1.8=x0.9，解得：AB=2x,
∴18-x=2x,解得：x=6，
∴AB=2x=12（米），
∴古塔AB的高为12米．
【变式1-3】（23-24九年级·山东威海·期末）图Ⅰ是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图Ⅱ是求大拇指高度AB的示意图．如图Ⅱ，在C处放置一根高度为2m且与地平线BF垂直的竹竿IC，点A，I，D在同一直线上，测得CD为3m．将竹竿3m平移5m至E处，点A，G，F在同一直线上，测得EF为5m．求大拇指的高度．
【答案】大拇指的高度为7m
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
分别证明△CDI∽△BDA、△GEF∽△ABF可得ICAB=CDBD=CDBC+CD、GEAB=EFBF=EFEF+CE+BC，进而得到3BC+3=510+BC可得BC=7.5；最后将BC=7.5代入ICAB=CDBC+CD求得AB的值即可解答．
【详解】解：由题意可得：AB∥CI，
∴△CDI∽△BDA．
∴ICAB=CDBD=CDBC+CD．
由题意可得：AB∥EG，
∴△GEF∽△ABF．
∴GEAB=EFBF=EFEF+CE+BC．
∵IC=GE，
∴CDBC+CD=EFEF+CE+BC，即3BC+3=510+BC，解得：BC=7.5．
将BC=7.5代入ICAB=CDBC+CD，得2AB=310.5．解得AB=7．
∴大拇指的高度为7m．
【题型2 影长问题】
【例2】（23-24九年级·河南鹤壁·开学考试）如图1，平直的公路旁有一灯杆AB，在灯光下，小丽从灯杆的底部B处沿直线前进4m到达D点，在D处测得自己的影长DE=1m．小丽身高CD=1.2m．
(1)求灯杆AB的长；
(2)若小丽从D处继续沿直线前进4m到达G处（如图2），求此时小丽的影长GH的长．
【答案】(1)灯杆AB的高度为6m
(2)此时小丽的影长GH的长是2m
【分析】本题考查了中心投影及相似三角形的应用，解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．
（1）根据题意得出AB∥CD，由平行线得出△EAB∽△ECD，得出对应边成比例，即可得出结果．
（2）根据相似三角形△HGF∽△HBA的对应边成比例列出比例式，代入相关数值解答即可．
【详解】（1）解：如图1，根据题意得：AB∥CD，BE=1+4=5（米)，
∴△EAB∽△ECD，
∴ ABCD=BEDE，
即AB1.2=51，
解得：AB=6（米)；
答：灯杆AB的高度为6m；
（2）如图2，根据题意得：AB∥FG，BE=1+4=5（米)，
∴△HGF∽△HBA，
∴ ABFG=BHGH，
即61.2=8+GHGH，
解得：GH=2（米)；
答：此时小丽的影长GH的长是2m．
【变式2-1】（23-24九年级·山东烟台·期末）操场上有一根竖直的旗杆AB，它的一部分影子（BC）落在水平地面上，另一部分影子（CD）落在对面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为1.2m，地面的影长为2.8m，同时测得一根高为2m的竹竿OM的影长是ON=1.4m，请根据以上信息，则旗杆的高度是（ ）
A．4.5mB．4.7mC．5.2mD．5.7m
【答案】C
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据题意，BC⊥AB,DC⊥BC，得到矩形BCDE,继而得到BC=DE,BE=DC,∠AED=90°，根据同一时刻，物高与影长成正比，建立等式计算即可．
本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的应用，熟练掌握解矩形的应用是解题的关键．
【详解】过点D作DE⊥AB于点E，根据题意，得BC⊥AB,DC⊥BC，
∴四边形BCDE为矩形，
∴BC=DE,BE=DC,∠AED=90°，
∵BC=2.8m，DC=1.2m，
∴DE=2.8m,BE=1.2m,∠AED=90°，
根据同一时刻，物高与影长成正比，
∴AEDE=21.4即AE2.8=21.4，
解得AE=4m，
∴AB=AE+BE=5.2m．
故选C．
【变式2-2】（23-24九年级·四川成都·期中）如图，在路灯下，AB表示小明的身高，AC表示他的影子，FG表示小亮的身高，路灯灯泡在线段DE上．
(1)请你画出灯泡的位置，并画出小亮在灯光下的影子；
(2)如果小明的身高AB=1.6m，他的影子AC=1.4m，且他到路灯的距离AD=2.1m，求路灯的高．
【答案】(1)见解析
(2)4m
【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的应用；理解中心投影，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
（1）连接CB，延长CB交DE于点O，点O即为灯泡的位置，连接OG，延长OG交AF与点H，线段FH即为所求；
（2）由相似三角形的判定方法得△ABC∽△DOC，由相似三角形的性质得ABDO=CACD，即可求解；
【详解】（1）解：如图，
∴点O为灯泡的位置， FH为小亮在灯光下的影子；
（2）解：∵AB∥OD，
∴ △ABC∽△DOC，
∴ABDO=CACD，
∴1.6DO=1.41.4+2.1，
解得：DO=4，
∴路灯的高为4m．
【变式2-3】（23-24九年级·陕西西安·期末）小明和爸爸在公园散步，此时爸爸的影子落在了身后的地面和墙上，如图1所示．其中，BC段为地上的影子，AC段为墙上的影子．小明想利用所学知识测量出爸爸的身高．他向工作人员询问得知：公园地面与墙面所用均为厚度13.5cm，长度65cm的砖块，小明数了一下，BC段刚好是4块地砖的长度，而AC段恰好为4块地砖的厚度；同一时刻，小明观察到公园门口指示牌影子的顶端刚好到达保安亭，如图2所示，其中MN为指示牌的影子．已知爸爸、墙面、指示牌和保安亭均与地面垂直，指示牌高2m，指示牌距保安亭4m，请你根据以上信息，帮小明求出爸爸的身高．
【答案】184cm
【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，准确熟练地进行计算是解题的关键．过点A作AE⊥BD，垂足为E，根据题意可得：AC=BE=54cm，AE=BC=260cm，然后根据同一时刻的物高与影长成正比例可得DEAE=24，从而进行计算即可解答．
【详解】解：如图：过点A作AE⊥BD，垂足为E，
由题意得：AC=BE=4×13.5=54(cm)，AE=BC=4×65=260(cm)，
∵指示牌高2m，指示牌距保安亭4m，
∴ DEAE=24，
∴DE=12AE=130(cm)，
∴BD=DE+BE=130+54=184(cm)，
∴爸爸的身高为184cm．
【题型3 河宽问题】
【例3】（23-24九年级·河南许昌·期末）学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即PE=20米）的点P处懒北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在C,D两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即A,C,P三点共线，B,D,P三点共线）．已知电线杆A,B之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离CD为30米，求这条河的宽度．
【答案】这条河的宽度为30米
【分析】本题考查相似三角形的应用，延长PE交AB于点F，设这条河的宽度为x米．由相似三角形对应高的比等于相似比得到PFPE=ABCD，代入有关数据列方程求解方程，即可得到河的宽度．
【详解】解：延长PE交AB于点F，如解图所示．
∵PE⊥CD,AB∥CD,
∴PF⊥AB
依题意，CD=30米，AB=75米．
设这条河的宽度为x米．
∵AB∥CD，
∴△PBA∽△PDC．
∴PFPE=ABCD，
即20+x20=7530，
解得x=30．
答：这条河的宽度为30米．
【变式3-1】（23-24·陕西·中考真题）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．
【答案】河宽为17米．
【分析】由题意先证明∆ABC∽∆ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长．
【详解】解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠CBA＝∠EDA＝90°，
∵∠CAB＝∠EAD，
∴∆ABC∽∆ADE，
∴ADAB=DEBC，
又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5，
∴AB+8.5AB=1.51，
∴AB＝17，
即河宽为17m．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式3-2】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）如图，为了测量某河段的宽度，某校数学课外活动小组在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B和C，使点A、B、C共线且直线AB与河岸b垂直，接着在过点C且与AB垂直的直线a上选择适当的点D，点A、D与河岸b上的点E在一条直线上．测得BC=12m，CD＝16m，BE=10m，请根据这些数据，计算河宽AB．
【答案】20m
【分析】本题考查相似三角形性质的应用，证明△ABE~△ACD，然后根据相似三角形的对应边成比例列式求解即可．
【详解】解：由题意得∠ABE=∠ACD=90°，∠A=∠A，
∴△ABE~△ACD，
∴ABAC=BECD，即ABAB+BC=BECD．
∵BC=12m，BE=10m，CD=16m，
∴ ABAB+12=1016，
解得 AB=20m．
答：河宽AB大约是20m．
【变式3-3】（23-24九年级·北京·期末）如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM=PN，两岸均高出水平面0.75米，即DE=FP=0.75米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河宽EP是多少米？
【答案】12米
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，延长AB交EP的反向延长线于点H，由△ABD∽△AHO求得OH，再由△AHO∽△NPO求得OP，便可解决问题．
【详解】解：延长AB交EP的反向延长线于点H，
则四边形BDEH是矩形，
∴BH=DE=0.75，BD∥EH，
∴AH=AB+BH=AB+DE=1.6+0.75=2.35，
∵BD∥OH，
∴△ABD∽△AHO，
∴ BDHO=ABAH，
∴ 3.2HO=，
∴HO=4.7，
∵PM=PN，MF=4.5米，FP=0.75米，
∴PN=MF+FP=5.25米，
∵AH⊥EP，PN⊥EP，
∴AH∥PN，
∴△AHO∽△NPO，
∴ AHNP=HOPO，
∴ ，
∴PO=10.5，
∴PE=PO+OE=10.5+(4.7-3.2)=12，
答：河宽EP是12米．
【题型4 树高问题】
【例4】（23-24九年级·河南洛阳·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的DEF）．小南利用“矩”可测量大树AB的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为EF=0.2m，DE=0.3m，小南的眼睛到地面的距离DM为1.6m，测得AM=21m，求树高AB．
【答案】树高AB为15.6m
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得∠DEF=∠BCD=90°，∠EDF=∠CDB，即可得出△DEF∽△DCB，由相似三角形的性质可得出EFDE=BCCD，即可得出BC，再根据AB=AC+BC即可得出答案．
【详解】解：据题意可得∠DEF=∠BCD=90°，∠EDF=∠CDB，
∴△DEF∽△DCB，
∴EFDE=BCCD．
∵EF=0.2m，DE=0.3m，AM=CD=21m，
∴，
∴BC=14m，
∴AB=AC+BC=1.6+14=15.6(m)．
答：树高AB为15.6m．
【变式4-1】（23-24九年级·云南红河·期末）如图，直立在B处的标杆AB=2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上(人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上)．已知BD=6米，FB=2米，EF=1.7米，求树高CD．
【答案】6.5米
【分析】过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，则EH⊥AB，证明四边形EFDH为矩形，可得HD的长，再根据△AEG∽△CEH，故可求得CH的长，所以树高CD的长即可知．
【详解】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，则EH⊥AB，如下图所示：
由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴四边形EFDH为矩形，
∴EF＝GB＝DH＝1.7米，EG＝FB＝2米，GH＝BD＝6米，
∴AG＝AB−GB＝2.9−1.7＝1.2（米），
∵AG∥CH，
∴△AEG∽△CEH，
∴AGCH=EGEH，
∴1.2CH=22+6，
∴CH＝4.8，
∴CD＝CH＋DH＝4.8＋1.7＝6.5（米）．
答：树高CD为6.5米．
【点睛】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．
【变式4-2】（23-24九年级·山东聊城·阶段练习）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示.于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得∠ACD=135°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，测量器的高度CD=0.5米.已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（小平面镜的大小忽略不计）
【答案】18m
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，则CH=BD，BH-CD=0.5，解Rt △ACH，得出AH=CH=BD，那么AB=AH+BH=BD+0.5，再证明△EFG∽△ABG，因此得出BD=17.5m，再求出AB即可.
【详解】如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH=BD，BH=CD=0.5米，
在Rt △ACH中，∠ACH=45°，
∴AH=CH=BD，
∴AB=AH+BH=BD+0.5，
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG=∠ABG=90°
由反射角等于入射角得∠EGF=∠AGB,
∴△EFG∽△ABG,
∴EFAB=FGBG，即16BD+0.5=25+BD，
解得BD=17.5m
∴AB=17.5+0.5=18m
∴这棵树高18米.
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，证明三角形相似是解题的关键.
【变式4-3】（23-24九年级·陕西咸阳·期中）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点C处，他在点F处正好在镜中看到树尖A的像；第二次他把镜子放在点C'处，他在点F'处正好在镜中看到树尖A的像．已知AB⊥BF'，EF⊥BF'，E'F'⊥BF'，小军的眼睛距地面1.7m（即EF=E'F'=1.7m），量得CC'=12m，CF=1.8m，C'F'=4.2m，求这棵古松树的高度AB．（镜子大小忽略不计）
【答案】8.5m
【分析】先证明△ABC∽△EFC，得出EFAB=CFBC，再证明△ABC∽△E'F'C'，得出E'F'AB=C'F'BC'，由EF=E'F'，得出CFBC=C'F'BC'，继而求出BC的长度，代入EFAB=CFBC即可求出AB的长度，即可得出答案．
【详解】解：∵∠ABC=∠EFC=90°，∠ACB=∠ECF，
∴△ABC∽△EFC，
∴EFAB=CFBC，
∵∠ABC'=∠E'F'C'=90°，∠AC'B=∠E'C'F'，
∴△ABC∽△E'F'C'，
∴E'F'AB=C'F'BC'，
∵EF=E'F'=1.7m，
∴CFBC=C'F'BC'，
∵CC'=12m，CF=1.8m，C'F'=4.2m，
∴1.8BC=4.2BC+12，
解得：BC=9，
∴1.7AB=1.89，
解得：AB=8.5，
答：这棵古松树的高度为8.5m．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【题型5 杠杆问题】
【例5】（23-24九年级·山西大同·期末）阿基米德曾说过：“给我一个支点和一根足够长的杆子，我就能撬起整个地球．”这句话的意思是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动．如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离BD=7cm，动力臂OA与阻力臂OB满足OA=3OB（AB与CD相交于点O），则AC的长为 cm．

【答案】21
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键．首先根据题意构造出相似三角形△AOC∽△BOD，然后根据相似三角形的对应边成比例求得AC的长度．
【详解】解：由题意得，AC∥BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴ACBD=AOBO，
∵OA=3OB，
∴ACBD=AOBO=3，
∴AC=3BD=21cm．
故答案为：21．
【变式5-1】（23-24九年级·陕西咸阳·阶段练习）如图，EF是一个杠杆，可绕支点O自由转动，当EF处于图中的位置时，点O到点E的水平距离OM=2，点O到点F的水平距离ON=4，若已知杠杆的OE段长为2.5，则杠杆的OF段长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，从实际问题中抽离出数学图形是解题的关键．证明△MOE∽△NOF，从而得到MENF=MONO，代入数值即可求解．
【详解】解：∵∠MOE=∠NOF，∠M=∠ONF，
∴△MOE∽△NOF，
∴OEOF=MONO，
∵OM=2，ON=4，OE段长为2.5，
∴2.5OF=24，
∴OF=5．
故答案为：5．
【变式5-2】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图是用杠杆撬石头的示意图，点C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起5cm，已知AB:BC=10:1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压 cm．
【答案】45
【分析】如图：AM、BN都与水平线的垂直，M，N是垂足，则AM∥BN，即△ACM∽△BCN，然后根据相似三角形的对应边成比例求解即可．
【详解】解：如图，AM、BN都与水平线的垂直，M，N是垂足，则AM∥BN，
∵AM∥BN，
∴△ACM∽△BCN，
∴ACBC=AMBN，
∵AB:BC=10:1，
∴ACBC=AMBN=9，即AM=9BN，
∴当BN≥5cm时，AM≥45cm，
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压45cm．
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，正确作出辅助线、构造相似三角形是解题的关键．
【变式5-3】（23-24九年级·浙江温州·期中）如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，GP是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板BC上的一点，AD=AC=3米，CD=3.6米．
（1）投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时AG和AC垂直，则BD= 米
（2）投石车投石过程中，AP的延长线交线段DC于点E，若DE：CE=5：1，则点G距地面为 米．
【答案】 1.4 12+855
【分析】（1）直接利用等腰三角形的“三线合一”的性质和相似三角形的判定和性质进行求解即可；
（2）先求出CE的长，再利用勾股定理和锐角三角函数进行求解即可．
【详解】（1）如图，连接AB，过A点作AF⊥BC于F，
∵AD=AC=3米，CD=3.6米，
∴CF=DF=1.8米，
∴AF=AC2-CF2=2.4，
∵∠B+∠ACB=90°，∠CAF+∠ACB=90°，
∴∠B=∠CAF，
∵∠AFB=∠AFC=90°，
∴△AFB∽△CFA，
∴AFCF=BFAF，
∴BF=2.42÷1.8=3.2，
∴BD=BF-DF=1.4（米），
故答案为：1.4．
（2）由（1）可知：AB=AF2+BF2=4
过点G作GN⊥BC交BC于点N，
∵DE:CE=5:1，
∴3.6-CE:CE=5:1，
∴CE=0.6，
∴EF=FC-CE=1.8-0.6=1.2，
∴在Rt△AEF中，AE=AF2+EF2=655，
sin∠AEF=AFAE=255，
∴EG=4+655，
∴GN=ME·sin∠AEF=4+655×255=12+855，
故点G距离底面的高度为12+855米，
故答案为：12+855．
【点睛】本题解直角三角形的应用综合题，考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理和锐角三角函数，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形和相似三角形．
【题型6 实验问题】
【例6】（23-24九年级·浙江·专题练习）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE=3.5m，点F到地面的高度CF=1.5m，灯泡到木板的水平距离AC=5.4m，墙到木板的水平距离为CD=4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
(1)求BC的长．
(2)求灯泡到地面的高度．
【答案】(1)3m；
(2)1.2m．
【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出BC的长；
（2）根据相似三角形的性质列方程进而求出AG的长．
【详解】（1）解：由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽△BED，
故BCBD=FCDE，
即BCBC+4=1.53.5，
解得：BC=3，
经检验，BC=3是上述分式方程的解，
∴BC的长为3m；
（2）∵AC=5.4m，
∴AB=5.4-3=2.4（m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC=∠GBA，
又∵∠FCB=∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴AGAB=FCBC，
∴AG2.4=1.53，
解得：AG=1.2（m），
∴灯泡到地面的高度AG为1.2m．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
【变式6-1】（23-24·广东汕头·三模）约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是 cm．
【答案】4
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，设蜡烛火焰的高度是xcm，由相似三角形的性质得1015=x6 ，进行计算即可得，理解题意，将实际问题转化为数学问题，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形的性质得，1015=x6，
15x=60，
解得x=4，
故答案为：4．
【变式6-2】（23-24九年级·云南文山·期中）如图，佳佳同学正在使用手电筒进行物理光学实验，水平地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE=3.5m，点F到地面的高度CF=1.5m，灯泡到木板的水平距离AC=5.4m，木板到平面镜的水平距离BC=3m，已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，求灯泡到地面的高度AG．
【答案】灯泡到地面的高度AG为1.2m．
【分析】本题考查相似三角形的应用，证明△BGA∽△BFC，得到AGAB=FCBC，进行求解即可．解题的关键是证明△BGA∽△BFC．
【详解】解：由题意和图可知：∠FBC=∠GBA,∠FCB=∠GAB=90°，
∴△BGA∽△BFC，
∴AGAB=FCBC，
∵AC=5.4m，BC=3m，
∴AB=AC-BC=2.4m，
∴AG2.4=1.53，
解得：AG=1.2m，
答：灯泡到地面的高度AG为1.2m．
【变式6-3】（23-24九年级·山西太原·期末）小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答：
(1)如图1，白天在阳光下，小彬将木杆AB水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段A'B'．
①若木杆AB的长为2m，则其影子A'B'的长为___________m；
②在同一时刻同一地点，将另一根木杆CD直立于地面，请画出表示此时木杆CD在地面上影子的线段DM：
(2)如图2，夜晚在路灯下，小桃将木杆EF水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段E'F'．
①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P；
②若木杆EF的长为2m，经测量木杆EF距离地面2m，其影子E'F'的长为3m，则路灯P距离地面的高度为___________m．
【答案】(1)①2；②见解析；
(2)①见解析；②6
【分析】（1）①根据题意证得四边形AA'B'B为平行四边形，从而求得结论；
②根据平行投影的特点作图：过木杆的顶点作太阳光线的平行线；
（2）①分别过影子的端点及其线段的相应的端点作射线，两条射线的交点即为光源的位置；
②根据EF ∥ E'F'，可证得△PEF∽△PE'F'，利用相似三角形对应高的比等于相似比即可求得结论.
【详解】（1）①根据题意：AA' ∥ BB'，AB ∥ A'B'，
∴四边形AA'B'B为平行四边形，
∴A'B'=AB=2m；
②如图所示，线段DM即为所求；
（2）①如图所示，点P即为所求；
②过点P作PH⊥E'F'分别交EF、E'F'于点G、H
∵EF ∥ E'F'
∴△PEF∽△PE'F'
∴EF:E'F'=PG:PH
∵EF=2，E'F'=3，GH=2
∴2:3=PG:2+PG
解得：PG=4，
∴PH=6
∴路灯P距离地面的高度为6米.
【点睛】本题考查平行投影问题以及相似三角形的判定和性质，平行光线得到的影子是平行光线经过物体的顶端得到的影子，利用相似三角形对应高的比等于相似比是解决本题的关键．
【题型7 古文问题】
【例7】（23-24九年级·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形ABCD的边AD，AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME=100步，NF=225步，那么该正方形城邑边长AD约为（ ）步．
A．300B．250C．225D．150
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形解实际应用题，读懂题意，熟练应用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．由题意可知△AME∽△FNA，根据相似三角形性质得到FNAN=AMEM，设AD=2a，由M、N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点可知AM=AN=a，则225a=a100，解得a=150，从而得到正方形城邑边长AD=2a=300步．
【详解】解：∵ ME⊥AD，NF⊥AB，
∴∠FNA=∠AME=90°，
∵正方形ABCD中，∠MAN=90°，EF过点A，
∴FN∥AM，则∠F=∠EAM，
∴ △AME∽△FNA，
∴ FNAN=AMEM，
∵ M、N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，设AD=2a，
∴ AM=AN=a，
∵ ME=100步，NF=225步，
∴ 225a=a100，即a2=100×225，解得a=150负舍去值，
∴正方形城邑边长AD=2a=300步，
故选：A．
【变式7-1】（23-24九年级·湖南邵阳·学业考试）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题： “今有井径5尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末 望水岸，入径四寸．问井深几何？”意思是：如图， 井径BE=5尺，立木高AB=5尺，BD=4寸=0.4尺，则井深x为 尺．

【答案】57.5
【分析】根据题意可知△ABD∽△AFC，根据相似三角形的性质可求AC，进一步求解即可得到井深．
【详解】解：依题意可得△ABD∽△AFC，
∴AB：AC=BD：FC，
即5：AC=0.4：5，
解得AC=62.5，
x=BC=AC-AB=62.5-5=57.5尺．
故答案为：57.5．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是得到△ABD∽△AFC，利用相似比进行分析．
【变式7-2】（23-24·广西南宁·二模）《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步．正方形小城ABCD的边长是（ ）
A．150步B．200步C．250步D．300步
【答案】D
【分析】根据题意可知Rt△DFE∼Rt△HDG，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求解；
【详解】∵点E，G分别为CD，AD的中点，
∴DG=12AD，DE=12CD，
∴DG=DE，
又题意可得∠FDE=∠H，∠FED=∠DGH=90°，
∴Rt△DFE∼Rt△HDG，
∴EFDG=DEHG，
而EF＝30步，GH＝750步，
即DE×DG=EF×HG，
∴DE2=30×750=22500，
解得：DE=150，
∴CD=2DE=300步；
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，准确计算是解题的关键．
【变式7-3】（23-24·河南安阳·一模）“度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望．触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所不入．”就是说，使用多次测量传递的方法，就可以测量出各点之间的距离和高度差．——刘徽《九章算术注·序》．某市科研考察队为了求出某海岛上的山峰AB的高度，如图，在同一海平面的D处和F处分别树立标杆CD和EF，标杆的高都是5.5米，DF两处相隔80米，从标杆CD向后退11米的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆EF向后退13米的H处，可以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰AB的高度及它和标杆CD的水平距离．
注：图中各点都在一个平面内．

【答案】山峰的高度AB为225.5米，它和标杆CD的水平距离BD是440米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
根据题意可得：AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，从而可得∠ABH=∠CDH=∠EFH=90°，然后证明A字模型相似△CDG∽△ABG，△EHF∽△AHB，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，
∴∠ABH=∠CDH=∠EFH=90°，
∵∠CGD=∠AGB，
∴△CDG∽△ABG，
∴ CDAB=DGBG，
∴ 5.5AB=1111+BD，
∵∠H=∠H，
∴△EHF∽△AHB，
∴ EFAB=FHBH，
∴ 5.5AB=1313+80+BD，
∴ 1111+BD=1313+80+BD，
解得：BD=440，
∴ 5.5AB=1111+440，
解得：AB=225.5，
∴山峰的高度AB为225.5米，它和标杆CD的水平距离BD是440米．
【题型8 裁剪问题】
【例8】（23-24九年级·浙江温州·期末）有一等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，裁剪方式及相关数据如图所示，则得到的甲、乙、丙、丁四张纸片中，面积最大的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【分析】根据相似三角形的性质求得甲的面积和丙的面积，进一步求得乙和丁的面积，比较即可求得．
【详解】解：如图：
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴BD＝CD＝5+2＝7，
∵AD＝2+1＝3，
∴S△ABD＝S△ACD＝12×7×3＝212
∵EF∥AD，
∴△EBF∽△ABD，
∴S甲S△ABD＝（57）2＝2549，
∴S甲＝7514，
∴S乙＝212-7514=367，
同理S丙SΔACD＝（23）2＝49，
∴S丙＝143，
∴S丁＝212﹣143＝356，
∵356>7514>367>143，
∴面积最大的是丁，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题.
【变式8-1】（23-24·浙江湖州·一模）三八妇女节，同学们准备送小礼物给妈妈，首先利用正方形纸板，制作一个正方体礼品盒（如图所示裁剪）．已知正方形纸板边长为52分米，则这个礼品盒的体积 分米3．
【答案】8
【分析】设EF=x，判断出△AEF和△DEG为等腰直角三角形，证明△AEF∽△DEG，得到AEDE=EFEG，可求出AE，即可得到正方体礼品盒的棱长，从而计算体积．
【详解】解：如图，在正方形ABCD中，AD=52，
设EF=x，
由此裁剪可得：△AEF和△DEG为等腰直角三角形，
∴△AEF∽△DEG，
∴AEDE=EFEG，即AE52-AE=x4x，
解得：AE=2，
∴EF=2AE=2，
∴正方体礼品盒的棱长为2，
∴体积为2×2×2=8立方分米，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形．
【变式8-2】（23-24九年级·浙江金华·期末）在综合实践课中，小慧将一张长方形卡纸如图1所示裁剪开，无缝隙不重叠的拼成如图2所示的“L”形状，且成轴对称图形.裁剪过程中卡纸的消耗忽略不计，若已知AB=9，BC=16，FG⊥AD.
求（1）线段AF与EC的差值是___
（2）FG的长度.
【答案】 9 6
【分析】如图1，延长FG交BC于H，设CE＝x，则E'H'＝CE＝x，根据轴对称的性质得：D'E'＝DC＝E'F'＝9，表示GH，EH，BE的长，证明△EGH∽△EAB，则GHAB=EHBE，可得x的值，
即可求出线段AF、EC及FG的长，故可求解.
【详解】(1)如图1，延长FG交BC于H，
设CE＝x，则E'H'＝CE＝x，
由轴对称的性质得：D'E'＝DC＝E'F'＝9，
∴H'F'＝AF＝9＋x，
∵AD＝BC＝16，
∴DF＝16−（9＋x）＝7−x，
即C'D'＝DF＝7−x＝F'G'，
∴FG＝7−x，
∴GH＝9−（7−x）＝2＋x，EH＝16−x−（9＋x）＝7−2x，
∴EH∥AB，
∴△EGH∽△EAB，
∴GHAB=EHBE，
∴2+x9=7-2x16-x，
解得x＝1或31（舍），AF、EC及FG
∴AF=9+x=10，EC=1，故AF-EC=9
故答案为：9;
(2)由（1）得FG＝7−x =7-1=6.
【点睛】本题考查了图形的拼剪，轴对称的性质，矩形、直角三角形、相似三角形等相关知识，积累了将实际问题转化为数学问题经验，渗透了数形结合的思想，体现了数学思想方法在现实问题中的应用价值．
【变式8-3】（23-24九年级·四川遂宁·期中）一个小风筝与一个大风等形状完全相同，它们的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知它们的对应边之比为1：3，小风筝两条对角线的长分别为12cm和14cm．
（1）小风筝的面积是多少？
（2）如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需用多长的材料？（不记损耗）
（3）大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？
【答案】(1)84（cm）2;(2) 78cm;(3) 756（cm）2
【分析】（1）根据三角形的面积公式列式计算即可；
（2）根据相似三角形的性质得到A′C′=3AC=42cm，同理B′D′=3BD=36cm，于是得到结论；
（3）根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：（1）∵AC⊥BD，
∴小风筝的面积S＝12AC•BD＝12×12×14＝84（cm）2；
（2）∵小风筝与大风筝形状完全相同，
∴假设大风筝的四个顶点为A′，B′，C′，D′，
∴△ABCD∽△A′B′C′D′，
∵它们的对应边之比为1：3，
∴A′C′＝3AC＝42cm，
同理B′D′＝3BD＝36cm，
∴至少需用42+36＝78cm的材料；
（3）从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积＝矩形的面积﹣大风筝的面积＝42×36﹣9×84＝756（cm2）．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【题型9 现实生活相关问题】
【例9】（23-24·浙江宁波·模拟预测）如图是一个常见的铁夹的剖面图，OA，OB表示铁夹的剖面的两条边，点C是转动轴的位置，CD⊥OA，垂足为D，DA=15mm，DO=24mm，DC=10mm，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则A，B两点间的距离为（ ）
A．30mmB．32.5mmC．60mmD．65mm
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，连接AB，延长OC交AB于H，由勾股定理得出OC=26mm，根据轴对称的性质得出CH⊥AB，AH=BH，证明△OCD∽△OAH，由相似三角形的性质计算即可得出答案．
【详解】解：如图，连接AB，延长OC交AB于H，
，
在Rt△OCD中，OC=CD2+OD2=26mm，
∵铁夹的剖面图是轴对称图形，
∴CH⊥AB，AH=BH，
∴∠AHC=∠CDO=90°
∵∠DOC=∠HOA，
∴△OCD∽△OAH，
∴CDAH=OCOA，即10AH=2615+24，
解得：AH=15mm，
∴AB=2AH=30mm，
故选：A．
【变式9-1】（23-24·浙江宁波·模拟预测）如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高AB=1.2m．当BC=2.5m时，点B到地面的距离BE=1.5m，则点A到地面的距离AD为（ ）
A．2.6mB．2.5mC．2.46mD．2.22m
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．利用相似三角形的判定与性质进而求出DF、AF的长即可得出的长．
【详解】解：由题意可得：AD∥EB，则∠CFD=∠AFB=∠CBE，
∴△CDF∽△CEB，
∵∠ABF=∠CEB=90°，∠AFB=∠CBE，
∴△CBE∽△AFB，
∴BEFB=BCAF=ECAB，
∵BC=2.5m，BE=1.5m，
∴EC=2.52-1.52=2m，
即1.5FB=2.5AF=21.2，解得：FB=0.9，AF=1.5，
∵△CDF∽△CEB，
∴DFBE=CFCB，即DF1.5=2.5-0.92.5，解得：DF=0.96，
∴AD=AF+DF=1.5+0.96=2.46m．
故选C．
【变式9-2】（23-24·吉林长春·二模）如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，拉杆EF∥BC，AE=13BE，EF=0.4米，则两梯杆跨度B、C之间距离为 米．
【答案】1.6
【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键．
证明△AEF∽△ABC，则EFBC=AEAB，即0.4BC=AEAE+3AE，计算求解即可．
【详解】解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴EFBC=AEAB，即0.4BC=AEAE+3AE，
解得，BC=1.6，
故答案为：1.6．
【变式9-3】（23-24·辽宁沈阳·三模）如图是一个矩形足球球场，AB为球门，CD⊥AB于点D，AB=a米．某球员沿CD带球向球门AB进攻，在Q处准备射门，已知BD=3a米，QD=3a米，对方门将伸开双臂后，可成功防守的范围大约为0.25a米；此时门将站在张角∠AQB内，双臂伸开MN且垂直于AQ进行防守，MN中点与AB距离 米时，刚好能成功防守．
【答案】3720a/37a20
【分析】过点B作BE⊥AQ，证明△AEB∽△ADQ，作MK∥AD，HG∥AD，GF⊥AD，依次证明△ABQ∽△MKQ，△HNG∽△MNK，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：过点B作BE⊥AQ，
∵BE⊥AQ，CD⊥AB，
∴∠AEB=∠ADQ=90°，
又∵ ∠EAB=∠DAQ，
∴△AEB∽△ADQ，
∴ABAQ=BEDQ，
∵AD=AB+BD=a+3a=4a，DQ=3a，
∴AQ=AD2+DQ2=5a，BQ=BD2+DQ2=32a，
∴a5a=BE3a，
∴BE=3a5，
∴EQ=BQ2-BE2=32a2-3a52=21a5，
如图，作MK∥AD，HG∥AD，GF⊥AD，
∵BE⊥AQ，MN⊥AQ，
∴BE∥MN，
∴△BEQ∽△NMQ，
∵MN=0.25a=a4，
∴BEMN=EQMQ=BQNQ=3a5a4=125，
∴MQ=EQ125=21a5125=7a4，NQ=BQ125=32a125=52a4，
∵MK∥AD，
∴△ABQ∽△MKQ，
∴AQMQ=BQKQ=5a7a4=32aKQ，
∴KQ=212a20，
∴NK=NQ-KQ=52a4-212a20=2a5，
∵MK∥AD，HG∥AD，
∴MK∥GH，
∴△HNG∽△MNK，
∴HNMN=NGNK，
∵HN=12MN，
∴NG=12NK=12×2a5=2a10，
∵BN=BQ-NQ=32a-52a4=72a4，
∴BG=BN+NG=72a4+2a10=372a20，
∵ BD=3a，QD=3a，CD⊥AB，
∴ ∠QBD=∠BQD=45°，
∵GF⊥AD，
∴FG=BG⋅sin∠GBF=372a20⋅sin45°=372a20×22=3720a，
故答案为：3720a.
【点睛】本题主要考查锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，通过添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．
【题型10 三角形内接矩形问题】
【例10】（23-24春·河北石家庄·九年级石家庄二十三中校考阶段练习）有一块锐角三角形余料△ABC，边BC为15cm，BC边上的高为12cm，现要把它分割成若干个邻边长分别为5cm和2cm的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为5cm的边在BC上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有 ．
【答案】6
【分析】利用△ABC∽△AEF求得AG=4，然后求得DG=AD-AG=8，这样就可以计算得小长方形一共有4层，然后再次利用相似比，可求得每层可分割几个小长方形，最后确定小长方形的总数即可.
【详解】如图：当最上层的小长方形的一边与AB、AC交于点E、F时，EF∥BC
∴△ABC∽△AEF
∴EFBC=AGAD，且EF=5，BC=15，AD=12
∴AG=4
∴DG=AD-AG=8
∵小长方形的宽为2cm
∴能分割四层小长方形
设最底层的上一层的靠近点A的边为x
根据三角形相似可得：x15=812
解得x=10，正好能分割两个小长方形
再上一层靠近点A的边就会小于10cm，因此只能分割一个小长方形，且最上层分割了一个小长方形
∴按如图方式分割成的小长方形零件最多有2+2+1+1=6个
故答案为6
【点睛】本题主要考查了三角形的相似在实际生活中的应用，能够灵活应用相似比求解对应的边是解决问题的关键
【变式10-1】（23-24九年级·广西桂林·期中）如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC=18cm，高AD=12cm，现在要把它加工成长与宽的比为3:2的矩形零件EFCH，要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则矩形EFGH的周长为 cm．
【答案】30
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，直接利用相似三角形的判定与性质得出EHBC=AMAD，进而得出EH，EF的长，即可得出答案．
【详解】∵矩形EFGH中，EH∥FG，EH=GF，
∴EH∥BC，
∵AD⊥BC，
∴AM⊥EH，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴ EHBC=AMAD，
∵矩形零件EFCH的长与宽的比为3:2，
设EH=GF=3x cm，EF=GH=2x，则MD=EF=2xcm，AM=12-2xcm，
∴ 3x18=12-2x12，
解得：x=3，
∴EH=3x=9，EF=2x=6，
∴矩形EFGH的周长为：2×9+6=30 cm．
故答案为：30．
【变式10-2】（23-24九年级·河南周口·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时(如图1)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.5m，车宽AF=1.8m，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3DF=2AF，求汽车盲区EB的长度．
【答案】9m
【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，过点P作PN⊥EB于点N，交AF于点M，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解．
【详解】解：如图，过点P作PN⊥EB于点N，交AF于点M．
∵3DF=2AF，AF=1.8m，
∴DF=1.2(m)，
∵四边形ACDF是矩形，
∴∠FDC=90°，AF∥CD，
∴DF⊥DC，
∵MN⊥DC，
∴DF=MN=1.2(m)，
∵PN=1.5m，
∴PM=PN-MN=1.5-1.2=0.3(m)，
∵ AF∥EB，
∴△PAF∽△PBE，
∴AFEB=PMPN，
∴1.8EB=0.31.5，
∴EB=9(m)．
【变式10-3】（23-24·江苏盐城·二模）（1）【问题探究】如图①，点B，C分别在AM，AN上，AM=12米，AN=20米，AB=2米，BC=2.6米，AC=1.2米．
①探究△ABC与△AMN是否相似并说明理由；
②求MN的长．
（2）【问题解决】如图②，四边形ACBD规划为园林绿化区，对角线AB将整个四边形分成面积相等的两部分，已知AB=60米，四边形ACBD的面积为2400平方米，为了更好地美化环境，政府计划在BC，AC边上分别确定点E，F，在AB边上确定点P，Q，使四边形EFPQ为矩形，在矩形EFPQ内种植花卉，在四边形ACBD剩余区域种植草坪，为了方便市民观赏，计划在FQ之间修一条小路，并使得FQ最短，根据设计要求，求出FQ的最小值，并求出当FQ最小时，花卉种植区域的面积．

【答案】（1）①△ABC∽△ANM，理由见解析；②26米；（2）1201313，86400169平方米．
【分析】（1）①通过两边对应成比例且夹角相等，证明出△ABC∽△ANM；②利用相似三角形的性质即可求出MN的长；
（2）作CH⊥AB交EF于点G，通过三角形ABC的面积求出CH的长，然后通过EF∥PQ得到△CEF∽△CBA，用含有n的式子将需要的量表示出来，放在Rt△EFQ中，通过勾股定理得到一个二次函数解析式，利用二次函数图像和性质求出最值即可．
【详解】解：（1）①△ABC∽△ANM，理由如下：
∵AM=12米，AN=20米，AB=2米，AC=1.2米，
∴ABAN=ACAM=110，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ANM，
②∵△ABC∽△ANM，
∴BCMN=ACAM=110，
∴MN=10BC=26米．
（2）如图所示，作CH⊥AB交EF于点G，
∵S△ABC=12S四边形ABCD=12×2400=1200平方米，
∴12AB⋅CH=1200平方米，
∴CH=40米，
∵四边形EFPQ为矩形，

∴EF∥PQ，
∴△CEF∽△CBA，
∴CGCH=EFAB，
设CGCH=EFAB=n，则40-GH40=EF60=n，即EF=60n，EQ=GH=40-40n，
在Rt△EFQ中，由勾股定理得FQ2=EF2+EQ2，
∴FQ2=60n2+40-40n2=5200n2-3200n+1600，
∵5200>0，
∴当n=-b2a=--32005200×2=413时，FQ2最小，最小为1440013，即FQ最小为1201313，
此时EF=60n=24013，EQ=40-40n=36013，
∴S矩形EFPQ=EQ⋅EF=24013×36013=86400169，
∴FQ最小值为1201313，此时花卉种植区域的面积为86400169平方米．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的图像和性质等知识点，解题的关键在于能够合理的添加辅助线，构造相似三角形，要求能够熟练运用相似三角形的性质以及二次函数性质.