初中数学人教版（2024）八年级上册12.3 角的平分线的性质精练

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【知识点一】角的平分线的性质
(1)性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
(2)符号语言：
OC平分∠ADB，
又PE⊥AD，PF⊥BD，垂足为E、F，
PE=PF

【知识点二】角的平分线的判定
(1)判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
(2)符号语言：
PE⊥AD，PF⊥BD，垂足为E、F，
又PE=PF
OC平分∠ADB，

【知识点三】角的平分线的尺规作图

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用角平分线性质定理进行求值与证明
【例1】（23-24七年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
【变式1】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，平分，点P是射线上一点，交于点M，点N是射线上的一个动点，连接．若，则的长度不可能是（ ）
A．18B．C．6D．
【变式2】（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，在中，，的平分线交于点O，点O到边的距离为3，且的周长为20，则的面积为 ．
【题型2】利用角平分线判定定理进行求值与证明
【例2】如图，于于F，若，
（1）求证：平分； （2）已知，求的长．

【变式1】如图，在中，，，，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【变式2】6．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则 ．

【题型3】综合运用角平分线性质定理与判定定理进行证明与求值
【例3】如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的一个是 （请写序号），并给出证明过程．

【变式1】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【变式2】（23-24八年级上·重庆永川·期末）如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点，连接，则的大小等于 ．

【题型4】通过作图（作角平分线）进行求值或证明
【例4】（23-24八年级上·广东珠海·期中）请回答下列问题：

（1）如图1，已知，利用直尺和圆规，作的平分线交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）如图2所示，是的角平分线分别是上的点，且，求证：．
【变式1】（2024·湖南湘西·模拟预测）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（ ）

A．6B．11C．14D．28
【变式2】（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ．

第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】1．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ）

A． B．C．D．
【例2】．（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，．

（1）求证：平分
（2）如图2，连接交于点，若与的面积相等，求证：
【例2】（23-24八年级上·江西宜春·期末）课本再现：
【实验猜想】针对以上问题，同学们进行了小组实验探究，并猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【推理证明】为了证明该定理，小明同学根据书上的图形（如图12.3-3）写出了“已知”和“求证”，请你利用全等的知识完成证明过程．
（1）已知：点P是的平分线上一点，过点P作于点D，于点E．求证：．
【知识应用】（2）如图2，的平分线与的外角的平分线相交于点O，过点O作于点D，于点E，连接．
①证明：平分；
②若，则________．
思考如图12.3-3，任意作一个角，作出的平分线．在上任取一点P，过点P画出，的垂线，分别记垂足为D、E，测量、并作比较，你得到什么结论？在上再取几个点试一试．
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？