湖北省武汉市洪山区南片区教联体2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（含解析）

这是一份湖北省武汉市洪山区南片区教联体2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（含解析），共28页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

九年级数学试卷
一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．
1．下列事件是随机事件的是（ ）
A．通常温度降到0°C以下，纯净的水结冰
B．从地面发射1枚导弹，未击中空中目标
C．任意画一个三角形，其内角和是
D．明天太阳从东方升起
2．下列图案，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．解一元二次方程，配方后正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（ ）
A．21B．C．D．9
5．⊙O的直径为6，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）
A．相切B．相交C．相离D．无法确定
6．青山村种的水稻前年平均每公顷产，今年平均每公顷产．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则所列方程应为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，正六边形的边长为2，顶点A，D在x轴上，中心O与原点重合．将该正六边形绕中心O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点A的坐标是（ ）
A．B．C．D．
8．二次函数y = x2-2x-3的图象如图所示，则函数值y<0时，x的取值范围是（ ）
A．-13D．x<-1或 x>3
9．如图，的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与分别相交于D，C两点，若，则的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
10．在如图所示的图形中随机撒一把豆子，计算落在A，B，C三个区域中的豆子数，若落在这三个区域中的豆子数依次为m，n，，则估计图中a的值为（ ）
A．B．1C．D．2
二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置．
11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
12．圆锥的底面直径是，母线长．则它的全面积是 ．
13．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有1只雄鸟的概率是 ．
14．如图，直线与相切于点C，分别交于点D，E，并且，则的度数为 ．
15．抛物线，对称轴为．下列说法：
①抛物线与x轴总有两个公共点；
②对任意的实数m，不等式恒成立；
③抛物线经过点；
④若，是抛物线上的两点，且，则．
其中正确的有 ．(填序号)
16．如图，P是等边外一点，，则的长是 ．
三、解答题(共8小题，共72分)
17．若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根．
18．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到．连接，．若．
(1)直接写出的形状；
(2)若，求的度数．
19．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．
(1)直接写出两次取出的小球标号的和等于5的概率；
(2)若摸取第一个小球后不放回，请用列表或画树状图法求两次取出的小球标号的和等于5的概率．
20．如图，中，，垂足为M．
(1)求证：；
(2)若，．求的半径．
21．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过格点A，B，C．仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图．
(1)先画出圆心O，然后在该圆上画点D，使；
(2)先在上画点E，使，然后在该圆上画点F，使．
22．一位篮球运动员在离篮圈水平距离处跳起投篮，球从点A出手时离地面高度为． 在如图所示的平面直角坐标系，球运行的高度与运行的水平距离满足抛物线．当球运行的水平距离为时，球离地面高度为． 球在空中达到最大高度后，准确落入篮圈内．已知篮圈中心离地面距离为．(注：篮球和篮圈中心近似看成一个点)
(1)求抛物线的解析式；
(2)当球运行的水平距离为多少时，达到最大高度？最大高度为多少？
(3)若对方运动员在距离该篮球运动员正面水平距离时纵跳盖帽拦截其投篮，已知其原地纵跳摸高(起跳后指尖所触及的最高点)为，则他能否成功拦截，并说明理由．
23．如图，E为平面内一点，以正方形的顶点A为旋转中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接．

(1)如图（1），当点E在边上时，求证：；
(2)如图（2），当点E在对角线上时，连接，若，，求的长；
(3)如图（3），当点E在线段上时，连接，若，直接写出的值．
24．如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)如图（1），T是抛物线上一点，连接交x轴于点M，若，求点T的坐标；
(3)如图（2），直线与抛物线交于P，Q两点，直线，分别交y轴于点D，E．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．

答案与解析
1．B
【分析】本题考查了事件，事件有必然事件、随机事件及不可能事件，可发生也可能不发生的事件是随机事件；根据题意判断即可．
【详解】解：A与D是必然事件；B是随机事件；C是不可能事件；
故选：B．
2．C
【分析】本题考查的是中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、D都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据配方法则进行配方即可；能配方后得出是解此题的关键．
【详解】解：
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．先根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法求的值．
【详解】解：一元二次方程的两根分别为m，n，
，
，
故选：A．
5．A
【详解】圆的半径是3,3=3，所以相切，选A.
6．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用：增长率问题，增长率问题中的一般公式为，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，b是增长后的数据，x是增长率．
【详解】解:根据题意得：
前年平均每公顷产，
去年水稻产量，
今年水稻产量：，
进而可得方程：．
故选∶A．
7．B
【分析】本题考查了正多边形和圆、旋转变换的性质，将正六边形绕原点O逆时针旋转次时，点A所在的位置就是原点所在的位置是解题的关键．
【详解】解：，即与正六边形绕原点O逆时针旋转2次时点A的坐标是一样的．
当点A按顺时针旋转时，与原E点重合．
连接，过点作轴，垂足为H，
由已知，，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵D在第三象限，
∴点坐标为：，
即旋转2024后点A的坐标是．
故选B．
8．A
【分析】先观察图象确定抛物线y=x2-2x-3的图象与x轴的交点，然后根据y＜0时，所对应的自变量x的变化范围．
【详解】解：∵二次函数y= x2－2x－3的图象如图所示．
∴图象与x轴交在（-1，0），（3，0），
∴当y＜0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：-1＜x＜3．
故选A．
【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，利用交点求不等式的解集，掌握抛物线与x轴的交点等价于求一元二次方程x2－2x－3=0的根，利用图像法求不等式解集是解题关键．
9．D
【分析】本题主要考查了切线长定理，矩形的判定和性质，勾股定理．过点D作于点F，设，根据切线长定理可得，再根据四边形是矩形，可得，在中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作于点F，
设，
∵和是它的两条切线，与相切于点E，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
即．
故选：D．
10．B
【分析】本题考查了几何概率及频率估计概率，根据落在三个区域的豆子数比等于各部分面积比，用各个区域面积比估计概率计算即可．
【详解】解：区域面积为，区域面积为，
区域面积为，
又落在这三个区域中的豆子数依次为m，n，，
，即，
，
解得：（不合题意，舍去），
故选：B．
11．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了圆锥的面积计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据公式计算出侧面积与底面积的和即可，熟练掌握圆锥面积的计算公式是解题的关键．
【详解】解：圆锥的全面积．
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查画树状图求概率，先将所有可能用树状图列举出，再求得满足条件的个数，利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画出树状图：

3枚鸟卵全部成功孵化有8种可能，其中恰有1只雄鸟只有3种情况，则3只雏鸟中恰有1只雄鸟的概率．
故答案为：．
14．##118度
【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，连接，根据直线与相切于点C，得到得到，证明，得到，，进而得到，由，推出，，即可求出．
【详解】解：连接，
直线与相切于点C，
，
在与中，
，
，
，，
，，
，
，，
，
故答案为：．
15．②③##③②
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与x轴的交点等问题，掌握相关知识是解题的关键．
由，不确定符号，可判断①；由抛物线对称轴为，得抛物线有最低点，函数最小值为，可判断②；由抛物线的对称性，可判断③；由题意可知，抛物线开口向上，对称轴为，则当时，y随x的增大而减小，可判断④．
【详解】解：∵对称轴为．
∴，得，
∴，
∵不确定符号，
∴不能判定的符合，即不能判断抛物线与x轴交点个数，故①错误；
∵对称轴为，
∴当时，抛物线有最低点，函数最小值为，
对任意的实数m，都有，
∴，
∴，故②正确；
令中，得，即图象过点，
∵对称轴为．
∴根据对称性得抛物线经过点，故③正确；
由题意可知，抛物线开口向上，对称轴为．
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时，．故④错误．
正确的有②③，
故答案为②③．
16．
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，把绕点B顺时针旋转得到，连接，易得，由勾股定理即可求得结果．旋转三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，把绕点B顺时针旋转得到，连接，
则，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴；
故答案为：．
17．，方程的另一个根为
【分析】本题考查了一元二次方程的根及解一元二次方程．将代入求得b的值，然后解方程组即可．
【详解】∵是方程有一个根，
∴，
∴
当时，原方程为，
解得，．
∴，方程的另一个根为．
18．(1)是等腰直角三角形
(2)
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，是解答本题的关键．
（1）根据题意，利用旋转的性质，得到，，由此得到答案．
（2）根据题意，得到，又，得到，又，得到，故，由此得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
将绕点逆时针旋转，得到，，
绕点逆时针旋转，得到，
，，
是等腰直角三角形．
（2）由（1）知，，又，
，
又，
，
又，
，
．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了求简单事件的概率，列表法或画树状图求概率；
（1）求出所有可能的结果数及两次取出的小球标号的和等于5的结果数，由概率公式即可求得结果；
（2）列表，根据列表可得所有可能结果数，两次取出的小球标号的和等于5的结果数，由概率公式可求得结果．
【详解】（1）解：所有可能的结果数为种，其中再次取出的小球标号的和为5的情况有：1与4、4与1、2与3、3与2共4种，则两次取出的小球标号的和等于5的概率为；
（2）解：依题意列表如下：
由上表可知，摸取第一个小球后不放回，共有12种等可能的结果，其中“两次取出的小球标号的和等于5”的结果有4种，
∴P(两次取出的小球标号的和等于5)＝．
20．(1)证明见解析
(2)3
【分析】本题考查垂径定理、圆周角定理、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等．（1）由垂径定理得，进而由圆周角定理得出结论；（2）由垂径定理得， 再利用勾股定理求，半径即可．
【详解】（1）证明：连接，


（2）， ，
，
又，
在中，由勾股定理得，
设的半径为x，，，
在中，由勾股定理得，
解得，
⊙O的半径为3．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，则它是直径，它与过C的直径的交点O即可为圆心；取格点M，连接，交于点D，则点D即为所求作的点；
（2）取格点N，连接，交于点E，则；连接交于点P，连接交延长交于点F，连接，则．
【详解】（1）解：如图，点即为满足条件的点；
（2）解：点E、即为所求作的满足条件的点与线段，如图．
【点睛】本题考查了作图：用无刻度直尺作图，垂径定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理逆定理等知识，综合性强，有一定难度．
22．(1)
(2)球运行的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为
(3)他不能成功拦截，理由见解析
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）把二次函数解析式配方成顶点式进而即可求出答案；
（3）计算当时的高度解题即可．
【详解】（1）依题意，抛物线经过点、、，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵，
∵，
∴抛物线开口向下，
当时，y有最大值.
即球运行的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为；
（3）令，得，
∴他不能成功拦截．
23．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由旋转得和，由正方形性质得和，可证得结论；
（2）由（1）可知，得和，根据正方形性质得，有，结合题意即可求得，利用勾股定理即可求得．
（3）延长至M，使，连接，由（1）可得，有和，设，得，即有，则，，可证为等腰直角三角形，进一步证得为直角三角形，设，求得，，则，根据即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵将线段顺时针旋转得到线段，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
则．
（2）同（1）可证，
∴，，
∵点E在对角线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
则．
（3）延长至M，使，连接，如图，

同（1）可证，则，，
设，则，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
在和中，

∴，
∴，，
则，
故为等腰直角三角形，
在四边形中，，，则，
∴为直角三角形，
设，
∵，
∴，
∴，
则，
∵，
∴，
则．
【点睛】本题主要考查旋转性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理和等腰三角形的判定和性质，熟练三角形的全等和作辅助线是解题的关键．
24．(1)、、
(2)点T的坐标为
(3)为定值
【分析】对于（1），令，求出点A，B，再令求出点C；
对于（2），根据已知条件得，可得，再求出直线的关系式，进而得出直线的关系式，然后联立关系式得出答案；
对于（3），结合已知条件设直线和的关系式，可得点D，E的坐标，联立关系式求出x，进而得出，及，再将关系式联立可得，即可得出，然后根据点的坐标表示出，，进而得出答案．
【详解】（1）令，得或3，
∴、．
令，得，得；
（2）连接、，
∵，
∴若，
即，
∴．
由、得直线为．
∴设直线为，代入，得，
∴直线为．
由，
得(舍)或，
∴点T的坐标为；
（3）∵，
∴设直线的关系式为，
∴．
设直线的关系式为，
∴．
由得，，
得或，
∴，同理可得，
由得，，
∴，
即，．
∵,)，
∴，，
∴为定值．
【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数与一元二次方程，构造辅助线是解题的关键．
1
2
3
4
1
——
(2，1)
(3，1)
(4，1)
2
(1，2)
——
(3，2)
(4，2)
3
(1，3)
(2，3)
——
(4，3)
4
(1，4)
(2，4)
(3，4)
——