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初中数学华东师大版（2024）八年级上册1 平方根优秀学案设计
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这是一份初中数学华东师大版（2024）八年级上册1 平方根优秀学案设计，文件包含专题111平方根十大题型举一反三华东师大版原卷版docx、专题111平方根十大题型举一反三华东师大版解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共26页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22153" 【题型1 平方根概念理解】 PAGEREF _Tc22153 \h 1
\l "_Tc12935" 【题型2 求一个数的（算术）平方根】 PAGEREF _Tc12935 \h 2
\l "_Tc25792" 【题型3 求代数式的（算术）平方根】 PAGEREF _Tc25792 \h 2
\l "_Tc9961" 【题型4 由（算术）平方根求式子的值】 PAGEREF _Tc9961 \h 3
\l "_Tc5027" 【题型5 由平方根的概念解方程】 PAGEREF _Tc5027 \h 3
\l "_Tc15046" 【题型6 由算术平方根的非负性求值】 PAGEREF _Tc15046 \h 3
\l "_Tc10395" 【题型7 估算算术平方根的取值范围】 PAGEREF _Tc10395 \h 3
\l "_Tc29653" 【题型8 求算术平方根的整数部分和小数部分】 PAGEREF _Tc29653 \h 4
\l "_Tc22699" 【题型9 平方根与数轴的综合】 PAGEREF _Tc22699 \h 4
\l "_Tc2190" 【题型10 算术平方根的规律探究】 PAGEREF _Tc2190 \h 5
知识点：平方根
平方根：
①定义：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根.
②表示方法：正数a的正的平方根记作a，负的平方根记作-a，正数a的两个平方根记作±a，读作正、
负根号a，其中a叫做被开方数.
③性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
算术平方根：
(1)定义：正数a有两个平方根±a，我们把正数a的正的平方根a，叫做a的算术平方根．
(2)性质：①正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；
②负数没有算术平方根.当a≥0时，a2=a；
③算术平方根具有双重非负性：a≥0；a≥0.
【题型1 平方根概念理解】
【例1】（23-24八年级·四川泸州·期末）若实数3m-6有平方根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2B．m<2C．m>2D．m≥2
【变式1-1】（23-24八年级·河南信阳·期末）若a2=6，则下列说法正确的是（ ）
A．a是6的算术平方根B．a是6的平方根
C．6是a的平方根D．a=6
【变式1-2】（23-24八年级·湖北武汉·期中）写一个平方根是它本身的数 ．
【变式1-3】（23-24八年级·全国·课后作业）下列各数中，不一定有平方根的是( )
A．x2＋1B．|x|＋2C．a+1D．|a|－1
【题型2 求一个数的（算术）平方根】
【例2】（23-24八年级·上海杨浦·期末）下列计算正确的是（ ）
A．-(-6)2=-6B．(-6)2=36
C．16=±4 D．414=212
【变式2-1】（23-24八年级·上海嘉定·期末）36-5的平方根是 ．
【变式2-2】（23-24八年级·全国·假期作业）按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为3，则输出的值为 ．
输入→减去5→平方→加上3→开平方→输出
【变式2-3】（23-24八年级·山东菏泽·期中）一个数的算术平方根是4，则比这个数多9的数的平方根是 ．
【题型3 求代数式的（算术）平方根】
【例3】（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的算术平方根是4，则a+2b= .
【变式3-1】（23-24春·湖北武汉·八年级校联考期中）关于x的多项式7x3-11mx2-15x+9与多项式22x2-5nx-7相加后不含x的二次和一次项，则-(mn+n)平方根为（ ）
A．3B．-3C．±3D．±3
【变式3-2】（23-24八年级·湖北荆门·期中）如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（ ）
A．±（m+1）B．（m2+1）C．±m+1D．±m2+1
【变式3-3】（23-24八年级·山东德州·阶段练习）已知正数a的两个不同的平方根分别是3x-2和5x+10, a+b-4的算术平方根是3.
(1)求a、b的值；
(2)求a-2b的平方根．
【题型4 由（算术）平方根求式子的值】
【例4】（23-24八年级·全国·专题练习）已知一个数的算术平方根为3m-4，它的平方根为±(m-1)，则这个数是 ．
【变式4-1】（23-24八年级·云南保山·期中）已知x=25，y是4的算术平方根，则3x-2y的值为 ．
【变式4-2】（23-24八年级·河南新乡·期中）已知1-3b与 2a+1互为相反数，求-3b+2a+6的平方根．
【变式4-3】（23-24八年级·湖南永州·期末）若xm=y，则记x,y=m，例如32=9，于是3,9=2．若-2,a=2，b,8=3，c,a=b，则c的值为（ ）
A．16B．-2C．2或-2D．16或-16
【题型5 由平方根的概念解方程】
【例5】（23-24八年级·上海徐汇·期中）解方程：12x=-x2-36．
【变式5-1】（23-24八年级·广西钦州·阶段练习）解方程：
(1)4x2=16；
(2)9x2-121=0．
【变式5-2】（23-24八年级·贵州黔南·期中）【变式1】 解方程：
(1)25x2-49=0；
(2)2x+12-49=1．
【变式5-3】（23-24八年级·上海徐汇·期中）解方程：92x+12-16x-22=0．
【题型6 由算术平方根的非负性求值】
【例6】（23-24八年级·江西南昌·阶段练习）已知y=x-3+3-x+1，则x+y的平方根是 ．
【变式6-1】（23-24八年级·湖南长沙·期中）若x,y为实数，且x-3+y+4=0，则x+y2024的值为（ ）
A．1B．2024C．-1D．-2024
【变式6-2】（23-24八年级·江西新余·期中）（1）已知2x-4y-5+2x-3=0，求x+y的平方根．
（2）已知a、b满足2a+8+b-3=0，解关于x的方程a+2x2-b2=a-1．
【变式6-3】（23-24八年级·浙江杭州·期中）若a-2023+b+2023-1=0，其中a，b均为整数，则a+b= ．
【题型7 估算算术平方根的取值范围】
【例7】（23-24八年级·新疆和田·期中）已知a， b为两个连续的整数，且12的负平方根介于a，b之间，则a+b=
【变式7-1】（23-24八年级·福建莆田·期末）面积为10的正方形的边长为a，则a的值在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【变式7-2】（23-24八年级·北京朝阳·期末）将边长分别1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数（ ）
A．4
B．3
C．1
D．0
【变式7-3】（23-24八年级·广东汕头·单元测试）满足-2【题型8 求算术平方根的整数部分和小数部分】
【例8】（23-24八年级·山东威海·期末）已知17－2的整数部分为a，17+2的整数部分为b，那么b－a的平方根是 ．
【变式8-1】（23-24八年级·安徽黄山·期中）已知a是13的整数部分，b=3，则ab+54的平方根是 ．
【变式8-2】（23-24八年级·广西河池·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题．
例如：∵4<7<9，即2<7<3，∴7的整数部分为2，小数部分为7-2，请解答：
(1)15的整数部分是 ，小数部分是 ；
(2)已知：8-15小数部分是m，8+15小数部分是n，且x-12=m+n，请求出满足条件的x的值．
【变式8-3】（23-24八年级·浙江·阶段练习）6-11的小数部分为a，7+11的小数部分为b，则a+b2018= .
【题型9 平方根与数轴的综合】
【例9】（23-24八年级·全国·假期作业）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简|a+b|-b2-(a-b)2= ．
【变式9-1】（23-24八年级·陕西咸阳·期中）已知a是5的算术平方根，则实数a在如图所示的数轴上的对应点可能为点 ．（填“A”或“B”或“C”或“D”）
【变式9-2】（23-24八年级·北京·期中）图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（ ）
A．7B．2+72C．1+7D．7+2
【变式9-3】（23-24八年级·江西南昌·期中）图1是由16个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线AB，BC，CD，DA裁剪，剪成一个小正方形ABCD．
(1)在图1中，剪成的小正方形ABCD的面积为________，边AB的长为________；
(2)现将图1水平放置在如图2所示的数轴上，使得小正方形的顶点D与数轴上表示1的点重合，若以点D为圆心，DA边的长为半径画圆，与数轴交于点E，求点E表示的数．
【题型10 算术平方根的规律探究】
【例10】（23-24八年级·四川德阳·阶段练习）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
根据以上规律，若14.4≈3.79,1.44=1.2，则1440=（ ）
A．37.9B．379C．12D．120
【变式10-1】（23-24八年级·安徽蚌埠·阶段练习）有一列数按如下规律排列：-22，34，-14，516，-632，764，…则第10个数是 ，第n个数是 ．
【变式10-2】（23-24八年级·广东惠州·阶段练习）观察下列各式：①2+23=223，②3+38=338，③4+415=4415，……，根据以上规律，写出第10个等式： ．
【变式10-3】（23-24八年级·安徽安庆·期末）观察下列各式：
1+112+122=1+11×2…①
1+122+132=1+12×3…②
1+132+142=1+13×4…③
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
(1)发现规律1+142+152= ；
(2)计算1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+120232+120242．⋅⋅⋅
0.0625
0.625
6.25
62.5
625
6250
62500
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
0.25
0.7906
2.5
7.906
25
79.06
250
⋅⋅⋅
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22153" 【题型1 平方根概念理解】 PAGEREF _Tc22153 \h 1
\l "_Tc12935" 【题型2 求一个数的（算术）平方根】 PAGEREF _Tc12935 \h 2
\l "_Tc25792" 【题型3 求代数式的（算术）平方根】 PAGEREF _Tc25792 \h 2
\l "_Tc9961" 【题型4 由（算术）平方根求式子的值】 PAGEREF _Tc9961 \h 3
\l "_Tc5027" 【题型5 由平方根的概念解方程】 PAGEREF _Tc5027 \h 3
\l "_Tc15046" 【题型6 由算术平方根的非负性求值】 PAGEREF _Tc15046 \h 3
\l "_Tc10395" 【题型7 估算算术平方根的取值范围】 PAGEREF _Tc10395 \h 3
\l "_Tc29653" 【题型8 求算术平方根的整数部分和小数部分】 PAGEREF _Tc29653 \h 4
\l "_Tc22699" 【题型9 平方根与数轴的综合】 PAGEREF _Tc22699 \h 4
\l "_Tc2190" 【题型10 算术平方根的规律探究】 PAGEREF _Tc2190 \h 5
知识点：平方根
平方根：
①定义：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根.
②表示方法：正数a的正的平方根记作a，负的平方根记作-a，正数a的两个平方根记作±a，读作正、
负根号a，其中a叫做被开方数.
③性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
算术平方根：
(1)定义：正数a有两个平方根±a，我们把正数a的正的平方根a，叫做a的算术平方根．
(2)性质：①正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；
②负数没有算术平方根.当a≥0时，a2=a；
③算术平方根具有双重非负性：a≥0；a≥0.
【题型1 平方根概念理解】
【例1】（23-24八年级·四川泸州·期末）若实数3m-6有平方根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2B．m<2C．m>2D．m≥2
【变式1-1】（23-24八年级·河南信阳·期末）若a2=6，则下列说法正确的是（ ）
A．a是6的算术平方根B．a是6的平方根
C．6是a的平方根D．a=6
【变式1-2】（23-24八年级·湖北武汉·期中）写一个平方根是它本身的数 ．
【变式1-3】（23-24八年级·全国·课后作业）下列各数中，不一定有平方根的是( )
A．x2＋1B．|x|＋2C．a+1D．|a|－1
【题型2 求一个数的（算术）平方根】
【例2】（23-24八年级·上海杨浦·期末）下列计算正确的是（ ）
A．-(-6)2=-6B．(-6)2=36
C．16=±4 D．414=212
【变式2-1】（23-24八年级·上海嘉定·期末）36-5的平方根是 ．
【变式2-2】（23-24八年级·全国·假期作业）按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为3，则输出的值为 ．
输入→减去5→平方→加上3→开平方→输出
【变式2-3】（23-24八年级·山东菏泽·期中）一个数的算术平方根是4，则比这个数多9的数的平方根是 ．
【题型3 求代数式的（算术）平方根】
【例3】（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的算术平方根是4，则a+2b= .
【变式3-1】（23-24春·湖北武汉·八年级校联考期中）关于x的多项式7x3-11mx2-15x+9与多项式22x2-5nx-7相加后不含x的二次和一次项，则-(mn+n)平方根为（ ）
A．3B．-3C．±3D．±3
【变式3-2】（23-24八年级·湖北荆门·期中）如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（ ）
A．±（m+1）B．（m2+1）C．±m+1D．±m2+1
【变式3-3】（23-24八年级·山东德州·阶段练习）已知正数a的两个不同的平方根分别是3x-2和5x+10, a+b-4的算术平方根是3.
(1)求a、b的值；
(2)求a-2b的平方根．
【题型4 由（算术）平方根求式子的值】
【例4】（23-24八年级·全国·专题练习）已知一个数的算术平方根为3m-4，它的平方根为±(m-1)，则这个数是 ．
【变式4-1】（23-24八年级·云南保山·期中）已知x=25，y是4的算术平方根，则3x-2y的值为 ．
【变式4-2】（23-24八年级·河南新乡·期中）已知1-3b与 2a+1互为相反数，求-3b+2a+6的平方根．
【变式4-3】（23-24八年级·湖南永州·期末）若xm=y，则记x,y=m，例如32=9，于是3,9=2．若-2,a=2，b,8=3，c,a=b，则c的值为（ ）
A．16B．-2C．2或-2D．16或-16
【题型5 由平方根的概念解方程】
【例5】（23-24八年级·上海徐汇·期中）解方程：12x=-x2-36．
【变式5-1】（23-24八年级·广西钦州·阶段练习）解方程：
(1)4x2=16；
(2)9x2-121=0．
【变式5-2】（23-24八年级·贵州黔南·期中）【变式1】 解方程：
(1)25x2-49=0；
(2)2x+12-49=1．
【变式5-3】（23-24八年级·上海徐汇·期中）解方程：92x+12-16x-22=0．
【题型6 由算术平方根的非负性求值】
【例6】（23-24八年级·江西南昌·阶段练习）已知y=x-3+3-x+1，则x+y的平方根是 ．
【变式6-1】（23-24八年级·湖南长沙·期中）若x,y为实数，且x-3+y+4=0，则x+y2024的值为（ ）
A．1B．2024C．-1D．-2024
【变式6-2】（23-24八年级·江西新余·期中）（1）已知2x-4y-5+2x-3=0，求x+y的平方根．
（2）已知a、b满足2a+8+b-3=0，解关于x的方程a+2x2-b2=a-1．
【变式6-3】（23-24八年级·浙江杭州·期中）若a-2023+b+2023-1=0，其中a，b均为整数，则a+b= ．
【题型7 估算算术平方根的取值范围】
【例7】（23-24八年级·新疆和田·期中）已知a， b为两个连续的整数，且12的负平方根介于a，b之间，则a+b=
【变式7-1】（23-24八年级·福建莆田·期末）面积为10的正方形的边长为a，则a的值在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【变式7-2】（23-24八年级·北京朝阳·期末）将边长分别1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数（ ）
A．4
B．3
C．1
D．0
【变式7-3】（23-24八年级·广东汕头·单元测试）满足-2
【例8】（23-24八年级·山东威海·期末）已知17－2的整数部分为a，17+2的整数部分为b，那么b－a的平方根是 ．
【变式8-1】（23-24八年级·安徽黄山·期中）已知a是13的整数部分，b=3，则ab+54的平方根是 ．
【变式8-2】（23-24八年级·广西河池·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题．
例如：∵4<7<9，即2<7<3，∴7的整数部分为2，小数部分为7-2，请解答：
(1)15的整数部分是 ，小数部分是 ；
(2)已知：8-15小数部分是m，8+15小数部分是n，且x-12=m+n，请求出满足条件的x的值．
【变式8-3】（23-24八年级·浙江·阶段练习）6-11的小数部分为a，7+11的小数部分为b，则a+b2018= .
【题型9 平方根与数轴的综合】
【例9】（23-24八年级·全国·假期作业）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简|a+b|-b2-(a-b)2= ．
【变式9-1】（23-24八年级·陕西咸阳·期中）已知a是5的算术平方根，则实数a在如图所示的数轴上的对应点可能为点 ．（填“A”或“B”或“C”或“D”）
【变式9-2】（23-24八年级·北京·期中）图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（ ）
A．7B．2+72C．1+7D．7+2
【变式9-3】（23-24八年级·江西南昌·期中）图1是由16个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线AB，BC，CD，DA裁剪，剪成一个小正方形ABCD．
(1)在图1中，剪成的小正方形ABCD的面积为________，边AB的长为________；
(2)现将图1水平放置在如图2所示的数轴上，使得小正方形的顶点D与数轴上表示1的点重合，若以点D为圆心，DA边的长为半径画圆，与数轴交于点E，求点E表示的数．
【题型10 算术平方根的规律探究】
【例10】（23-24八年级·四川德阳·阶段练习）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
根据以上规律，若14.4≈3.79,1.44=1.2，则1440=（ ）
A．37.9B．379C．12D．120
【变式10-1】（23-24八年级·安徽蚌埠·阶段练习）有一列数按如下规律排列：-22，34，-14，516，-632，764，…则第10个数是 ，第n个数是 ．
【变式10-2】（23-24八年级·广东惠州·阶段练习）观察下列各式：①2+23=223，②3+38=338，③4+415=4415，……，根据以上规律，写出第10个等式： ．
【变式10-3】（23-24八年级·安徽安庆·期末）观察下列各式：
1+112+122=1+11×2…①
1+122+132=1+12×3…②
1+132+142=1+13×4…③
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
(1)发现规律1+142+152= ；
(2)计算1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+120232+120242．⋅⋅⋅
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