湖北省武汉市洪山区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份湖北省武汉市洪山区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．“翻开人教版《数学》九年级下册课本恰好翻到第56页”这个事件是（ ）
A．随机事件B．必然事件C．不可能事件D．无法确定
2．“致中和，天地位焉，万物育焉”． 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑，器物，绘画，标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年． 下列大学校徽的主体图案是中心对称图形的是（ ）

A．北京体育大学B．华中师范大学C．清华大学D．武汉大学
3．如图，若的半径为4，圆心O到某条直线的距离为3，则这条直线可能是（ ）
A．B．C．D．
4．把方程化为的形式，则的值是（ ）
A．7B．3C．5D．
5．将二次函数的图象如何移动才能得到的图象（ ）
A．向左移动1个单位，向上移动3个单位
B．向右移动1个单位，向上移动3个单位
C．向左移动1个单位，向下移动3个单位
D．向右移动1个单位，向下移动3个单位
6．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论错误的是（ ）
A．1轮后有个人患了流感
B．第2轮又增加个人患流感
C．依题意可以列方程
D．按照这样的传播速度，三轮后一共会有180人感染
7．若一元二次方程的两个不相等的实数根为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
8．已知一个圆心角为，半径为3的扇形工件，没搬动前如图所示（A，B两点触地放置），向右滚动工件至点B再次触地时停止，则圆心O所经过的路线长是（ ）
A．6B．C．D．
9．如图，点C，点D，点E分别是以AB，AC，BC为直径的半圆弧的一个三等分点，再分别以AD，DC，CE，BE为直径向外侧作4个半圆，若图中阴影部分的面积为，则AB的长为（ ）
A．B．2C．4D．
10．抛物线上有，，，四点，若四个数中有且只有一个大于零，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
12．为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者首先从鱼塘中打捞100条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞 50 条鱼.如果在这些鱼中有10条鱼是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为 ．
13．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．其中长为 步．
14．如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 cm．
15．已知二次函数（a，c为常数且）经过，且，下列结论：①；②；③若关于x的方程有整数解，则符合条件的p的值有2个；④当时，二次函数的最大值为c，则.
其中一定正确的有 .（填序号即可）
16．如图，在中，，，过A，C两点的交线段于D点，交于E点，交于F，则的最大值为 .
三、解答题
17．已知关于x的一元二次方程的其中一个根为3．求m的值及方程的另一个根．
18．如图，点E是正方形内一点，连接，将绕点B顺时针旋转90°到的位置（），连接．
(1)判断的形状为 ；
(2)若，，，求的度数．
19．某班数学兴趣小组进行如下活动：组长从一副扑克牌中选取六张分给两位同学，小明分到的三张扑克牌分别是方块，，；小亮分到的是方块，，．两人将分到的牌随机放在桌上（数字一面朝下），然后各自从对方的牌中抽一张进行比较，抽牌数字较大的人当“小老师”，给全班同学讲一个关于数学家的故事．
(1)若小亮从对方的扑克牌中抽一张，则抽到方块的概率是______；
(2)用列表法或画树状图法中的一种方法，求小明能当“小老师”的概率．
20．菱形的顶点B，C，D在上，O在线段上.
图1 图2
(1)如图1，若是的切线，求的大小；
(2)如图2，若，，与交于点E，求的长.
21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点. B，C为格点，以线段为直径的交纵向格线于A点，连接. 仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.
(1)在图1中作出圆心O；
(2)在图1中作平分交于D点：
(3)在图1中作绕D点顺时针旋转后的线段；
(4)在图2的中作弦.
22．在投掷实心球的运动中，实心球出手时水平向前的速度为a（单位：），垂直向上的速度为b（单位：），实心球在空中运动时，其水平距离x（单位：m）与时间t的关系为，高度y（单位：m）与时间t的关系为．
(1)在小伟同学的一次投掷中，测得，；
①写出x与t的函数关系式为 ；y与t的函数关系式为 ；
根据以上关系，可得y与x的函数关系式为 （不用写出x的取值范围）；
②求出本次实心球的投掷距离．
(2)研究表明：在投掷力度一定时，水平速度与垂直向上的速度越接近，则实心球的投掷距离越远，改进投掷方法后，小伟投出了的最佳成绩，若本次投掷中，求实心球在投掷过程中的最大高度．
23．在中，，，D为平面内一点.
图1 图2
(1)当D在线段上时，将线段绕点A顺时针旋转至，连接，请你在图1中完成作图，并直接写出和的位置关系 ；
(2)在（1）的条件下，连接交于G，过点C作的垂线交延长线于点F，试判断线段与的数量关系并证明；
(3)如图2，点D位于上方，且，的面积为9，直接写出的长度 .
24．已知直线与抛物线有唯一公共点，直线分别交轴，轴于两点．
图1 图2 图3
(1)如图1，当，时，求的值；
(2)如图2，当时，过点作直线的垂线交轴于点，求坐标；
(3)如图3，当时，平移直线，使之与抛物线交于两点，点关于轴的对称点为，求证：．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，可能发生，可能不发生的事件为随机事件，进行判断即可．
【详解】解：“翻开人教版《数学》九年级下册课本恰好翻到第56页”这个事件是随机事件；
故选A．
2．A
【分析】根据一个图形绕一点旋转180度，能与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形，进行判断即可．
【详解】解：四个图形中，只要北京体育大学的校徽图案绕一点旋转180度后，能与自身完全重合，是中心对称图形，
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：相交、相切与相离，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系即可作出判断．
【详解】解：∵的半径为4，圆心O到某条直线的距离为3，
∴，即圆心到直线的距离小于半径，
∴该直线与圆相交，
由图知，与相交；
故选：B．
4．B
【分析】本题考查配方法．根据一移，二配，三变形的方法，进行配方后，求出的值，即可．掌握配方法的步骤，是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
∴，
∴，
∴；
故选B．
5．D
【分析】本题考查了二次函数图象的平移；把二次函数解析式配方后，根据顶点坐标即可确定平移．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
∴将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到二次函数的图象，
故选：D．
6．D
【分析】本题考查了列代数式及一元二次方程的应用；根据题意逐项计算出每轮感染人数，共感染人数即可．
【详解】解：A、1轮后，1个人传染了x人，共有个人患了流感，故正确；
B、第2轮后，个人中每人传染了x人，增加个人患流感，故正确；
C、2轮后，共有人患流感，由题意得方程，故正确；
D、解方程，得或（舍去），则第3轮有（人）患流感，共有（人）患流感，故错误；
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值；先把式子通分后，利用根与系数的关系整体代入即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根为，
∴，
∴；
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了动点经过的路径；确定点O的路径是关键；点O的路径是两个半径为3且圆心角为的弧，而平移的距离是一条线段，其长度是扇形工件的弧长，利用弧长公式可求得圆心O所经过的路线长．
【详解】解：∵，
∴，
当旋转到与地面垂直时，旋转角度为，此时点O的路径是半径为3且圆心角为的弧；扇形工件继续旋转时，点O的路径是一条线段，直至垂直地面，其长度是扇形工件的弧长；扇形工件继续绕A旋转，直到点A落地，此时点O的路径是半径为3且圆心角为的弧；
∴圆心O所经过的路线长为：；
故选：C．
9．A
【分析】根据所给的图形结合三角函数的知识可得出AC、BC、BE、CE的长度，然后根据四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠得出，列出方程继而可得出答案．
【详解】解：设AB的长为2x，
由题意，∠ACB=90°，∠ACD=30°，∠BCE=60°，
∴∠DCE=180°，
∴D、C、E三点共线，
点C是半径为2x的半圆弧AB的一个三等分点，
∴对的圆心角为=60°，
∴∠ABC=30°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC=AB=x，BC=AB•cs30°=x，
BE=BC•cs30°=x，CE=DC=x，AD=x，
且四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠．
从而，S阴影=S梯形ABED+（AD2+CD2+CE2+BE2）-S△ABC-（AC2+BC2）
∴，
∴=(x)+(x)，
解得：x=(负值已舍去)．
∴AB的长为2．
故选：A．
【点睛】本题考查了面积及等积变换的知识，难度较大，关键是仔细观察图形得出要求阴影部分面积的另一种表达方式，从而进行变换求解．
10．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；二次函数解析式配方得抛物线的对称轴，根据对称轴可确定四个数的大小关系，对m的符号讨论，根据题意即可求得m的取值范围．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
当及时，；
而，
由于，
当时，
当时，函数值随自变量的增大而增大，
∴，
由题意知，，
解得：；
当时，
当时，函数值随自变量的增大而减小，
∴，
由题意知，，这与已知矛盾，
∴不符合题意；
综上，；
故选：D．
11．（-3，4）
【分析】关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，据此可得答案．
【详解】解：点（3，-4）关于原点对称的点的坐标为（-3，4），
故答案为：（-3，4）．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．
12．500条
【分析】本题考查了用样本估计总体；设鱼塘中鱼的条数为x条，根据题意得，求解即可．
【详解】解：设鱼塘中鱼的条数为x条，
根据题意得：，
解得：．
故答案为：500条．
13．36
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．设长为步，根据矩形面积864平方步，宽比长少12步，列出一元二次方程进行求解即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
【详解】解：设长为步，则宽为步，
由题意，得：，
解得：（负值舍掉）；
答：长为36步．
故答案为：36．
14．
【分析】先求出扇形弧长，再求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理 即可出圆锥的高．
【详解】圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长为4cm
∴圆锥的底面半径为=2，
故圆锥的高为=4cm
故答案为：4
【点睛】此题主要考查圆的弧长及圆锥的底面半径，解题的关键是熟知圆的相关公式．
15．①②/②①
【分析】本题考查了二次函数的性质，当时，，则，根据得，根据，得，根据得，则，即可判断①②正确，根据，得，即可得点在x轴的下方，根据抛物线的对称轴为直线，，得抛物线与直线交点的横坐标为整数的有，则关于x的方程有整数解，则符合条件的p的值有3个，故③错误；根据抛物线对称轴为直线，与y轴的交点为，得抛物线过，根据当时，二次函数的最大值为c得或，即可得；掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：二次函数，当时，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
，
∴①②正确，
∵，，
∴，
∴点在x轴的下方，
∵抛物线的对称轴为直线，，，
∴抛物线与直线交点的横坐标为整数的有，
∴关于x的方程有整数解，则符合条件的p的值有3个，
故③错误；
∵抛物线对称轴为直线，与y轴的交点为，
∴抛物线过，
∵当时，二次函数的最大值为c，
∴或，
∴或，
故④错误，
综上，①②正确，
故答案为：①②．
16．/
【分析】取的中点G，连接，，过点作于点H，根据圆周角定理得出，根据直角三角形性质得出，根据平行线的性质得出，得出，根据垂线段最短得出，即可得出，求出，得出，即可得出答案．
【详解】解：取的中点G，连接，，过点作于点H，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵垂线段最短，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，平行线的性质，角所对的直角边等于斜边的一半，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，得出．
17．，另一个根为4
【分析】把代入方程求出m的值，然后解方程求出另一个根即可．
【详解】解：把代入，得
，
解得，
把代入原方程得，
∴，
∴，
即方程的另一个根为4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．
18．(1)等腰直角三角形
(2)
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理逆定理．
（1）根据旋转的性质，得到，即可得出结论；
（2）勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理得到，即可得出结论．
掌握旋转的性质，是解题的关键．
【详解】（1）解：∵将绕点B顺时针旋转90°到的位置，
∴，
∴为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）∵旋转，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
19．(1)
(2)
【分析】（1）共三张，每一张被抽到的概率都是相等的；
（2）列出表格，根据要求计算相应结果数量与总数量的比值即可．
【详解】（1）解：抽到方块的概率是，
故答案为：；
（2）解; 根据题意列表如下：
由表可以看出，所有可能出现的结果共有种，这些结果出现的可能性相等．
其中小明取出的牌比小亮大的结果有，，共种．
（小明能当小老师）．
【点睛】本题考查了简单的概率计算，掌握列表法或画树状图法是解题关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）连接，则可得；由菱形的性质及等腰三角形的性质得，由此可求得，进而求得结果；
（2）连接，过点B作于F，过点O作于N；由菱形的性质及勾股定理可求得的长；设圆的半径的r，则在中由勾股定理可求得r的值；
由面积相等则可求得，再由勾股定理及等腰三角形的性质即可求得．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
即；
∵四边形是菱形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，过点B作于F，过点O作于N；
∵四边形是菱形，，
∴，
由勾股定理得；
设圆的半径的r，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴；
∵，
∴；
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线性质，菱形的性质，勾股定理及等腰三角形的性质，综合运用这些性质与定理是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点O即可；
（2）连接点A和线段的垂直平分线与的交点D即可；
（3）连接，由垂直平分线的性质可得，由直径所对的圆周角为可知，,则点绕D点顺时针旋转后的对应点为点C，连接并延长交于点H，延长交的延长线于点E，则点E即为点绕D点顺时针旋转后的对应点，连接，即为所求；
（4）证明四边形是矩形，则Q是的中点，由垂径定理得到，由可知为三条高的交点，连接，延长交于点M，则，连接，则即为所求.
【详解】（1）如图所示，点O即为所求，
理由如下：由网格的特点可知，点O和点G分别是所在矩形的对角线交点，也是所在格线的中点，
∴垂直平分，
∴，
∴点O即为所求圆心；
（2）如图所示，即为所求，
理由如下：∵，是直径，
∴，
∴，
即平分交于D点；
（3）如图所示，线段即为所求，
理由如下：∵垂直平分，
∴，
∵是直径，
∴，
∴点绕D点顺时针旋转后的对应点为点C，
连接并延长交于点H，
∴是的直径，
∴，
延长交的延长线于点E，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∴点E即为点绕D点顺时针旋转后的对应点，连接，即为所求；
（4）如图所示，即为所求，
理由如下：由（1）可知，点A和点N关于直线轴对称，
∴垂直平分，
∴，
则，
∴四边形是矩形，
∴点Q是的中点，
∴，
∵，
∴点T为三条高的交点，
连接，延长交于点M，
∴，
∴.
【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、矩形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质、三角形的性质等知识，根据相关定理准确作图是解题的关键.
22．(1)①；；②
(2)实心球在投掷过程中的最大高度为
【分析】本题是二次函数的应用，考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质．
（1）①根据题意即可完成；
②由①中的函数关系式，令，求得的x正数值即可为所求；
（2）由题意可得y与x的函数关系式，表明当时，，求得的值，从而可确定出二次函数解析式，即可求得实心球在投掷过程中的最大高度．
【详解】（1）解：①由题意得：，；
由上两式消去t，得：；
故答案为：；；
②对于，令，即，
解得：，（舍去）
∴本次实心球的投掷距离为；
（2）解：由题意得，；
消去t得：；
∵小伟投出了的最佳成绩，
∴当时，，
即，
即，
配方得：，
当时，实心球在投掷过程中的最大高度为．
23．(1)作图见解析，
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）由题意即可完成作图；连接，证明得，即可得；
（2）在线段上截取，连接；先证明，则，再证明，则，证明完成；
（3）过点A作交于N，连接；证明，得，由的面积为9，即可求得结果．
【详解】（1）解：补充作图如下：
和的位置关系是：；
连接，如图，
∵，
∴；
由旋转性质得：，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：
证明如下：
如图，在线段上截取，连接；
∵，
∴；
由（1）知，
∴；
由（1）知，
∵，
∴，
∴，；
∵，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
（3）解：如图，过点A作交于N，连接；
则；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，，
∴；
∵的面积为9，
∴，
即，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题是全等三角形的综合，考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质等知识，证明全等是本题的关键．
24．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）当，时，直线，抛物线，联立得：，再根据直线与抛物线有唯一公共点得出，计算即可得出答案；
（2）当时，抛物线，联立得：，再结合直线与抛物线有唯一公共点，求出，从而得出，求出，，得到，，证明得出，即，求出，即可得出答案；
（3）令、、与轴交点分别为，，，设，，的解析式为：，联立得：，求出，，，联立得：，得出，求出，得出，同理可得，，求出，即可得证．
【详解】（1）解：当，时，直线，抛物线，
联立得：，
直线与抛物线有唯一公共点，
，
解得：；
（2）解：当时，抛物线，
联立得：，
直线与抛物线有唯一公共点，
，
，
，
当时，，当时，，解得：，
，，
，，
过点作直线的垂线交轴于点，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
在轴的正半轴，
；
（3）证明：如图，令、、与轴交点分别为，，，
，
设，，的解析式为：，
联立得：，
解得：，
，
点关于轴的对称点为，
，，
联立得：，
平移直线，使之与抛物线交于两点，
，
令为，代入，得：，
解得：，
：，
令，则，
，
同理可得：：，，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的交点问题、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
小明
小亮