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沪科版八年级数学上学期考试满分全攻略第01讲二次根式的概念和性质(4大考点6种解题方法)(原卷版+解析)
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这是一份沪科版八年级数学上学期考试满分全攻略第01讲二次根式的概念和性质(4大考点6种解题方法)(原卷版+解析)，共33页。
第01讲 二次根式的概念和性质（4大考点6种解题方法）考点考向1.二次根式2.最简二次根式：化简后的二次根式同时满足，那么这个二次根式叫做最简二次根式.3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.考点精讲一．二次根式的定义（共2小题）1．（2021秋•普陀区期中）若是二次根式，那么x的取值范围是 ．2．（2021秋•宝山区校级月考）当x＝ 时，二次根式有最小值，最小值为 ．二．二次根式有意义的条件（共4小题）3．（2021秋•徐汇区校级期中）二次根式有意义，则x的取值范围是 ．4．（2021秋•宝山区校级月考）使有意义的条件是 ．5．（2021秋•普陀区校级月考）若a，b满足b＝﹣3，则平面直角坐标系中P（a，b）在第 象限．6．（2021秋•浦东新区校级月考）若x，y为实数，且y＝++．求﹣的值．三．二次根式的性质与化简（共8小题）7．（2021秋•浦东新区期中）计算：．8．（2021秋•普陀区期末）化简：＝ ．9．（2021秋•普陀区校级月考）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+10．（2021秋•崇明区校级期末）当a＜﹣2时，化简＝ ．11．（2021秋•松江区期末）当1≤a≤2化简：+|a﹣2|＝ ．12．（2021秋•闵行区校级期中）计算：．13．（2021秋•虹口区校级期末）将根号外的因式移到根号内： ．14．（2019秋•浦东新区校级月考）有这样一类题目：化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，并且mn＝，那么将a±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而将化简．例如：化简因为所以仿照上例化简下列各式：（1）；（2）．四．最简二次根式（共2小题）15．（2021秋•崇明区校级期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．16．（2021秋•徐汇区校级期末）下列根式中是最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．五．同类二次根式（共4小题）17．（2021秋•普陀区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A． B． C． D．18．（2021秋•金山区校级期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ）A．和 B．和 C．和 D．和19．（2021秋•闵行区校级期中）下列各式中，能与合并的是（ ）A． B． C． D．20．（2018秋•普陀区校级月考）若最简二次根式与是同类二次根式，求a，b的值．六、综合应用21.已知的整数部分是a，小数部分是b，那么的值是多少?22.已知的值是多少？23.已知的值．24.已知非零实数、满足条件，求的值．25.设等式在实数范围内成立，且 是两两不同的实数，则值等于 __________．26.求满足的自然数的值．巩固提升一、选择题1.（2019浦东一署10月考1）当时，下列式子中无意义的是（ ）A.； B. ； C.； D..2.（浦东四署2019期中1）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A.; B. ; C. ; D. .3.（浦东南片2020期末1）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A. B. C. D. 4.（西延安2019期中16）与根式不是同类二次根式的是（ ）A. B. C. D. 5.（川中南2019期中1）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）A.； B.； C.； D..6.（浦东南片2019期中1）下列根式中与不是同类二次根式的是（ ）A. B. C. D.7.（松江区2020期末2）在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）A．和； B．和； C．和； D．和.8.（徐教院附2019期中1）下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )A. B. C. D. 9.（2019曹杨10月考1）若，则a的取值范围是（ ）A.; B.; C.; D.一切实数.10.（2019浦东四署10月考6）化简的结果是（ ）A.； B.； C.0； D..11.（徐汇龙华2019期中15）下列各式计算正确的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题12.（2019华理附10月考7）当x满足 时，二次根式有意义.13.（2019建平南9月考7）当x 时，代数式有意义.14.（浦东南片2019期中7）当______________时，无意义．15.（2019大同10月考9）如果，则m的取值范围是 .16.（松江区2019期中1）化简： QUOTE \* MERGEFORMAT ．17.（2019浦东一署10月考10）化简 的结果为 ..18.（金山2020期末7）化简: =__________19.（2019宝山实验10月考11）将式子化为最简二次根式为 .20.（2019位育10月考8）化简：= .21.（2019浦东四署10月考7）比较大小：.（填“”、“=”或“”）22.（2019曹杨10月考8）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简= .23.（2019宝山实验10月考9）若，化简= .24.（2019浦东一署10月考11）已知，则= .25.（嘉定区2019期中4）若最简二次根式与是同类二次根式，则a=_____．三、解答题26.已知为非零实数，且=________．27.若代数式的立方根．28.是的小数部分，求的值．29.已知为有理数，且等式成立，的值．30.已知的值．31.已知的值．32.化简： （1）； （2）．33.（2019浦东四署10月考26）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：. 善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中a、b、m、n均为整数），则有. 这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得a= ，b= ;（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值;（3）化简：. 第01讲 二次根式的概念和性质（4大考点6种解题方法）考点考向1.二次根式2.最简二次根式：化简后的二次根式同时满足，那么这个二次根式叫做最简二次根式.3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.考点精讲一．二次根式的定义（共2小题）1．（2021秋•普陀区期中）若是二次根式，那么x的取值范围是 x≤2 ．【分析】二次根式要求被开方数是非负数，即10﹣5x≥0，从而解得x的取值范围．【解答】解：∵是二次根式，∴10﹣5x≥0，∴x≤2．故答案为：x≤2．【点评】本题考查二次根式的定义：一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，关键是注意到a≥0这个条件．2．（2021秋•宝山区校级月考）当x＝ ﹣1 时，二次根式有最小值，最小值为 2 ．【分析】根据算术平方根具有非负性解答即可．【解答】解：∵＝，∴当x＝﹣1时，的最小值为2，故答案为：﹣1；2．【点评】本题考查的是算术平方根的性质，掌握算术平方根具有非负性是解题的关键．二．二次根式有意义的条件（共4小题）3．（2021秋•徐汇区校级期中）二次根式有意义，则x的取值范围是 x≤3 ．【分析】直接利用二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数，进而得出答案．【解答】解：二次根式有意义，则9﹣3x≥0，故x的取值范围是x≤3．故答案为：x≤3．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．4．（2021秋•宝山区校级月考）使有意义的条件是 x≤3且x≠1 ．【分析】根据分式有意义可得x﹣1≠0，根据二次根式有意义的条件可得3﹣x≥0，再解即可．【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，且3﹣x≥0，解得：x≤3且x≠1，故答案为：x≤3且x≠1．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式中的被开方数是非负数．5．（2021秋•普陀区校级月考）若a，b满足b＝﹣3，则平面直角坐标系中P（a，b）在第 四 象限．【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数是非负数）可得a的值，进而得出b的值，再根据各个象限的点的坐标特征判断即可．【解答】解：∵a，b满足b＝﹣3，∴，解得a＝2，∴b＝﹣3，∴P（a，b）为P（2，3）在第四象限．故答案为：四．【点评】本题考查了二次根式的性质以及点的坐标，熟知二次根式有意义的条件为被开方数是非负数是解答本题的关键．6．（2021秋•浦东新区校级月考）若x，y为实数，且y＝++．求﹣的值．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的值，代入求值即可．【解答】解：依题意得：x＝，则y＝，所以＝＝，＝＝2，所以﹣＝﹣＝﹣＝．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．三．二次根式的性质与化简（共8小题）7．（2021秋•浦东新区期中）计算：．【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【解答】解：原式＝a+2﹣3＝a+（2﹣）【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，立方根，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与化简．8．（2021秋•普陀区期末）化简：＝ 2a ．【分析】利用二次根式的性质进行化简．【解答】解：由题意可得：20a3≥0，∴a≥0，∴原式＝2a，故答案为：2a．【点评】本题考查二次根式的化简，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），掌握二次根式的性质＝|a|是解题关键．9．（2021秋•普陀区校级月考）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：由数轴可知：a＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，∴原式＝|a|﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝﹣a﹣（c﹣a）﹣（b﹣c）＝﹣a﹣c+a﹣b+c＝﹣b【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．10．（2021秋•崇明区校级期末）当a＜﹣2时，化简＝ ﹣a﹣2 ．【分析】先判断出a+2＜0，再根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：∵a＜﹣2，∴a+2＜0，∴＝|a+2|＝﹣a﹣2．故答案为：﹣a﹣2．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，根据a的取值范围判断出a+2＜0是解题的关键．11．（2021秋•松江区期末）当1≤a≤2化简：+|a﹣2|＝ 1 ．【分析】直接利用a的取值范围，结合二次根式以及绝对值的性质化简得出答案．【解答】解：∵1≤a≤2，∴+|a﹣2|＝a﹣1+2﹣a＝1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了二次根式以及绝对值的性质，正确把握相关性质化简是解题关键．12．（2021秋•闵行区校级期中）计算：．【分析】直接利用二次根式的性质分别化简，进而得出答案．【解答】解：原式＝4a+3×2a＝4a+6a．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．13．（2021秋•虹口区校级期末）将根号外的因式移到根号内： ．【分析】根据已知可得x＜0，所以把x转化为﹣（﹣x），然后再把（﹣x）的平方移到根号内，然后进行化简计算即可．【解答】解：由题意得：≥0，∴≤0，∵x≠0，∴＜0，∴x3＜0，∴x＜0，∴将＝﹣（﹣x）＝﹣＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，确定根号外x的取值范围是解题的关键．14．（2019秋•浦东新区校级月考）有这样一类题目：化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，并且mn＝，那么将a±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而将化简．例如：化简因为所以仿照上例化简下列各式：（1）；（2）．【分析】（1）利用完全平方公式把9+4变形为（2+）2，然后利用二次根式的性质化简即可；（2）利用完全平方公式把18﹣2变形为（﹣）2，然后利用二次根式的性质化简即可．【解答】解：（1）＝＝＝＝；（2）＝＝＝＝．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．四．最简二次根式（共2小题）15．（2021秋•崇明区校级期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．【分析】利用最简二次根式的定义：被开方数不含分母，分母中不含根号，且被开方数不含能开的尽方的因数，判断即可．【解答】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、＝|a|，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．16．（2021秋•徐汇区校级期末）下列根式中是最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断即可．【解答】解：A.＝，故A不符合题意；B.＝2，故B不符合题意；C.是最简二次根式，故C符合题意；D.＝|x+3y|，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．五．同类二次根式（共4小题）17．（2021秋•普陀区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A． B． C． D．【分析】化简二次根式，然后根据同类二次根式的概念进行判断．【解答】解：A、＝2，2与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；B、＝2，2与是同类二次根式，故此选项符合题意；C、＝3，3与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；D、＝2，2与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】此题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．18．（2021秋•金山区校级期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ）A．和 B．和 C．和 D．和【分析】根据二次根式的性质进行化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝2，与属于同类二次根式，故本选项符合题意；B、与不属于同类二次根式，故本选项不符合题意；C、＝与不属于同类二次根式，故本选项不符合题意；D、2与3不属于同类二次根式，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的化简，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．19．（2021秋•闵行区校级期中）下列各式中，能与合并的是（ ）A． B． C． D．【分析】先求出＝2，再根据同类二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：＝2，A．＝＝，与2的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；B．＝2，与2的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；C．＝8，与2的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；D．＝7，与2的被开方数相同，是同类二次根式，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简和同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．20．（2018秋•普陀区校级月考）若最简二次根式与是同类二次根式，求a，b的值．【分析】直接利用同类二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，解得：．【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．六、综合应用21.已知的整数部分是a，小数部分是b，那么的值是多少?【难度】★★【答案】5．【解析】∵，∴，∴， ∴，， ∴．【总结】对于一个无理数的小数部分，没有办法完整写出来，只能用一种整体思想相应的表示出来．22.已知的值是多少？【难度】★★【答案】1．【解析】 =， 代入 原式==1．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．23.已知的值．【难度】★★【答案】40．【解析】∵， ∴． ∴代入得：=．【总结】本题主要考查当两个非负数的和为零时，则说明这两个非负数均为零．24.已知非零实数、满足条件，求的值．【难度】★★【答案】1．【解析】∵，∴，即，∴， ∴，即， ∴， 解得：． ∴．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，另一方面考查了非负数和为零的基本模型．25.设等式在实数范围内成立，且 是两两不同的实数，则值等于 __________．【难度】★★★【答案】．【解析】由题意知： ， 解得：． ∴．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．26.求满足的自然数的值．【难度】★★★【答案】或．【解析】由题意得： ∵是无理数，假设是有理数，则是有理数，这与（1）式矛盾， ∴为无理数，∴， 又∵， ∴． ∴或．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．巩固提升一、选择题1.（2019浦东一署10月考1）当时，下列式子中无意义的是（ ）A.； B. ； C.； D..【答案】B；【解析】解：因为，所以，因此A、C、D中式子有意义，B项式子无意义，故答案选B．2.（浦东四署2019期中1）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A.; B. ; C. ; D. .【答案】D；【解析】解：A、被开方数时，式子无意义，故A不一定是二次根式；B、当时，式子无意义，故B不一定是二次根式；C、当时，式子无意义，故C不一定是二次根式；D、因为恒成立，故一定是二次根式，故答案选D.3.（浦东南片2020期末1）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：A、与不是同类二次根式，B、与不是同类二次根式，C、与是同类二次根式，D、与不是同类二次根式.故选C．4.（西延安2019期中16）与根式不是同类二次根式的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：A.与是同类二次根式；B.，与是同类二次根式；C、 ，与不是同类二次根式； D.，与是同类二次根式.故选C.5.（川中南2019期中1）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）A.； B.； C.； D..【答案】C；【解析】解：显然都与是同类二次根式，因此能与合并，而与不是同类二次根式，因此不能合并；故答案选C.6.（浦东南片2019期中1）下列根式中与不是同类二次根式的是（ ）A. B. C. D.【答案】D；【解析】 解：因为，所以A、C与是同类二次根式；因为，故B与是同类二次根式；而，因此D与不是同类二次根式；故答案选D.7.（松江区2020期末2）在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）A．和； B．和； C．和； D．和.【答案】B；【解析】解：A、与不是同类二次根式，故A不符合题意．B、与是同类二次根式，故B符合题意．C、因为与不是同类二次根式，故C不符合题意．D、和的被开方数分别是a﹣1、a+1，不是同类二次根式，故D不符合题意．故答案选B．8.（徐教院附2019期中1）下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：A、是最简二次根式，故A正确；B、，故B错误；C、 ，故C错误；D. ，故D错误；故答案选A.9.（2019曹杨10月考1）若，则a的取值范围是（ ）A.; B.; C.; D.一切实数.【答案】B；【解析】解：因为，所以，即，故答案选B.10.（2019浦东四署10月考6）化简的结果是（ ）A.； B.； C.0； D..【答案】C；【解析】解：因为，所以，故原式====0.11.（徐汇龙华2019期中15）下列各式计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：A、不是同类二次根式，不能合并，所以A错误；B、，所以B错误；C、，所以C错误；D、，所以D正确.故选D.二、填空题12.（2019华理附10月考7）当x满足 时，二次根式有意义.【答案】；【解析】解：由二次根式有意义得：，解得.13.（2019建平南9月考7）当x 时，代数式有意义.【答案】x=1；【解析】解：由代数式有意义得，即，故，又因为，所以，解得x=1，故当x=1时，代数有意义.14.（浦东南片2019期中7）当______________时，无意义．【答案】；【解析】 解：因为无意义，所以或x=0，解得.15.（2019大同10月考9）如果，则m的取值范围是 .【答案】;【解析】解：因为，所以，解得.16.（松江区2019期中1）化简： QUOTE \* MERGEFORMAT ．【答案】；【解析】解：.17.（2019浦东一署10月考10）化简 的结果为 .【答案】；【解析】解：由已知可知，得，所以原式=.18.（金山2020期末7）化简: =__________【答案】3a；【解析】解：∵，∴.故答案为：3a.19.（2019宝山实验10月考11）将式子化为最简二次根式为 .【答案】；【解析】解：根据题意可知：，所以，故原式===.20.（2019位育10月考8）化简：= .【答案】；【解析】解：因为，所以原式=.21.（2019浦东四署10月考7）比较大小：.（填“”、“=”或“”）【答案】；【解析】解：因为，所以.22.（2019曹杨10月考8）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简= .【答案】;【解析】解：根据图形可知：，；故原式==.23.（2019宝山实验10月考9）若，化简= .【答案】1；【解析】解：因为，所以，所以，，故原式==1.24.（2019浦东一署10月考11）已知，则= .【答案】；【解析】解：因为，所以，解得，所以，则xy=.25.（嘉定区2019期中4）若最简二次根式与是同类二次根式，则a=_____．【答案】5【解析】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴4+a=2a-1解得a=5．三、解答题26.已知为非零实数，且=________．【难度】★★【答案】．【解析】∵， ∴， ∴， ∴， ∴．【总结】本题考查完全平方公式的变形和二次根式的综合．27.若代数式的立方根．【难度】★★【答案】．【解析】由题意得：，∴．【总结】本题主要考查当几个非负数的和为零时，则这两个式子必然都等于零的基本模型，还考查了去绝对值的知识．28.是的小数部分，求的值．【难度】★★【答案】2．【解析】由题意得：，∴．【总结】考查根号中套根号类型的式子，注意观查，部分可转化为一个数字的平方，同时对于一个无理数的小数部分，没有办法完整写出来，只能用一种整体思想相应的表示出来．29.已知为有理数，且等式成立，的值．【难度】★★★【答案】2000．【解析】∵，∴， ∴， ∴．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．30.已知的值．【难度】★★★【答案】．【解析】， ∵，∴，∴．【总结】本题考查完全公式的变形和无理数、二次根式的综合．31.已知的值．【难度】★★★【答案】1．【解析】由题意得：，解得：，代入得．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，还考查了去绝对值的知识．32.化简： （1）； （2）．【难度】★★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）； （2） = = =．【总结】本题主要考查复合二次根式的化简，注意观察，部分可转化为一个数字的平方，即，由此可进行化简计算，注意观察根号中数字的因数，分解即可得到相关计算结果，同时根据二次根式性质进行相关变形计算．33.（2019浦东四署10月考26）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：. 善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中a、b、m、n均为整数），则有. 这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得a= ，b= ;（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值;（3）化简：.【答案】（1），；（2）a=28或12；（3）；【解析】解：（1）根据阅读材料易知：，；（2）因为6=2mn，所以mn=3，因为a、m、n均为正整数，所以m=1，n=3或m=3，n=1；当m=1，n=3时，；当m=3，n=1时，；即a的值为28或12；（3）设则=====，可知，所以.即.
第01讲 二次根式的概念和性质（4大考点6种解题方法）考点考向1.二次根式2.最简二次根式：化简后的二次根式同时满足，那么这个二次根式叫做最简二次根式.3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.考点精讲一．二次根式的定义（共2小题）1．（2021秋•普陀区期中）若是二次根式，那么x的取值范围是 ．2．（2021秋•宝山区校级月考）当x＝ 时，二次根式有最小值，最小值为 ．二．二次根式有意义的条件（共4小题）3．（2021秋•徐汇区校级期中）二次根式有意义，则x的取值范围是 ．4．（2021秋•宝山区校级月考）使有意义的条件是 ．5．（2021秋•普陀区校级月考）若a，b满足b＝﹣3，则平面直角坐标系中P（a，b）在第 象限．6．（2021秋•浦东新区校级月考）若x，y为实数，且y＝++．求﹣的值．三．二次根式的性质与化简（共8小题）7．（2021秋•浦东新区期中）计算：．8．（2021秋•普陀区期末）化简：＝ ．9．（2021秋•普陀区校级月考）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+10．（2021秋•崇明区校级期末）当a＜﹣2时，化简＝ ．11．（2021秋•松江区期末）当1≤a≤2化简：+|a﹣2|＝ ．12．（2021秋•闵行区校级期中）计算：．13．（2021秋•虹口区校级期末）将根号外的因式移到根号内： ．14．（2019秋•浦东新区校级月考）有这样一类题目：化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，并且mn＝，那么将a±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而将化简．例如：化简因为所以仿照上例化简下列各式：（1）；（2）．四．最简二次根式（共2小题）15．（2021秋•崇明区校级期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．16．（2021秋•徐汇区校级期末）下列根式中是最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．五．同类二次根式（共4小题）17．（2021秋•普陀区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A． B． C． D．18．（2021秋•金山区校级期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ）A．和 B．和 C．和 D．和19．（2021秋•闵行区校级期中）下列各式中，能与合并的是（ ）A． B． C． D．20．（2018秋•普陀区校级月考）若最简二次根式与是同类二次根式，求a，b的值．六、综合应用21.已知的整数部分是a，小数部分是b，那么的值是多少?22.已知的值是多少？23.已知的值．24.已知非零实数、满足条件，求的值．25.设等式在实数范围内成立，且 是两两不同的实数，则值等于 __________．26.求满足的自然数的值．巩固提升一、选择题1.（2019浦东一署10月考1）当时，下列式子中无意义的是（ ）A.； B. ； C.； D..2.（浦东四署2019期中1）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A.; B. ; C. ; D. .3.（浦东南片2020期末1）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A. B. C. D. 4.（西延安2019期中16）与根式不是同类二次根式的是（ ）A. B. C. D. 5.（川中南2019期中1）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）A.； B.； C.； D..6.（浦东南片2019期中1）下列根式中与不是同类二次根式的是（ ）A. B. C. D.7.（松江区2020期末2）在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）A．和； B．和； C．和； D．和.8.（徐教院附2019期中1）下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )A. B. C. D. 9.（2019曹杨10月考1）若，则a的取值范围是（ ）A.; B.; C.; D.一切实数.10.（2019浦东四署10月考6）化简的结果是（ ）A.； B.； C.0； D..11.（徐汇龙华2019期中15）下列各式计算正确的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题12.（2019华理附10月考7）当x满足 时，二次根式有意义.13.（2019建平南9月考7）当x 时，代数式有意义.14.（浦东南片2019期中7）当______________时，无意义．15.（2019大同10月考9）如果，则m的取值范围是 .16.（松江区2019期中1）化简： QUOTE \* MERGEFORMAT ．17.（2019浦东一署10月考10）化简 的结果为 ..18.（金山2020期末7）化简: =__________19.（2019宝山实验10月考11）将式子化为最简二次根式为 .20.（2019位育10月考8）化简：= .21.（2019浦东四署10月考7）比较大小：.（填“”、“=”或“”）22.（2019曹杨10月考8）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简= .23.（2019宝山实验10月考9）若，化简= .24.（2019浦东一署10月考11）已知，则= .25.（嘉定区2019期中4）若最简二次根式与是同类二次根式，则a=_____．三、解答题26.已知为非零实数，且=________．27.若代数式的立方根．28.是的小数部分，求的值．29.已知为有理数，且等式成立，的值．30.已知的值．31.已知的值．32.化简： （1）； （2）．33.（2019浦东四署10月考26）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：. 善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中a、b、m、n均为整数），则有. 这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得a= ，b= ;（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值;（3）化简：. 第01讲 二次根式的概念和性质（4大考点6种解题方法）考点考向1.二次根式2.最简二次根式：化简后的二次根式同时满足，那么这个二次根式叫做最简二次根式.3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.考点精讲一．二次根式的定义（共2小题）1．（2021秋•普陀区期中）若是二次根式，那么x的取值范围是 x≤2 ．【分析】二次根式要求被开方数是非负数，即10﹣5x≥0，从而解得x的取值范围．【解答】解：∵是二次根式，∴10﹣5x≥0，∴x≤2．故答案为：x≤2．【点评】本题考查二次根式的定义：一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，关键是注意到a≥0这个条件．2．（2021秋•宝山区校级月考）当x＝ ﹣1 时，二次根式有最小值，最小值为 2 ．【分析】根据算术平方根具有非负性解答即可．【解答】解：∵＝，∴当x＝﹣1时，的最小值为2，故答案为：﹣1；2．【点评】本题考查的是算术平方根的性质，掌握算术平方根具有非负性是解题的关键．二．二次根式有意义的条件（共4小题）3．（2021秋•徐汇区校级期中）二次根式有意义，则x的取值范围是 x≤3 ．【分析】直接利用二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数，进而得出答案．【解答】解：二次根式有意义，则9﹣3x≥0，故x的取值范围是x≤3．故答案为：x≤3．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．4．（2021秋•宝山区校级月考）使有意义的条件是 x≤3且x≠1 ．【分析】根据分式有意义可得x﹣1≠0，根据二次根式有意义的条件可得3﹣x≥0，再解即可．【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，且3﹣x≥0，解得：x≤3且x≠1，故答案为：x≤3且x≠1．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式中的被开方数是非负数．5．（2021秋•普陀区校级月考）若a，b满足b＝﹣3，则平面直角坐标系中P（a，b）在第 四 象限．【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数是非负数）可得a的值，进而得出b的值，再根据各个象限的点的坐标特征判断即可．【解答】解：∵a，b满足b＝﹣3，∴，解得a＝2，∴b＝﹣3，∴P（a，b）为P（2，3）在第四象限．故答案为：四．【点评】本题考查了二次根式的性质以及点的坐标，熟知二次根式有意义的条件为被开方数是非负数是解答本题的关键．6．（2021秋•浦东新区校级月考）若x，y为实数，且y＝++．求﹣的值．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的值，代入求值即可．【解答】解：依题意得：x＝，则y＝，所以＝＝，＝＝2，所以﹣＝﹣＝﹣＝．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．三．二次根式的性质与化简（共8小题）7．（2021秋•浦东新区期中）计算：．【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【解答】解：原式＝a+2﹣3＝a+（2﹣）【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，立方根，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与化简．8．（2021秋•普陀区期末）化简：＝ 2a ．【分析】利用二次根式的性质进行化简．【解答】解：由题意可得：20a3≥0，∴a≥0，∴原式＝2a，故答案为：2a．【点评】本题考查二次根式的化简，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），掌握二次根式的性质＝|a|是解题关键．9．（2021秋•普陀区校级月考）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：由数轴可知：a＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，∴原式＝|a|﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝﹣a﹣（c﹣a）﹣（b﹣c）＝﹣a﹣c+a﹣b+c＝﹣b【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．10．（2021秋•崇明区校级期末）当a＜﹣2时，化简＝ ﹣a﹣2 ．【分析】先判断出a+2＜0，再根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：∵a＜﹣2，∴a+2＜0，∴＝|a+2|＝﹣a﹣2．故答案为：﹣a﹣2．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，根据a的取值范围判断出a+2＜0是解题的关键．11．（2021秋•松江区期末）当1≤a≤2化简：+|a﹣2|＝ 1 ．【分析】直接利用a的取值范围，结合二次根式以及绝对值的性质化简得出答案．【解答】解：∵1≤a≤2，∴+|a﹣2|＝a﹣1+2﹣a＝1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了二次根式以及绝对值的性质，正确把握相关性质化简是解题关键．12．（2021秋•闵行区校级期中）计算：．【分析】直接利用二次根式的性质分别化简，进而得出答案．【解答】解：原式＝4a+3×2a＝4a+6a．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．13．（2021秋•虹口区校级期末）将根号外的因式移到根号内： ．【分析】根据已知可得x＜0，所以把x转化为﹣（﹣x），然后再把（﹣x）的平方移到根号内，然后进行化简计算即可．【解答】解：由题意得：≥0，∴≤0，∵x≠0，∴＜0，∴x3＜0，∴x＜0，∴将＝﹣（﹣x）＝﹣＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，确定根号外x的取值范围是解题的关键．14．（2019秋•浦东新区校级月考）有这样一类题目：化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，并且mn＝，那么将a±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而将化简．例如：化简因为所以仿照上例化简下列各式：（1）；（2）．【分析】（1）利用完全平方公式把9+4变形为（2+）2，然后利用二次根式的性质化简即可；（2）利用完全平方公式把18﹣2变形为（﹣）2，然后利用二次根式的性质化简即可．【解答】解：（1）＝＝＝＝；（2）＝＝＝＝．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．四．最简二次根式（共2小题）15．（2021秋•崇明区校级期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．【分析】利用最简二次根式的定义：被开方数不含分母，分母中不含根号，且被开方数不含能开的尽方的因数，判断即可．【解答】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、＝|a|，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．16．（2021秋•徐汇区校级期末）下列根式中是最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断即可．【解答】解：A.＝，故A不符合题意；B.＝2，故B不符合题意；C.是最简二次根式，故C符合题意；D.＝|x+3y|，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．五．同类二次根式（共4小题）17．（2021秋•普陀区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A． B． C． D．【分析】化简二次根式，然后根据同类二次根式的概念进行判断．【解答】解：A、＝2，2与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；B、＝2，2与是同类二次根式，故此选项符合题意；C、＝3，3与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；D、＝2，2与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】此题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．18．（2021秋•金山区校级期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ）A．和 B．和 C．和 D．和【分析】根据二次根式的性质进行化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝2，与属于同类二次根式，故本选项符合题意；B、与不属于同类二次根式，故本选项不符合题意；C、＝与不属于同类二次根式，故本选项不符合题意；D、2与3不属于同类二次根式，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的化简，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．19．（2021秋•闵行区校级期中）下列各式中，能与合并的是（ ）A． B． C． D．【分析】先求出＝2，再根据同类二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：＝2，A．＝＝，与2的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；B．＝2，与2的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；C．＝8，与2的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；D．＝7，与2的被开方数相同，是同类二次根式，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简和同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．20．（2018秋•普陀区校级月考）若最简二次根式与是同类二次根式，求a，b的值．【分析】直接利用同类二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，解得：．【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．六、综合应用21.已知的整数部分是a，小数部分是b，那么的值是多少?【难度】★★【答案】5．【解析】∵，∴，∴， ∴，， ∴．【总结】对于一个无理数的小数部分，没有办法完整写出来，只能用一种整体思想相应的表示出来．22.已知的值是多少？【难度】★★【答案】1．【解析】 =， 代入 原式==1．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．23.已知的值．【难度】★★【答案】40．【解析】∵， ∴． ∴代入得：=．【总结】本题主要考查当两个非负数的和为零时，则说明这两个非负数均为零．24.已知非零实数、满足条件，求的值．【难度】★★【答案】1．【解析】∵，∴，即，∴， ∴，即， ∴， 解得：． ∴．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，另一方面考查了非负数和为零的基本模型．25.设等式在实数范围内成立，且 是两两不同的实数，则值等于 __________．【难度】★★★【答案】．【解析】由题意知： ， 解得：． ∴．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．26.求满足的自然数的值．【难度】★★★【答案】或．【解析】由题意得： ∵是无理数，假设是有理数，则是有理数，这与（1）式矛盾， ∴为无理数，∴， 又∵， ∴． ∴或．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．巩固提升一、选择题1.（2019浦东一署10月考1）当时，下列式子中无意义的是（ ）A.； B. ； C.； D..【答案】B；【解析】解：因为，所以，因此A、C、D中式子有意义，B项式子无意义，故答案选B．2.（浦东四署2019期中1）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A.; B. ; C. ; D. .【答案】D；【解析】解：A、被开方数时，式子无意义，故A不一定是二次根式；B、当时，式子无意义，故B不一定是二次根式；C、当时，式子无意义，故C不一定是二次根式；D、因为恒成立，故一定是二次根式，故答案选D.3.（浦东南片2020期末1）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：A、与不是同类二次根式，B、与不是同类二次根式，C、与是同类二次根式，D、与不是同类二次根式.故选C．4.（西延安2019期中16）与根式不是同类二次根式的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：A.与是同类二次根式；B.，与是同类二次根式；C、 ，与不是同类二次根式； D.，与是同类二次根式.故选C.5.（川中南2019期中1）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）A.； B.； C.； D..【答案】C；【解析】解：显然都与是同类二次根式，因此能与合并，而与不是同类二次根式，因此不能合并；故答案选C.6.（浦东南片2019期中1）下列根式中与不是同类二次根式的是（ ）A. B. C. D.【答案】D；【解析】 解：因为，所以A、C与是同类二次根式；因为，故B与是同类二次根式；而，因此D与不是同类二次根式；故答案选D.7.（松江区2020期末2）在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）A．和； B．和； C．和； D．和.【答案】B；【解析】解：A、与不是同类二次根式，故A不符合题意．B、与是同类二次根式，故B符合题意．C、因为与不是同类二次根式，故C不符合题意．D、和的被开方数分别是a﹣1、a+1，不是同类二次根式，故D不符合题意．故答案选B．8.（徐教院附2019期中1）下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：A、是最简二次根式，故A正确；B、，故B错误；C、 ，故C错误；D. ，故D错误；故答案选A.9.（2019曹杨10月考1）若，则a的取值范围是（ ）A.; B.; C.; D.一切实数.【答案】B；【解析】解：因为，所以，即，故答案选B.10.（2019浦东四署10月考6）化简的结果是（ ）A.； B.； C.0； D..【答案】C；【解析】解：因为，所以，故原式====0.11.（徐汇龙华2019期中15）下列各式计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：A、不是同类二次根式，不能合并，所以A错误；B、，所以B错误；C、，所以C错误；D、，所以D正确.故选D.二、填空题12.（2019华理附10月考7）当x满足 时，二次根式有意义.【答案】；【解析】解：由二次根式有意义得：，解得.13.（2019建平南9月考7）当x 时，代数式有意义.【答案】x=1；【解析】解：由代数式有意义得，即，故，又因为，所以，解得x=1，故当x=1时，代数有意义.14.（浦东南片2019期中7）当______________时，无意义．【答案】；【解析】 解：因为无意义，所以或x=0，解得.15.（2019大同10月考9）如果，则m的取值范围是 .【答案】;【解析】解：因为，所以，解得.16.（松江区2019期中1）化简： QUOTE \* MERGEFORMAT ．【答案】；【解析】解：.17.（2019浦东一署10月考10）化简 的结果为 .【答案】；【解析】解：由已知可知，得，所以原式=.18.（金山2020期末7）化简: =__________【答案】3a；【解析】解：∵，∴.故答案为：3a.19.（2019宝山实验10月考11）将式子化为最简二次根式为 .【答案】；【解析】解：根据题意可知：，所以，故原式===.20.（2019位育10月考8）化简：= .【答案】；【解析】解：因为，所以原式=.21.（2019浦东四署10月考7）比较大小：.（填“”、“=”或“”）【答案】；【解析】解：因为，所以.22.（2019曹杨10月考8）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简= .【答案】;【解析】解：根据图形可知：，；故原式==.23.（2019宝山实验10月考9）若，化简= .【答案】1；【解析】解：因为，所以，所以，，故原式==1.24.（2019浦东一署10月考11）已知，则= .【答案】；【解析】解：因为，所以，解得，所以，则xy=.25.（嘉定区2019期中4）若最简二次根式与是同类二次根式，则a=_____．【答案】5【解析】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴4+a=2a-1解得a=5．三、解答题26.已知为非零实数，且=________．【难度】★★【答案】．【解析】∵， ∴， ∴， ∴， ∴．【总结】本题考查完全平方公式的变形和二次根式的综合．27.若代数式的立方根．【难度】★★【答案】．【解析】由题意得：，∴．【总结】本题主要考查当几个非负数的和为零时，则这两个式子必然都等于零的基本模型，还考查了去绝对值的知识．28.是的小数部分，求的值．【难度】★★【答案】2．【解析】由题意得：，∴．【总结】考查根号中套根号类型的式子，注意观查，部分可转化为一个数字的平方，同时对于一个无理数的小数部分，没有办法完整写出来，只能用一种整体思想相应的表示出来．29.已知为有理数，且等式成立，的值．【难度】★★★【答案】2000．【解析】∵，∴， ∴， ∴．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．30.已知的值．【难度】★★★【答案】．【解析】， ∵，∴，∴．【总结】本题考查完全公式的变形和无理数、二次根式的综合．31.已知的值．【难度】★★★【答案】1．【解析】由题意得：，解得：，代入得．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，还考查了去绝对值的知识．32.化简： （1）； （2）．【难度】★★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）； （2） = = =．【总结】本题主要考查复合二次根式的化简，注意观察，部分可转化为一个数字的平方，即，由此可进行化简计算，注意观察根号中数字的因数，分解即可得到相关计算结果，同时根据二次根式性质进行相关变形计算．33.（2019浦东四署10月考26）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：. 善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中a、b、m、n均为整数），则有. 这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得a= ，b= ;（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值;（3）化简：.【答案】（1），；（2）a=28或12；（3）；【解析】解：（1）根据阅读材料易知：，；（2）因为6=2mn，所以mn=3，因为a、m、n均为正整数，所以m=1，n=3或m=3，n=1；当m=1，n=3时，；当m=3，n=1时，；即a的值为28或12；（3）设则=====，可知，所以.即.
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