专题2.16 一元二次方程（全章专项练习）（基础练）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

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专题2.16 一元二次方程（全章专项练习）（基础练）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（23-24八年级下·浙江·期末）已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　）A．−2 B．2 C．2或 D．4或2．（23-24九年级上·福建漳州·期末）用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（　　）A． B．C． D．3．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）代数式的值恒为（   ）A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数4．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）方程的根的情况是（ ）A．有两个相等的实数根 B．没有实数根C．有两个不相等的实数根 D．不能确定5．（22-23九年级上·福建莆田·期中）若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是（    ）A． B． C． D．6．（22-23九年级上·河南信阳·开学考试）如果 ， 那么 的值为（     ）A．2 或 B．0 或 2 C．2 D．7．（23-24九年级上·湖北黄石·期末）以为根的一元二次方程可能是（    ）A． B． C． D．8．（22-23九年级上·云南保山·期末）已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（    ）A．6 B．8 C．12 D．169．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ）A．2024 B．2025 C．2026 D．202710．（2024九年级上·全国·专题练习）某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（　　）A． B．C． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（23-24八年级上·上海崇明·期末）方程的根是 ．12．（22-23九年级上·福建莆田·期中）已知是一元二次方程的一个根，则的值是 ．13．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程根的判别式的值为16，则m的值为 ．14．（22-23九年级上·四川成都·期中）设、分别为方程的两个实数根，则 ．15．（2024九年级上·江苏·专题练习）若实数x满足，则 ．16．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示求小路的宽是多少？设小路的宽是，根据题意可列方程为 ．  17．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）小颖解一元二次方程时，一次项系数印刷不清楚，查看答案为，则□代表的数为 ．18．（23-24九年级上·四川成都·期末）定义：我们把形如的数成为“无限连分数”．如果a是一个无理数，那么a就可以展成无限连分数，例如：，如果，则 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（22-23九年级上·广东佛山·期末）用指定方法解方程：(1)（公式法） (2)（配方法）20．（8分）（2022·山东德州·一模）先化简，再求值：，其中x为的解．21．（10分）（23-24八年级下·广西贺州·期末）已知关于x的方程．（1）求证：不论a取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．22．（10分）（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值．23．（10分）（2024·广西·模拟预测）某景区研发一款纪念品，投放景区内进行销售，每件成本20元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图．（1）求出销售量（件）与销售单价（元/件）之间的函数解析式；（2）当销售单价为多少元时，每天的获利可以达到1600元．24．（12分）（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）【探究学习】把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在我们今后的学习中有着广泛的应用．例如：求的最小值．解：，因为，所以，所以当时，即当时，有最小值，最小值为3．【解决问题】（1）当为何值时，代数式有最小值？最小值为多少？（2）如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由．（3）如图3，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个宽的小门，设的长为，当为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？参考答案：1．A【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，由题意又知，联立不等式组，求解可得答案．【详解】解：根据题意可得：，解得．故选：A．2．A【分析】本题主要考查配方法的掌握，关键在于一次项的系数等于2倍的二次项系数和常数项的乘积，根据配方法的原理，凑成完全平方式即可．【详解】解：，配方得：，∴，故选：A．3．A【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将原式整理为，即可获得答案．【详解】解：∵，又∵，∴，∴代数式的值恒为正数．故选：A．4．C【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式．只需求得的值，根据，方程有两个不相等的实数根；，方程没有实数根；，方程有两个相等的实数根，进行分析判断．【详解】解：∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．5．D【分析】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程（）的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根可知，求出即可．【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等实数根，，解得：．故选：．6．D【分析】此题主要考查了因式分解法解一元一次方程，零指数次幂，最后检验是解题的关键．首先利用零指数幂的性质整理一元二次方程，进而利用因式分解法解方程得出即可．【详解】解：∵，∴，即，解得，，当时，，故，∴，故选：D．7．C【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键．根据公式法解一元二次方程即可求解．【详解】解：A． ，∴，故该选项不正确，不符合题意；B． ，∴，故该选项不正确，不符合题意；C． ，∴，故该选项正确，符合题意；D． ，∴，故该选项不正确，不符合题意；故选：C．8．B【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法及菱形的性质，先利用因式分解法解方程得到，，则菱形的两对角线长分别为8和2，然后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．掌握菱形的性质和一元二次方程的解法是关键．【详解】解：，，或，解得，，即菱形的两对角线长分别为8和2，所以菱形的面积．故选：．9．C【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键．利用整体思想设得到方程，再根据关于x的一元二次方程有一根为，即可得到t的值，从而可求解．【详解】解：∵，∴，即．　设，则．∵关于x的一元二次方程有一根为，∴在中，，∴，解得：，∴一元二次方程必有一根为2026．故选C．10．A【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用比赛的总场数七年级班级数七年级班级数，即可得出关于x的一元二次方程．【详解】解：依题意得：．故选：A．11．0或【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先移项，再利用因式分解的方法解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，，故答案为：0或．12．【分析】本题主要考查了方程解的定义．解题的关键是将代入原方程，利用整体思想求解．由是一元二次方程的一个解，将代入原方程，即可求得的值．【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，∴，∴．故答案为：．13．【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式为，代入数据求解即可【详解】解：，，，解得，故答案为：．14．2023【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据方程的解的定义得出，求出，根据根与系数的关系得出，变形后代入，即可求出答案．【详解】解：、分别为方程的两个实数根，，，、分别为方程的两个实数根，，，故答案为：2023．15．6【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．设，则原方程换元为，即，可得，即可求解．【详解】设，则原方程换元为，即，∴，解得：，即或（无实数根，舍去），∴．故答案为：6．16．【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设道路的宽应为米，由题意有，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．【详解】解：设道路的宽应为米，由题意有．故答案为：．17．【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是根据一元二次方程解的定义，列出关于b的方程，解方程即可．【详解】解：设□代表的数为b，则一元二次方程为：，把代入得：，解得：，∴□代表的数为，故答案为：．18．或【分析】根据题意，得，整理得，解方程即可．本题考查了新定义问题，正确转化成分式方程，一元二次方程是是解题的关键．【详解】根据题意，得，整理得，解得．经检验，是原方程的根，故答案为：或．19．(1)(2)【分析】（1）根据公式法解一元二次方程；（2）先将二次项系数化为1，然后根据配方法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：，∵，，∴，解得：，（2）解：，∴，两边加上，，即，∴，解得：．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．20．，-3【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解方程得出x的值，选取使分式有意义的x的值代入计算可得．【详解】解：，∵，∴，则x+5=0或x-2=0，解得，，又∵，，当x＝-5时，原式．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21．(1)见解析(2)，该方程的另一个根【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，以及一元二次方程的求解，熟记相关结论是解题关键．（1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解．（2）将代入方程即可求得，据此即可求解；【详解】（1）解： ，，， ，，不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）解：将代入方程得：，解得，将代入方程，整理可得：， 即， 解得或， 该方程的另一个根．22．(1)(2)【分析】此题考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系，（1）一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，根据根的判别式得到关于m的不等式是解题的关键；（2）根据根与系数的关系得到，又求出，然后代入求解即可．【详解】（1）方程有实数根，，，即；（2）为该方程的两个实数根，，又，∴∴∴，将代入得，∴．23．(1)(2)40元或者60元【分析】本题考查了一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数表达式，解题的关键是理解题意，能正确列出一元二次方程．（1）利用待定系数法求解可得；（2）由题意可得，， 再求解即可．【详解】（1）解：设解析式为， 根据图象可知，点在上，代入可得，∴ ，解得，∴y与x的函数关系式为；（2）解：由题意可得，， 解得，， 答：当销售价为40元或者60元时，每天的利润可以达到1600元．24．(1)时，代数式有最小值，最小值为；(2)当时，；当时，，理由见解析(3)当时，长方形场地的面积最大，最大值为【分析】本题考查了配方法的应用；（1）先配方，再根据求解即可；（2）分别表示出，，计算，根据可得时，，时，；（3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则，求出，然后利用配方法求出最大值即可．【详解】（1）解：，∵，∴，∴当，即时，代数式有最小值，最小值为；（2）由题意得：，，∴，∵，∴当时，，即，∴；当时，，即，∴；综上所述，当时，；当时，；（3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则，∴，∵，∴，∴，∴当，即时，有最大值，最大值为．