沪科版八年级数学上学期考试满分全攻略第12讲直角三角形(4大考点)(原卷版+解析)

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第12讲 直角三角形（4大考点）考点考向1.直角三角形全等的判定2.直角三角形的性质定理及推论3.勾股定理4.两点的距离公式①数轴上两点A、B分别表示实数m、n，则AB的距离为.②如果直角坐标平面内有两点，那么两点间的距离.考点精讲考点一：直角三角形全等的判定与直角三角形的性质一、填空题1．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在梯形ABCD中，，AD＝3，AB＝CD＝4，∠A＝120°，则下底BC的长为________ ．2．（2022·上海市罗星中学八年级期末）已知是等腰三角形，是边上的高，且，那么此三角形的顶角的度数为______．二、解答题3．（2021·上海普陀·八年级期末）如图，在△ABC中，(1)用直尺和圆规分别作∠ACB的平分线、线段AB的中垂线、它们的交点M（不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点M）；(2)过点M作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：BE＝AF．4．（2021·上海·八年级专题练习）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．（1）求证：PM＝PN；（2）联结MN，求证：PD是MN的垂直平分线．5．（2022·上海·八年级期末）（1）已知，如图，在三角形中，AD是BC边上的高．尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）﹔（2）在已作图形中，若l与AD交于点E，且，求证：．6．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE．求证：∠AFC＝2∠ADC．7．（2022·上海松江·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．(1)求证：CE=CDBE；(2)如果CE=3BE，求的值．8．（2021·上海市南汇第四中学八年级期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF．求证：AC＝DF．（说明：此题的证明过程需要批注理由）9．（2022·上海·八年级专题练习）如图1，△ABC是边长为的等边三角形，已知G是边AB上的一个动点（G点不与A、B点重合），且GEAC，GFBC，若AG＝x，S△GEF＝y．(1)求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；(2)点G在运动过程中，能否使△GEF成为直角三角形，若能，请求出AG长度；若不能，请说明理由；(3)点G在运动过程中，能否使四边形GFEB构成平行四边形，若能，直接写出S△GEF的值；若不能，请说明由．10．（2022·上海·八年级期末）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、EC，点M为EC的中点，连接BM、DM．(1)如图1，当点D、E分别在AC、AB上时，求证：△BMD为等腰直角三角形；(2)如图2，将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D落在AB上，此时（1）中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明；(3)如图3，将图2中的△ADE绕点A逆时针旋转90°时，△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．11.（浦东新区2020期末25）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为　 　；②线段AD，BE之间的数量关系为　 　．（2）拓展探究 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．考点二：勾股定理与两点的距离公式一、填空题1．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）在直角坐标平面内，已知点、，且，那么m的值是________．2．（2022·上海·八年级开学考试）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2，第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为__________．二、解答题3.（浦东四署2020期末23）直角坐标平面内，已知点，在y轴上求一点P，使得是以为直角的直角三角形.4．（2022·上海松江·八年级期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数的图像与一个反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB=3．(1)求反比例函数的解析式；(2)在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；(3)已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．5．（2021·上海市洋泾菊园实验学校八年级期末）已知：如图，在△ABC纸片中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，按图所示的方法将△ACD沿AD折叠，使点C恰好落在边AB上的点C′处，点P是射线AB上的一个动点．(1)求折痕AD长．(2)点P在线段AB上运动时，设AP＝x，DP＝y．求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域．(3)当△APD是等腰三角形时，求AP的长．6．（2022·上海浦东新·八年级期末）某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章产生了学习兴趣．今天，他学到了勾股章第7题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”本题大意是：如图，木柱，绳索AC比木柱AB长三尺，BC的长度为8尺，求：绳索AC的长度．7．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，有两条互相垂直的公路，A厂离公路的距离为2千米，离公路的距离为5千米；B厂离公路的距离为11千米，离公路的距离为4千米；现在要在公路上建造一仓库P，使A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等，求仓库P的位置． 巩固提升1.（松江区2020期末5）下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（　　）A．两个锐角分别对应相等 B．两条直角边分别对应相等 C．一条直角边和斜边分别对应相等 D．一个锐角和一条斜边分别对应相等2.（金山2020期末4）下列四组数据表示三角形的三边长,其中不能构成直角三角形的一组数据是( )A. 1 cm, cm, 4cm B. 5cm, 12cm, 13cm:C. 3cm, 4cm, 5cm: D. 7cm, 24cm, 25 cm3.（市西2020期末4）式子可以理解为（ ）A. 两点与间的距离 B. 两点与间的距离C. 两点与间的距离 D. 两点与间的鉅离.4.（浦东南片2020期末5）下列各组数据是线段长，其中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）A. B. C. D. 5.（徐教院附2019期中6）在锐角△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD与BE交于点F，BF＝AC那么∠ABC等于( )A. 60° B. 50° C. 48° D. 45°6.（浦东新区2020期末6）如图，在中，，CD是高，BE平分∠ABC交CD于点E，EF∥AC交AB于点F，交BC于点G．在结论：(1) ；(2) ；(3)；(4) 中，一定成立的有( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个7.（2019复附10月考18）如图，在中，，BE平分，交AD于点E，EF//AC，下列结论一定成立的是（ ）A.AB=BF； B. AE=ED； C. AD=DC； C. .二、填空题8.（青浦实验2019期中13）已知直角三角形的一个锐角为36°，则另一个锐角的大小为________________.9.（徐汇龙华2019期中13）如图，中，已知，DE是AB的垂直平分线，若，那么=_________度.10.（松江区2020期末13）已知直角坐标平面上点P（3，2）和Q（﹣1，5），那么PQ＝　 　．11.（浦东新区2020期末16）如图，一棵大树在离地3米处折断，树顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是_________米.12.（2019位育10月考18）在中，，CA=CB，AD是中的平分线，点E在直线AB上，如果DE=2CD，那么= .13.（市西2020期末14）如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是______°．14.（2019曹杨10月考15）如图，已知，于点D，那么图中与相等的角是 .15.（金山2020期末17）已知△ABC中，∠A=90°，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC= ．16.（金山2020期末16）已知直角坐标平面内两点和，则、两点间的距离等于______．17.（2019华理附10月考18）已知：如图，在中，且AB=AC，D是边BC上一点，E是边AC上一点，AD=AE，若为等腰三角形，则的度数为 .18.（青浦实验2019期中14）已知，RtΔABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BC=3，那么AC=________________．19.（松江区2020期末16）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，AC＝9cm，那么BD的长是 ． 20.（浦东新区2020期末17）如图，将等腰绕底角顶点A逆时针旋转15°后得到，如果，那么两个三角形的重叠部分面积为____． 21.（徐教院附2019期中17）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，则下列结论:①∠ACF＝∠CBD②BD＝FC③FC＝FD+AF④AE=DC中，正确的结论是____________(填正确结论的编号)22.（市西2020期末17）如图，在教学楼走廊上有一拖把以的倾斜角斜靠在栏杆上，影响了同学们的行走，小明自觉地将拖把挪动位置，使其倾斜角变为. 如果拖把的长为2米，则行走的通道拓宽了___________米（结果保留根号）. 23.（松江区2020期末17）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AF⊥BC于F，M是CD中点，AM的延长线交BC的延长线于E，AE⊥AB，∠B＝60°，AF＝，则梯形的面积是　 　．24.（浦东新区2020期末18）正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE,则BM的长为____．25.（浦东四署2020期末17）如图，中，，AC=CB=，，AD=5，CE平分，DE与CE相交于点E，则DE的长等于 . 26.（松江区2020期末18）如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝55°，点D在边BC上，BD＝2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝　 　． 三、解答题27.（浦东南片2020期末21）已知：如图，中，，平分交于. 求的长. 28.（松江区2020期末22）如图在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数． 29.（2019浦东一署10月考28）如图所示：和都是等腰直角三角形，点D在BC上，联结BE、AD，AD的延长线交BE于点F.求证：. 30.（浦东四署2020期末24）如图，在中，，CD是斜边AB上的中线，过点A作于点F，交CB于点E，且.（1）求的度数；（2）求证：BC=3CE.31.（浦东四署2020期末22）如图，是一块四边形绿地的示意图，其中AB长为24米，BC长15米，CD长为20米，DA长7米，，求绿地ABCD的面积.32.（青浦实验2019期中22）已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA.求证：FD⊥BC.33.（金山2020期末22）如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90∘，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.求证：AB=AC+CD.34.（市西2020期末25）已知：如图，，分别为垂足，的垂直平分线交于点，交于点，. 求证：（1）； （2）.35.（浦东南片2020期末26）已知：如下图，和中，，为的中点，连接.若，在上取一点，使得，连接交于.（1）求证：. （2）若，求的长.36.（金山2020期末24）已知:如图,△ABC中,AD⊥BC,点D为垂足,AD=BD,点E在AD上,BE=AC（1）求证:△BDE≌△ADC（2）若M、N分别是BE、AC的中点,分别联结DM、DN. 求证:DM⊥DN. 37.（金山2020期末26）已知:CP是等边△ABC的外角∠ACE的平分线，点D在边BC上，以D为顶点，DA为一条边作∠ADF=60°,另一边交射线CP于F(1)求证:AD=FD(2)若AB=2,BD=x,DF=y,求y关于x的函数解析式(3)若点D在线段BC的延长线上，（1）中的结论还一定成立吗？若成立，请证明．38.（浦东四署2020期末26）阅读下面的材料，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.（1）理解并填空：①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？ （填“是”或“不是”）②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形 （填“是”或“不是”）奇异三角形.（2）探究：在，两边长分别是a、c，且，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由.39.（松江区2020期末26）已知：如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，点D、E分别是边AB、AC上动点，点D不与点A、B重合，DE∥BC．（1）如图1，当AE＝1时，求BD长；（2）如图2，把△DEA沿着直线DE翻折得到△DEF，设CE＝x．①当点F落在斜边BC上时，求x的值；②如图3，当点F落在Rt△ABC外部时，EF、DF分别与BC相交于点H、G，如果△ABC和△DEF重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式及定义域．（直接写出答案）图形定理符号如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L）在中，，定理1直角三角形的两个锐角互余；定理2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于.图形名称定理符号表示边的定理在直角三角形中，斜边大于直角边.在中，勾股定理直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.在中，，勾股定理逆定理如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.在中，， 第12讲 直角三角形（4大考点）考点考向1.直角三角形全等的判定2.直角三角形的性质定理及推论3.勾股定理4.两点的距离公式①数轴上两点A、B分别表示实数m、n，则AB的距离为.②如果直角坐标平面内有两点，那么两点间的距离.考点精讲考点一：直角三角形全等的判定与直角三角形的性质一、填空题1．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在梯形ABCD中，，AD＝3，AB＝CD＝4，∠A＝120°，则下底BC的长为__．【答案】7【分析】分别过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，分别利用解直角三角形的知识得出BE、CF的长，继而可得出答案．【详解】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，∵AB＝4，∠B＝60°，∴∠BAE＝60°，∴BE＝2，同理可得CF＝2，故BC的长＝BE+EF+FC＝4+AD＝7．故答案为：7【点睛】此题考查了等腰梯形的性质，直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，解答本题的关键是求出BE及CF的长度，要求我们熟练记忆等腰梯形的几个性质．2．（2022·上海市罗星中学八年级期末）已知是等腰三角形，是边上的高，且，那么此三角形的顶角的度数为______．【答案】或者【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，根据等边三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形内角和定理即可求解．【详解】解：如图1，取的中点，连接，，，，，是的中点，，是等边三角形，，；如图2，是等腰三角形，，，，，是等腰直角三角形，，，，；故答案为：或．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论并画出图形是解题的关键．二、解答题3．（2021·上海普陀·八年级期末）如图，在△ABC中，(1)用直尺和圆规分别作∠ACB的平分线、线段AB的中垂线、它们的交点M（不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点M）；(2)过点M作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：BE＝AF．【分析】（1）利用尺规作出的角平分线，线段的中垂线即可；（2）证明，可得．(1)解：如图，点即为所求；(2)解：证明：如图，连接，，点在的垂直平分线上，，平分，，，，，在和中，，，．【点睛】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．4．（2021·上海·八年级专题练习）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．（1）求证：PM＝PN；（2）联结MN，求证：PD是MN的垂直平分线．【答案】（1）见解析   （2）见解析【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可得到答案；（2）利用“HL”证明Rt△PDM≌Rt△PDN，根据全等三角形对应边相等可得DM＝DN，然后根据线段的垂直平分线性质定理的逆定理即可得到结论；【详解】解：(1) ∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中， ,∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB＝∠CDB，∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）在Rt△PDM和Rt△PDN中， ，∴Rt△PDM≌Rt△PDN（HL），∴DM＝DN，∴D在MN的垂直平分线上，∵PM＝PN，∴P在MN的垂直平分线上，∴PD是MN的垂直平分线．【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB和DM=DN是解题的关键．5．（2022·上海·八年级期末）（1）已知，如图，在三角形中，AD是BC边上的高．尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）﹔（2）在已作图形中，若l与AD交于点E，且，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接运用“角平分线——尺规作图”的方法进行作图即可．（2）过点E作EH⊥AB于H，将AB分成两部分，再证明ВH=BD，AH=CD，即可求证．【详解】（1）∠ABC的角平分线如图所示： （2）如图，过点E作EH⊥AB于H，∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，ED⊥ВC，∴EH=ED，∵BE=BE，∴△BDE≌△BHE（HL），∵ВH=BD，在Rt△BDE和Rt△ADC中，∴△BDE≌△ADC（HL），∴DE=DC，∴HE=CD，∵AD=BD，∠ADB=90°，∴∠BAD=45°，∵HE⊥AB，∴∠HEA=∠HAE=45°，∴HE=AH=CD，∴BC=BD+CD=BH+AH=AB．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质及角平分线的尺规作图，掌握全等三角形的判定定理和正确作出辅助线是解题关键．6．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE．求证：∠AFC＝2∠ADC．【答案】证明见解析【分析】根据HL证明Rt△ABD≌Rt△AED，得出∠BAD＝∠EAD再由AB∥CD可推出∠EAD＝∠ADC，最后根据外角的性质即可得出结论．【详解】证明：在Rt△ABD与Rt△AED中，，∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），∴∠BAD＝∠EAD，∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠ADC，∴∠EAD＝∠ADC，∵∠AFC＝∠EAD+∠ADC，∴∠AFC＝2∠ADC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．7．（2022·上海松江·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．(1)求证：CE=CDBE；(2)如果CE=3BE，求的值．【答案】(1)证明见详解；(2)=．【分析】（1）过点A作AF⊥CD交CD延长线于F，先根据AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，得出AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，再证Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），得出BE=DF，然后证明Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）即可；（2）先求出BC= 4BE， CD= 2BE,，然后S△ABC=，S△ADC=即可．(1)证明：过点A作AF⊥CD交CD延长线于F，∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，∴AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，在Rt△ACE和Rt△ACF中，，∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴CE=CF，∴CE=CF=CD+DF=CD+BE；(2)解：BC=BE+EC=BE+3BE=4BE，∴S△ABC=，∴CD=CF-FD=CE-BE=3BE-BE=2BE，∴S△ADC=，∴=．【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，三角形面积，线段和差倍分，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，三角形面积，线段和差倍分是解题关键．8．（2021·上海市南汇第四中学八年级期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF．求证：AC＝DF．（说明：此题的证明过程需要批注理由）【详解】先根据线段垂直平分线的性质得：AE＝BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得：DF与BE的关系，最后根据直角三角形30度的性质得AC和AE的关系，从而得出结论．【解答】证明：连接AE，∵DE是AB的垂直平分线（已知），∴AE＝BE，∠EDB＝90°（线段垂直平分线的性质），∴∠EAB＝∠EBA＝15°（等边对等角），∴∠AEC＝30°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），Rt△EDB中，∵F是BE的中点（已知），∴DF＝BE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），Rt△ACE中，∵∠AEC＝30°（已知），∴AC＝AE（直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半），∴AC＝DF（等量代换）．【点睛】本题考查中垂线的性质，直角三角形斜边中线的性质，直角三角形30°角所对的边与斜边之间的关系，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．9．（2022·上海·八年级专题练习）如图1，△ABC是边长为的等边三角形，已知G是边AB上的一个动点（G点不与A、B点重合），且GEAC，GFBC，若AG＝x，S△GEF＝y．(1)求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；(2)点G在运动过程中，能否使△GEF成为直角三角形，若能，请求出AG长度；若不能，请说明理由；(3)点G在运动过程中，能否使四边形GFEB构成平行四边形，若能，直接写出S△GEF的值；若不能，请说明由．【答案】(1)（）(2)或(3)能，【分析】（1）如图，过点F作FD⊥GE于点D．由题意易得△AFG，△BEG都是等边三角形，则可得及FG、EG，可求得FD，则可得y与x的关系；（2）点G在运动过程中，能使△GEF成为直角三角形；分两种情况考虑：；，利用30度角直角三角形的性质即可求得AG的值；（3）若四边形GFEB构成平行四边形，则△CEF是等边三角形，△FEG是等边三角形，由等边三角形的性质可求得△FEG的边长，则可求得其面积．(1)如图，过点F作FD⊥GE于点D．∵△ABC是边长为的等边三角形，且GE∥AC，GF∥BC，∴△AFG是等边三角形，△BEG是等边三角形，∴，，，∴在中，∠DFG=30°，∴，由勾股定理得：，∴（）；(2)当时，∵，∴，即，解得：；当时，∵，∴，即，解得：；综上所述：或；(3)若四边形GFEB构成平行四边形，则△CEF是等边三角形，△FEG是等边三角形，∴，由（1）知，∴．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和直角三角形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用．10．（2022·上海·八年级期末）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、EC，点M为EC的中点，连接BM、DM．(1)如图1，当点D、E分别在AC、AB上时，求证：△BMD为等腰直角三角形；(2)如图2，将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D落在AB上，此时（1）中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明；(3)如图3，将图2中的△ADE绕点A逆时针旋转90°时，△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)成立，证明见解析；(3)成立，理由见解析【分析】（1）根据∠ABC=∠CDE=90°，点M为EC的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得BM=DM=MC，即有∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，则可得∠MBC+∠MDC =∠MCB+∠MCD=∠ACB，根据三角形外角的性质可得，∠BMD=∠EMB+∠EMD=2∠ACB=245=90，即可证得△BMD为等腰直角三角形；（2）延长DM交BC于N，先证明△EMD≌△CMN，即有DM=MN，ED=CN，进而有AD=CN，BD=BN，则有BM=DN=DM，可得BM⊥DN，即∠BMD=90，则有△BMD为等腰直角三角形；（3）作交DM延长线于N，连接BN，先证明△EMD≌△CMN，根据（2）的方法同理可证得△BMD为等腰直角三角形．(1)∵∠ABC=∠CDE=90°，点M为EC的中点，∴BM=MC=EC，DM=MC=EC，∴BM=DM，∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，∴∠MBC+∠MDC =∠MCB+∠MCD=∠ACB，∵∠EMB=∠MBC+∠MCB，∠EMD=∠MDC+∠MCD，∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=∠MBC+∠MCB+∠MDC+∠MCD=2∠ACB=245=90，∴△BMD为等腰直角三角形；(2)成立；如图1，延长DM交BC于N，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，∴BA=BC，DE=DA，∠EDB=90，∴∠EDB=∠DBC，∴，∴∠DEM=∠NCM，∵M为EC中点，∴EM=CM，又∠EMD=∠CMN，∴△EMD≌△CMN，∴DM=MN，ED=CN，∴AD=CN，∴BD=BN，∴BM=DN=DM，∴BM⊥DN，即∠BMD=90，∴△BMD为等腰直角三角形；(3)成立；如图2，作交DM延长线于N，连接BN，∵，∴∠BAC=∠MCN=45，∴∠E=∠MCN=45，∵∠DME=∠NMC，EM=CM，∴△EMD≌△CMN，∴CN=DE=AD，MN=DM，又∵∠DAB =180-45-45=90，∠BCN=45+45=90，∴∠DAB=∠BCN，又BA＝BC，∴△DBA≌△NBC(SAS)，∴∠DBA =∠NBC，BD=BN；∴∠DBN=∠ABC=90，∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边中线，∴BM⊥DM，∠DBM=∠BDM=45，BM=DM=MN，即△BMD为等腰直角三角形．【点睛】本题是一道三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、平行的性质等知识，充分利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解答本题的关键．11.（浦东新区2020期末25）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为　 　；②线段AD，BE之间的数量关系为　 　．（2）拓展探究 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．【答案】结论：（1）60；（2）AD=BE；应用：∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；【解析】解：探究：（1）在△CDA≌△CEB中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△CDA≌△CEB，∴∠CEB=∠CDA=120°，又∠CED=60°，∴∠AEB=120°－ 60°= 60°；（2）∵△CDA≌△CEB，∴AD=BE；应用：∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 90°，∴AC = BC， CD = CE， ∠ACB =∠DCB =∠DCE－∠DCB， 即∠ACD = ∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴AD = BE，∠BEC = ∠ADC=135°．∴∠AEB =∠BEC－∠CED =135°－ 45°= 90°．在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM =DM= ME，∴DE = 2CM．∴AE = DE+AD=2CM+BE．考点二：勾股定理与两点的距离公式一、填空题1．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）在直角坐标平面内，已知点、，且，那么m的值是________．【答案】【分析】由、，再根据长度公式可得出AB的距离表达式，由即可求得的值．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了利用勾股定理求两点距离，掌握两点间的距离公式是解决此题的关键．2．（2022·上海·八年级开学考试）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2，第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为__________．【答案】或【分析】因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析，根据勾股定理求解即可．【详解】解：当落在边上时，如图（1）：设交于点， 由折叠知：,,,，，设，则在中，在中，即．当落在边上时，如图（2）因为折叠， ．故答案为：或【点睛】本题考查了轴对称变换，勾股定理，直角三角形中的性质，正确的作出图形是解题的关键．二、解答题3.（浦东四署2020期末23）直角坐标平面内，已知点，在y轴上求一点P，使得是以为直角的直角三角形.【答案】；【解析】解：设，由勾股定理得：，，，因为，所以即，解得，所以点P的坐标为4．（2022·上海松江·八年级期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数的图像与一个反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB=3．(1)求反比例函数的解析式；(2)在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；(3)已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．【答案】(1)(2)或(3)的坐标为：或或或【分析】（1）先求解的坐标，再代入反比例函数解析式，从而可得答案；（2）分两种情况讨论：如图，作的角平分线交于 过作于 而轴，则 如图，作的角平分线交于 过作于 交轴于 则再利用角平分线的性质与全等三角形的性质，勾股定理可得答案；（3）画出图形，分4种情况讨论，当时， 当时， 当时， 当时，再结合等腰三角形的性质与勾股定理可得答案.(1)解： AB⊥x轴，AB=3， 则 设反比例函数为 所以反比例函数为(2)解：存在，或；理由如下：如图，作的角平分线交于 过作于 而轴，则 则 而 如图，作的角平分线交于 过作于 交轴于 则 而 而 设 解得： 综上：或(3)解：如图， 为等腰三角形，当时， 当时， 当时， 当时，设 解得： 综上：的坐标为：或或或【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数的解析式，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简与二次根式的除法运算，熟练的运用以上知识解题是关键.5．（2021·上海市洋泾菊园实验学校八年级期末）已知：如图，在△ABC纸片中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，按图所示的方法将△ACD沿AD折叠，使点C恰好落在边AB上的点C′处，点P是射线AB上的一个动点．(1)求折痕AD长．(2)点P在线段AB上运动时，设AP＝x，DP＝y．求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域．(3)当△APD是等腰三角形时，求AP的长．【答案】(1)(2)y关于x的函数解析式为(3)PA的值为或或6【分析】（1）根据题意由翻折可知：CD=DC′，AC=AC′=3，设CD=DC′=x，在Rt△BDC中，根据BD2=C′D2+C′B2，构建方程即可解决问题；（2）根据题意直接利用勾股定理进行分析即可解决问题；（3）根据题意分三种情形：①PA=PD，②AP=AD，③当PD=AD时，分别求解即可．(1)解：如图1中，由翻折可知：CD=DC′，AC=AC′=3，设CD=DC′=x，在Rt△BDC中，∵BD2=C′D2+C′B2，∴（4-x）2=x2+22，解得：x=，∴．(2)如图2中，当点P在C'D左侧，AC=AC'=3，则PC'=3-x，∵，∴．当点P在C'D右侧，同理可得．∴y关于x的函数解析式为．(3)如图3中，①当PA=PD时，设PA=PD=m，在Rt△PCD中，∵PD2=DC′2+C′P2，∴，解得：，∴PA=．②当AD=AP′=时，即P在P′时，△ADP是等腰三角形，③当PD=AD时，点P在AB的延长线上．如图4，AP=2AC'=6．综上所述，满足条件的PA的值为或或6．【点睛】本题属于三角形综合题，考查翻折变换，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题．6．（2022·上海浦东新·八年级期末）某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章产生了学习兴趣．今天，他学到了勾股章第7题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”本题大意是：如图，木柱，绳索AC比木柱AB长三尺，BC的长度为8尺，求：绳索AC的长度．【答案】绳索长是尺【分析】设，则，由勾股定理及即可求解．【详解】设，则，在中，，∴，解得：，答：绳索长是尺．【点睛】本题考查勾股定理得应用，用题意列出等量关系式是解题的关键．7．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，有两条互相垂直的公路，A厂离公路的距离为2千米，离公路的距离为5千米；B厂离公路的距离为11千米，离公路的距离为4千米；现在要在公路上建造一仓库P，使A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等，求仓库P的位置． 【答案】仓库P在公路上，且在公路的右侧，离公路的距离为6千米处.【分析】以直线建立直角坐标系，根据题述可得A厂，B厂所在点的坐标，再设仓库P所在点的坐标为(x,0)，根据“A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等”列出方程，求解，根据方程的解可得出仓库P的位置．【详解】解：为两条互相垂直的公路，以建立平面直角坐标系，如下图，根据题意可知,设P(x,0)，则整理得：，解得．故仓库P在公路上，且在公路的右侧，离公路的距离为6千米处．【点睛】本题考查两点之间的距离公式．能建立合适的直角坐标系，并根据“A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等”列出方程是解决此题的关键．巩固提升1.（松江区2020期末5）下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（　　）A．两个锐角分别对应相等 B．两条直角边分别对应相等 C．一条直角边和斜边分别对应相等 D．一个锐角和一条斜边分别对应相等【答案】A；【解析】解：A、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；B、可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；C、可以利用边角边或HL判定两三角形全等，不符合题意；D、可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意．故选：A．2.（金山2020期末4）下列四组数据表示三角形的三边长,其中不能构成直角三角形的一组数据是( )A. 1 cm, cm, 4cm B. 5cm, 12cm, 13cm:C. 3cm, 4cm, 5cm: D. 7cm, 24cm, 25 cm【答案】A；【解析】解：A、∵12+()2=9=32≠42，∴不能够成直角三角形，故本选项正确；B、∵52+122=169=132，∴能够成直角三角形，故本选项错误；C、∵32+42=25=52，∴能够成直角三角形，故本选项错误；D、∵72+242=625=22，∴能够成直角三角形，故本选项错误．故选A．3.（市西2020期末4）式子可以理解为（ ）A. 两点与间的距离 B. 两点与间的距离C. 两点与间的距离 D. 两点与间的鉅离.【答案】D；【解析】解：∴式子可以理解为两点与间的距离.故选：D.4.（浦东南片2020期末5）下列各组数据是线段长，其中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D；【解析】解：A. ，此三角形是直角三角形，故不符合题意；B. ，此三角形是直角三角形，故不符合题意；C. ，此三角形是直角三角形，故不符合题意；D. ，此三角形不是直角三角形，故符合题意；故选：D.5.（徐教院附2019期中6）在锐角△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD与BE交于点F，BF＝AC那么∠ABC等于( )A. 60° B. 50° C. 48° D. 45°【答案】D；【解析】解：如图，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DBF+∠C=∠C+∠CAD，∴∠DBF=∠DAC，在△BDF和△ADC中，∴△BDF≌△ADC(AAS)，∴BD=AD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°.故选D.6.（浦东新区2020期末6）如图，在中，，CD是高，BE平分∠ABC交CD于点E，EF∥AC交AB于点F，交BC于点G．在结论：(1) ；(2) ；(3)；(4) 中，一定成立的有( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】B；【解析】解：∵EF∥AC，∠BCA=90°，∴∠CGE=∠BCA=90°，∴∠BCD+∠CEG=90°，又∵CD是高，∴∠EFD+∠FED=90°，∵∠CEG=∠FED（对顶角相等），∴∠EFD=∠BCD，故（1）正确；只有∠A=45°，即△ABC是等腰直角三角形时，AD=CD，CG=EG而立，故（2）（3）不一定成立，错误；∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠EBF，在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（AAS），∴BF=BC，故（4）正确，综上所述，正确的有（1）（4）共2个．故选：B．7.（2019复附10月考18）如图，在中，，BE平分，交AD于点E，EF//AC，下列结论一定成立的是（ ）A.AB=BF； B. AE=ED； C. AD=DC； C. .【答案】A；【解析】解：易知，又EF//AC，所以，故，又BE平分，所以，又BE=BE，所以，所以AB=BF，故A正确；B、C、D不一定正确，故答案选A.二、填空题8.（青浦实验2019期中13）已知直角三角形的一个锐角为36°，则另一个锐角的大小为________________.【答案】54°；【解析】解：设另一锐角为x，则，所以，故答案为54°．9.（徐汇龙华2019期中13）如图，中，已知，DE是AB的垂直平分线，若，那么=_________度.【答案】54°；【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，∵，∴设∠DAC=x，则∠B=∠DAB=2x，∵，∴x+2x+2x=90°，解得：x=18°，∴=3x=54°.故答案为54°.10.（松江区2020期末13）已知直角坐标平面上点P（3，2）和Q（﹣1，5），那么PQ＝　 　．【答案】5；【解析】解：∵P（3，2）和Q（﹣1，5），∴PQ＝，故答案为：511.（浦东新区2020期末16）如图，一棵大树在离地3米处折断，树顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是_________米.【答案】8；【解析】解：根据题意可得树顶端到折断处的长为=5米，则这棵树折断之前的高度是5+3=8米.12.（2019位育10月考18）在中，，CA=CB，AD是中的平分线，点E在直线AB上，如果DE=2CD，那么= .【答案】或；【解析】解：过点D作于点F，则DF=DC； 当点E在线段AB上时，因为DE=2DC=2DF，故，而，所以；当点E在线段AB的延长线上时，同理可得：；故.13.（市西2020期末14）如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是______°．【答案】135°;【解析】解：∵AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，∴AB=BC，∴∠BAC=∠ACB=45°，∴设AB＝2x，则BC＝2x，CD=3x，DA=x,∴AC2=AB2+BC2=(2x)2+(2x)2=8x2,又CD2-AD2=(3x)2-x2=8x2,∴AC2= CD2-AD2, ∵AC2+AD2=CD2, ∴ΔACD是直角三角形，∴∠DAC=90°，∴∠DAB=45°+90°=135°．14.（2019曹杨10月考15）如图，已知，于点D，那么图中与相等的角是 .【答案】；【解析】解：因为，所以；又，所以，所以.15.（金山2020期末17）已知△ABC中，∠A=90°，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC= ．【答案】135°【解析】解：∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵角平分线BE、CF交于点O，∴∠OBC+∠OCB=45°，∴∠BOC=180°﹣45°=135°．故答案为135°．16.（金山2020期末16）已知直角坐标平面内两点和，则、两点间的距离等于______．【答案】;【解析】解：∵直角坐标平面内两点 A（−3，1）和B（3，−1），∴A、B两点间的距离等于，故答案为．17.（2019华理附10月考18）已知：如图，在中，且AB=AC，D是边BC上一点，E是边AC上一点，AD=AE，若为等腰三角形，则的度数为 .【答案】或；【解析】解：设，则，又AD=AE，所以.（1）当AB=BD时，，所以，解得；（2）当BD=DA时，，则，解得；故.18.（青浦实验2019期中14）已知，RtΔABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BC=3，那么AC=________________．【答案】；【解析】解：设AC=x．∵∠C=90°，∠ABC=30°，∴AB=2AC=2x．又∵BC==3，∴x=，∴AC=．故答案为．19.（松江区2020期末16）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，AC＝9cm，那么BD的长是 ． 【答案】cm.【解析】解：作DE⊥AB于E，由勾股定理得，AB＝＝15，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴CD＝ED，AE＝AC＝9，∴BE＝AB﹣AE＝6，在Rt△BED中，BD2＝DE2+BE2，即，解得，BD＝cm．20.（浦东新区2020期末17）如图，将等腰绕底角顶点A逆时针旋转15°后得到，如果，那么两个三角形的重叠部分面积为____． 【答案】；【解析】解：设B′C′与AB相交于点D，如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=45°，∵旋转角为15°，∴∠CAC′=15°，∴∠C′AD=∠BAC-∠CAC′=45°-15°=30°，∴AD=2C′D，在Rt△AC′D中，根据勾股定理，AC′2+C′D2=AD2，即12+C′D2=4C′D2，解得C′D=，∴重叠部分的面积=．21.（徐教院附2019期中17）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，则下列结论:①∠ACF＝∠CBD②BD＝FC③FC＝FD+AF④AE=DC中，正确的结论是____________(填正确结论的编号)【答案】①②③;【解析】解：∵BD⊥CF，AF⊥CF，∴∠BDC=∠AFC=90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，∴∠ACF=∠CBD，故①正确；在△ACF和△CBD中，，∴△ACF≌△CBD，∴BD＝FC，CD=AF，故结论②正确∴FC＝FD+CD=FD+AF，故结论③正确，∵在Rt△AEF中，AE>AF，∴AE>CD，故结论④错误.综上所述，正确的结论是：①②③.22.（市西2020期末17）如图，在教学楼走廊上有一拖把以的倾斜角斜靠在栏杆上，影响了同学们的行走，小明自觉地将拖把挪动位置，使其倾斜角变为. 如果拖把的长为2米，则行走的通道拓宽了___________米（结果保留根号）. 【答案】;【解析】解：∵AB=CD=2，∠ABO=45°，∠CDO=60°，∴BO=AB•cos45°= ；DO=CD•cos60°= ．则BD=BO-DO=．所以小明拓宽了行路通道米． 23.（松江区2020期末17）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AF⊥BC于F，M是CD中点，AM的延长线交BC的延长线于E，AE⊥AB，∠B＝60°，AF＝，则梯形的面积是　 　．【答案】；【解析】解：设BF＝x，在Rt△ABF中，∠B＝60°，∴∠BAF＝30°，∴AB＝2BF＝2x，由勾股定理得，（2x）2﹣x2＝（）2，解得，x＝2，∴AB＝4，在Rt△ABE中，∠B＝60°，∴∠AEB＝30°，∴BE＝2AB＝8，∵AD∥BC，∴∠DAM＝∠CEM，在△DAM和△CEM中，，∴△DAM≌△CEM（AAS），∴AD＝CE，∴AD+BC＝CE+BC＝BE＝8，∴梯形的面积＝×（AD+BC）×AF＝．24.（浦东新区2020期末18）正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE,则BM的长为____．【答案】或；【解析】解：如图，当BF如图位置时，∵AB=AB，∠BAF=∠ABE=90°，AE=BF，∴△ABE≌△BAF（HL），∴∠ABM=∠BAM，∴AM=BM，AF=BE=3，∵AB=4，BE=3，∴AE= ，过点M作MS⊥AB，由等腰三角形的性质知，点S是AB的中点，BS=2，SM是△ABE的中位线，∴BM=AE=×5=，当BF为BG位置时，易得Rt△BCG≌Rt△ABE，∴BG=AE=5，∠AEB=∠BGC，∴△BHE∽△BCG，∴BH：BC=BE：BG，∴BH=．故答案是：或．25.（浦东四署2020期末17）如图，中，，AC=CB=，，AD=5，CE平分，DE与CE相交于点E，则DE的长等于 . 【答案】3;【解析】可知：AB=8，延长DE、CE交AB于G、F.因为CE平分，AC=CB=，所以，因为，所以为等边三角形，故AG=DG=AD=5，，因此FG=1，在中，EG=2FG=2，故DE=5-2=3.26.（松江区2020期末18）如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝55°，点D在边BC上，BD＝2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝　 　． 【答案】70°或120°；【解析】解：①当点B落在AB边上时，∵DB＝DB1，∴∠B＝∠DB1B＝55°，∴m＝∠BDB1＝180°﹣2×55°＝70°，②当点B落在AC上时，在RT△DCB2中，∵∠C＝90°，DB2＝DB＝2CD，∴∠CB2D＝30°，∴m＝∠C+∠CB2D＝120°，故答案为70°或120°．三、解答题27.（浦东南片2020期末21）已知：如图，中，，平分交于. 求的长. 【答案】5;【解析】解：过D作于点E.∵中，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，设,则,中, ∴，∴x=5，∴.28.（松江区2020期末22）如图在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数． 【答案】135°；【解析】解：如图示，连接AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝，∠BAC＝45°，又∵CD＝3，DA＝1，∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9，∴AC2+DA2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD＝90°，∴∠DAB＝45°+90°＝135°．故∠DAB的度数为135°．29.（2019浦东一署10月考28）如图所示：和都是等腰直角三角形，点D在BC上，联结BE、AD，AD的延长线交BE于点F.求证：. 【答案与解析】解：因为是等腰直角三角形（已知），所以AC=BC，（等腰直角三角形的定义）；因为是等腰直角三角形（已知），所以CD=CE，（等腰直角三角形的定义）；在中，，所以，所以（全等三角形对应角相等）；因为中，，中，（三角形内角和为），（对顶角相等），所以（等式的性质），所以（垂直的意义）.30.（浦东四署2020期末24）如图，在中，，CD是斜边AB上的中线，过点A作于点F，交CB于点E，且.（1）求的度数；（2）求证：BC=3CE.【答案与解析】解：（1），，，，因为CD是斜边AB上的中线，所以CD=BD，所以，所以，，所以. （2），所以AE=BE，，所以BC=3CE.31.（浦东四署2020期末22）如图，是一块四边形绿地的示意图，其中AB长为24米，BC长15米，CD长为20米，DA长7米，，求绿地ABCD的面积.【答案】234（平方米）【解析】解：联结BD.因为BC长15米，CD长为20米，，所以=25米，在中，BD=25米，AB=24米，AD=7米，，所以，所以是直角三角形.故=84+150=234（平方米）答：绿地ABCD的面积为234平方米.32.（青浦实验2019期中22）已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA.求证：FD⊥BC.【答案与解析】解：∵BE⊥CD，∴∠CEB=∠AED=90°，在Rt△BEC和Rt△DEA中，，∴Rt△BEC≌Rt△DEA（HL），∴∠CBE=∠ADC，∵∠CBE+∠C=90°，∴∠ADC+∠C=90°，∴DF⊥BC.33.（金山2020期末22）如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90∘，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.求证：AB=AC+CD.【答案与解析】证明：∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，∴∠ABC=45°，又∵DE⊥AB，垂足为E，∴∠B=∠EDB=45°，∴DE=EB，又∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴DE=CD．在Rt△ACD与Rt△AED中，∵，∴△ACD≌△AED，∴AC=AE，CD=DE，∴AB=AE+EB=AC+CD．34.（市西2020期末25）已知：如图，，分别为垂足，的垂直平分线交于点，交于点，. 求证：（1）； （2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）∵AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD于点F，∴AF=BF，AE=BE．∵AD⊥CD，BC⊥CD，∴∠D=∠C=90°．在Rt△ADF和Rt△FCB中 ，∴△ADF≌△FCB（HL），∴∠DAF=∠CFB；（2）∵∠D=90°，∴∠DAF+∠DFA=90°，∴∠CFB+∠DFA=90°，∴∠AFB=90°．∴．35.（浦东南片2020期末26）已知：如下图，和中，，为的中点，连接.若，在上取一点，使得，连接交于.（1）求证：. （2）若，求的长.【答案】（1）见解析；（2）2;【解析】解：（1）∵和中，，E为BC的中点，∴∴，∵ ，∴，∴，∵，∴. (2)∵BC=4,∴，∵DE=AE, ，∴，中，，∵DF=DE，∴.36.（金山2020期末24）已知:如图,△ABC中,AD⊥BC,点D为垂足,AD=BD,点E在AD上,BE=AC（1）求证:△BDE≌△ADC（2）若M、N分别是BE、AC的中点,分别联结DM、DN. 求证:DM⊥DN. 【答案与解析】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠BDE=90°，在Rt△ADC和Rt△BDE中， ∴△BDE≌△ADC;（2）如图，∵△BDE≌△ADC，∴DE=DC，∠DEM=∠C，∵M、N分别是BE、AC的中点且BE=AC，∴EM=CN，在△DEM和△DCN中， ∴△DEM≌△DCN∴∠EDM=∠CDN∵∠CDN+∠NDA=90°，∴∠MDA+∠NDA=90°，即DM⊥DN.37.（金山2020期末26）已知:CP是等边△ABC的外角∠ACE的平分线，点D在边BC上，以D为顶点，DA为一条边作∠ADF=60°,另一边交射线CP于F(1)求证:AD=FD(2)若AB=2,BD=x,DF=y,求y关于x的函数解析式(3)若点D在线段BC的延长线上，（1）中的结论还一定成立吗？若成立，请证明．【答案】（1）见解析；（2）；（3）成立，证明见解析.【解析】解：（1）连接AF，∵∠ACB=60°，∴∠ACE=120°，∵CP平分∠ACE，∴∠ACP=∠PCE=60°，∴∠ADF=∠ACP=60°，∴A、D、C、F四点共圆，∴∠AFD=∠ACB=60°，∴∠ADF=∠AFD=60°，∴∠DAF=60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD=FD；（2）过A作AM⊥BC于M，如图，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB=2，BM=BC=1，∴AM= ，∵BD=x，∴MD=x-1，∵△ADF是等边三角形，∴AD=DF=y，在Rt△AMD中， ∴，即； （3）如图，同（1）得：∠ADF=∠ACF=60°，∴A、C、D、F四点共圆，∴∠FAD=∠FCD=60°，∴∠AFD=60°，∴△ADF 是等边三角形，∴AD=FD．38.（浦东四署2020期末26）阅读下面的材料，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.（1）理解并填空：①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？ （填“是”或“不是”）②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形 （填“是”或“不是”）奇异三角形.（2）探究：在，两边长分别是a、c，且，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由.【答案与解析】解：（1）①是；设等边三角形的边长为a，则，显然成立；②是；因为，故是奇异三角形.（2）当c为斜边时，则，由于，故不是奇异三角形； 当b为斜边时，，则有，所以是奇异三角形.答：当c为斜边时，不是奇异三角形；当b为斜边时，是奇异三角形.39.（松江区2020期末26）已知：如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，点D、E分别是边AB、AC上动点，点D不与点A、B重合，DE∥BC．（1）如图1，当AE＝1时，求BD长；（2）如图2，把△DEA沿着直线DE翻折得到△DEF，设CE＝x．①当点F落在斜边BC上时，求x的值；②如图3，当点F落在Rt△ABC外部时，EF、DF分别与BC相交于点H、G，如果△ABC和△DEF重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式及定义域．（直接写出答案）【答案与解析】解：（1）∵∠A＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，∴AB＝＝，∵DE∥BC．∴∠ABC＝∠ADE＝30°，且∠A＝90°，AE＝1，∴AD＝，∴DB＝AB﹣AD＝； （2）①∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB，∠DEF＝∠CFE，∵把△DEA沿着直线DE翻折得到△DEF，∴∠AED＝∠DEF，AE＝EF，∴∠ACB＝∠CFE，∴CE＝EF，∴AE＝CE＝AC＝2；②∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∠EDF＝∠DGB，∠DEF＝∠EHC，∵把△DEA沿着直线DE翻折得到△DEF，∴∠AED＝∠DEF，∠ADE＝∠EDF，AE＝EF，AD＝DF，∴∠DGB＝∠B，∠EHC＝∠C，∴EC＝EH＝x，DG＝DB，∵CE＝x，∴AE＝4﹣x，且∠A＝90°，∠ADE＝∠ABC＝30°，∴AD＝（4﹣x），DB＝AB﹣AD＝4﹣（4﹣x）＝x，∴S△DEF＝S△ADE＝AD×AE＝（4﹣x）2，∵FH＝EF﹣EH＝4﹣x﹣x＝4﹣2x，GF＝DF﹣DG＝（4﹣x）﹣x＝4﹣2x，∴S△FHG＝×FH×FG＝（4﹣2x）×（4﹣2x）＝（4﹣2x）2，∴y＝S△DEF﹣S△FHG＝（4﹣x）2﹣（4﹣2x）2＝（0＜x＜2）．图形定理符号如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L）在中，，定理1直角三角形的两个锐角互余；定理2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于.图形名称定理符号表示边的定理在直角三角形中，斜边大于直角边.在中，勾股定理直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.在中，，勾股定理逆定理如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.在中，，