专题突破练习卷17 立体几何中的折叠和探索性问题-2025年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考通用）

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题型一：两个平面折叠后有关二面角的考察
1．已知菱形中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为（ ）
A．2B．C．D．
2．如图，将正方形ABCD沿对角线AC折叠后，平面平面DAC，则二面角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
3．已知矩形中，，折叠使点A，C重合，折痕为，打开平面，使二面角的大小为，则直线与直线的距离为（ ）
A．B．C．1D．
4．如图，已知梯形，．，沿着对角线折叠使得点B，点C的距离为，此时二面角的平面角为（ ）
A．B．C．D．
5．在中，是斜边的高线，现将沿折起，使平面平面，则折叠后的长度为（ ）
A．2B．C．D．3
6．，是直线上的两点，若沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后、两点间的距离是（ ）
A．6B．C．D．
7．在矩形ABCD中，，M是AD边上一点，将矩形ABCD沿BM折叠，使平面与平面互相垂直，则折叠后A，C两点之间距离的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在梯形中，，四边形为矩形，点为的中点，沿，折叠，使得点与重合于点，如图2，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
9．在平面直角坐标系中，已知，，现沿轴将坐标平面折成120°的二面角，则折叠后，两点间的距离为（ ）
A．B．C．8D．
10．如图，在矩形中，，，沿将矩形折叠，连接，所得三棱锥正视图和俯视图如图，则三棱锥中长为（ ）
A．B．C．D．2
题型二：两个平面折叠后有关外接球的考察
11．某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的表面积为，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠形成，即面，面，面都与面垂直，如图②，则经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为（ ）

A．πB．C．D．
12．如图，是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的体积为（ ）

A．B．C．D．
13．在边长为的菱形中，，将沿着折叠，得到三棱锥，若，则该三棱锥的外接球的体积是（ ）
A．B．C．D．
14．已知在中，，，，D是AB的中点，沿着CD将折起，使得点A折叠到点的位置，则当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
15．如图，一块边长为8的正方形铁片上有四块全等的阴影部分.将空白部分剪掉，对余下阴影部分按下面工序加工成一个正四棱锥：将四块阴影部分分别沿虚线折叠，以其中等腰直角三角形组成棱锥的底面，余下为棱锥的侧面.则所得正四棱锥的外接球表面积是（）
A．B．C．D．
16．如图，是边长为4的正三角形，是的中点，沿将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
17．如图，在中，，，是棱的中点，以为折痕把折叠，使点到达点的位置，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
18．中国的折纸艺术历史悠久，一个同学在手工课时，取了一张长方形纸，长边为，短边为2，如图分别为各边的中点，现沿着虚线折叠得到一个几何体，则该几何体的外接球表面积是（ ）
A．B．C．D．
19．在菱形ABCD中，，，AC与BD的交点为G，点M，N分别在线段AD，CD上，且，，将沿MN折叠到，使，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型三：两个平面折叠后有关立体图的表面积与体积
20．如图甲，在等腰直角三角形中，，，分别为两直角边上的点，且，沿直线折叠，得到四棱锥，如图乙，则四棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
21．如图，等边三角形△的边长为4，D，E，F分别为和的中点，将△、△、△分别沿、和折起，使A、B、C三点重合，则折叠后的四面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
22．如图，在六边形中，四边形是边长为2的正方形，和 都是正三角形，以和为折痕，将六边形折起并连接 得到如图所示的多面体，其中平面平面，二面角 的余弦值为，则折叠后得到的多面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
23．如图所示，在边长为的正方形纸片中，与相交于，剪去，将剩余部分沿，折叠，使，重合，则以，，，为顶点的四面体的体积为（ ）．
A．B．C．D．
24．将一张边长为的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是
A．B．C．D．
25．如图，正方形的边长为2，分别取边，的中点，，连接，，，以，，，为折痕，折叠这个正方形，使，，重合于一点，得到一个三棱锥，则（ ）
A．平面平面B．二面角的余弦值为
C．三棱锥的体积为D．三棱锥内切球的表面积为
26．边长为4的正方形沿对角线折叠，使得平面平面，则关于四面体，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．四面体的体积为D．四面体的体积
27．如图，正方形的边长为2，现将正方形沿其对角线进行折叠，使其成为一个空间四边形，在空间四边形中，下列结论中正确的是（ ）
A．B，D两点间的距离d满足
B．异面直线，所成的角为定值
C．对应三棱锥的体积的最大值为
D．当且仅当时，二面角为60°
28．如图，在平面四边形ABCD中，和是全等三角形，，，．下面有两种折叠方法将四边形ABCD折成三棱锥．折法①将沿着AC折起，形成三棱锥，如图1；折法②：将沿着BD折起，形成三棱锥，如图2．下列说法正确的是（ ）

A．按照折法①，三棱锥的外接球表面积值为
B．按照折法①，存在，满足
C．按照折法②，三棱锥体积的最大值为
D．按照折法②，存在满足平面，且此时BC与平面所成线面角的正弦值为
1．已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为， ，则三棱锥的外接球的表面积为 .

2．长方形中，，沿对角线把平面折起，使平面平面，则折叠后的余弦值为 ．
3．如图，在中，是的中点，以为折痕把折叠，使点到达点的位置，则当平面平面时，其外接球的体积为 .

4．已知边长为2的等边中，为的中点，以为折痕进行折叠，使折后的，则过四点的球的体积为 .
5．已知等边的边长为2，AD为BC边上的高，以AD为折痕进行折叠，使得二面角为，则三棱锥的外接球的表面积为 .
6．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ．
7．将边长为，锐角为的菱形沿较长的对角线折叠成大小为的二面角，若该菱形折叠后所得到的三棱锥内接于表面积为的球，则的值为 ．
8．已知菱形中，对角线交于点，，将沿着折叠，使得， ，则三棱锥的外接球的表面积为 .
9．在菱形ABCD中，，，AC与BD的交点为G，点M，N分别在线段AD，CD上，且，，将沿MN折叠到，使，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
10．如图，等边的边长为4，点D为边的中点，以为折痕把折叠，在折叠过程中当三棱锥的体积最大时，该棱锥的外接球的表面积为 ．