苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题7.3 锐角三角函数 正弦 余弦与正切（巩固篇）（专项练习）（附答案）

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专题7.3 锐角三角函数 正弦 余弦与正切（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（　　）A． B． C． D．2．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为（    ）A． B． C． D．3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为(   )A． B． C． D．4．如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则sin∠BDE的值等于（　　）A． B． C． D．5．如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E(9，2)，则cosB的值等于（　　）A． B． C． D．6．如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（    ）A． B．3 C． D．27．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　）A． B．1 C． D．8．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（    ）A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定9．如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连结，则的值为（    ）A． B． C． D．10．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则(    )A．x–y2=3 B．2x–y2=9 C．3x–y2=15 D．4x–y2=21二、填空题11．比较大小：tan50° ____tan60°．12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，则cosA=________．13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则的正弦值为______________．14．如图，在菱形中，点是的中点，连接，交于点．，，则的长是________．15．如图，在正方形网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上，对角线AC交BD于点E，则tan∠CED的值是 _____．16．如图，在矩形ABCD 中，O是对角线AC的中点，E为AD上一点，若，则AB的最大值为__________．17．已知点A是双曲线在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为一边作等边三角形ABC，点C在第四象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为_____．18．如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，，将四边形沿直线翻折，得到四边形，点B的对应点为点G，连接，，当最小时，的值为___________．三、解答题19．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，BC＝CD，BD、AC交于点E．(1) 求证：ABCD；(2) 已知BC＝6，AB＝10，求的值．20．如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AEBD，交CB的延长线于点E．(1) 求证：AE=AC；(2) 若cos∠E=，CE=12，求矩形ABCD的面积．21．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，将△ABC沿射线AC向下平移得，边交BC于点D．(1) 求；(2) 连接，判断四边形BCC′B′的形状，并说明理由；(3) 若四边形BCC′B′为正方形，则平移的距离为 ．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣3，4），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，P两点．(1) 求a，b的值与点A的坐标；(2) 求证：△CPD∽△AEO；(3) 求sin∠CDB的值．23．已知中，，、是的两条高，直线与直线交于点．(1)如图，当为锐角时，①求证：；②如果，求的正切值；(2)如果，，求的面积．24．如图，在矩形中，，，点为边的中点．动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，当点不与点A重合时，连接．作点A关于直线的对称点，连接、，设点的运动时间为秒．(1) 线段的长为______．(2) 用含的代数式表示线段的长．(3) 当时，求的值．(4) 当点在矩形内部（不包括边界）时，直接写出的取值范围．参考答案1．C【分析】根据已知可得∠B=∠ACD，然后利用锐角三角函数的定义判断即可．解：A．∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADB=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，在Rt△ACD中，cos∠ACD=，∴cosB=，故A不符合题意；B．在Rt△DBC中，cosB=，故B不符合题意；C．在Rt△DBC中，cos∠BCD=，∵∠A≠45°，∴∠B≠45°，∴∠B≠∠BCD，∴cosB≠，故C符合题意；D．在Rt△ABC中，cosB=，故D不符合题意；故选：C．【点拨】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数只与角度大小有关与角度位置无关是解题的关键．2．C【分析】由勾股定理求出，并利用旋转性质得出，，，则可求得，再根据勾股定理求出，最后由三角形函数的定义即可求得结果．解：在中，，，，由勾股定理得：．∵绕点A逆时针旋转得到，∴，，．∴．∴在中，由勾股定理得．∴．故选：C．【点拨】本题考查了求角的三角形函数值，掌握三角形函数的概念并利用勾股定理及旋转的性质求解是解题的关键．3．A【分析】由题意得：△AEF≌△DEF，故∠EDF=∠A；由三角形的内角和定理及平角的定义即可解决．解：在中，，，，由折叠的性质得到：≌，，，，，又，，在直角中，，，故选：A．【点拨】本题考查了翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，三角函数等，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.4．A【分析】连接AD，由△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D为BC中点，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得AD⊥BC，在直角△ABD中根据三角函数的定义求出sin∠BAD，然后根据同角的余角相等得出∠BDE=∠BAD，于是sin∠BDE=sin∠BAD即可求得．解：连接AD，如图：∵△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D为BC中点，∴AD⊥BC，，∴，∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴，，∴∠BDE=∠BAD，∴．故选：A．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，同角的余角相等，求一个角的正弦值，证得∠BDE=∠BAD是解决本题的关键．5．D【分析】由题意可得四边形ABQP是平行四边形，可得AP＝BQ＝x，由图象②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，可求BD＝7，由折叠的性质可求BC的长，由锐角三角函数可求解．解：∵AM∥BN，PQ∥AB，∴四边形ABQP是平行四边形，∴AP＝BQ＝x，由图②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，∴BC＝CD＝BD＝，AC⊥BD，∴cosB＝＝＝，故选：D．【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识．理解函数图象上的点的具体含义是解题的关键．6．C【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD．解：在中，，，∴∴ 由勾股定理得, 过点D作于点E，如图，∵，，∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴,在中, ∴∵ ∴故选：C【点拨】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键．7．B【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．解：如图，连接BC，由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，则tan∠BAC=1，故选：B．【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．8．A【分析】根据杠杆原理及的值随着的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，∴动力随着动力臂的增大而减小，∵杠杆向下运动时的度数越来越小，此时的值越来越大，又∵动力臂，∴此时动力臂也越来越大，∴此时的动力越来越小，故选：A．【点拨】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．9．C【分析】根据折叠的性质得到∠AEB=∠AEF，再根据点E是BC中点可得EF=EC，可得∠EFC=∠ECF，从而推出∠ECF=∠AEB，求出即可得到结果.解：由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，∵点E是BC中点，，∴BE=CE=EF=，∴∠EFC=∠ECF，AE=，∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，∴∠ECF=∠AEB，∴==，故选C.【点拨】本题考查了矩形的性质和折叠的性质，以及余弦的定义，解题的关键是利用折叠的性质得到∠ECF=∠AEB.10．B【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE=BD=x，根据等腰三角形求出BQ=CQ=6，求出CM=DM=3，解直角三角形求出EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理即可得.解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，∴BD=DE=x，∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y，∴=y，BQ=CQ=6，∴AQ=6y，∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ∥EM，∵E为AC中点，∴CM=QM=CQ=3，∴EM=3y，∴DM=12-3-x=9-x，在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（3y）2+（9-x）2，即2x-y2=9，故选B．11．＜【分析】根据角的正切值随着角度的增大而增大，即可求解．解：∵50°＜60°，∴tan50°＜tan60°．故答案为：＜.【点拨】本题主要考查了比较正切值的大小，熟练掌握角的正切值随着角度的增大而增大是解题的关键．12．##【分析】根据勾股定理求出斜边AB的值，在利用余弦的定义直接计算即可．解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=1，BC=，∴AB=，∴cosA=，故答案为：．【点拨】本题主要考查锐角三角函数的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数的定义．13．【分析】根据题意得出，利用求出，再利用勾股定理求出，在根据正弦的定义：对边比斜边即可得解．解：∵，∴，∴，由题意得：，∴，∴∴；故答案为：．【点拨】本题考查求角的正弦值．熟练掌握正弦的定义：，是解题的关键．14．【分析】连接AC交BD于点O，根据菱形的性质和已知条件，得出△BCE为直角三角形，求出，得出为等边三角形，求出AC的长，再根据勾股定理求出BO的长，即可求出BD．解：连接AC交BD于点O，如图所示：四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，，∵点E为AB的中点，∴，∵，∴，∴△BCE为直角三角形，，∴，为等边三角形，，，∴，∴．故答案为：．【点拨】本题主要考查了菱形的性质，特殊角的三角函数值，等边三角形的性质和判定，勾股定理及逆定理，根据题意判断出△BCE为直角三角形，求出，是解题的关键．15．【分析】设小正方形的边长为1，则AD＝5，BC＝4，根据平行线分线段成比例定理得出，由勾股定理求出BD、DC、AC，求出DE和CE，过C作CF⊥BD于F，根据三角形的面积得出，求出CF，根据勾股定理求出EF，再解直角三角形求出答案即可．解：设小正方形的边长为1，则AD＝5，BC＝4，∵，∴∴，由勾股定理得：，，，则，，过C作CF⊥BD于F，∵△BCD的面积，∴△DCE的面积为，∴，∴ ，∴，由勾股定理得：，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定和性质等知识点，能求出CF的长是解此题的关键．16．4【分析】设，则，根据，，根据正弦的增减性可得，当最大值，取得最大值，进而即可求解．解：设，则，则过点，则，当点与点重合时，取得最大值，此时最大，则最大，即取得最大值，此时，的最大值为故答案为：4【点拨】本题考查了矩形的性质，正弦的增减性，掌握三角函数的关系，矩形的性质是解题的关键．17．【分析】设点A的坐标为（a，），连接OC，则OC⊥AB，表示出OC，过点C作CD⊥x轴于点D，设出点C坐标，在Rt△OCD中，利用勾股定理可得出x2的值，继而得出y与x的函数关系式．解：设A（a，），∵点A与点B关于原点对称，∴OA＝OB，∵△ABC为等边三角形，∴AB⊥OC，OC＝AO，∵AO＝，∴CO＝，过点C作CD⊥x轴于点D，则可得∠AOD＝∠OCD（都是∠COD的余角），设点C的坐标为（x，y），则tan∠AOD＝tan∠OCD，即，解得：y＝，在Rt△COD中，CD2+OD2＝OC2，即y2+x2＝3a2+，将y＝代入，可得：x2＝，故x＝，y＝＝，则xy＝﹣9，故可得：（x＞0）．故答案为：（x＞0）．【点拨】本题考查了反比例函数的综合题，涉及了解直角三角形、等边三角形的性质及勾股定理的知识，综合考查的知识点较多，解答本题的关键是将所学知识融会贯通，注意培养自己解答综合题的能力．18．【分析】连接EB、EG，根据折叠得出，得出EG=EB，故点G在以点E为圆心，EG为半径的一段弧上，当点G在AC上时，AG最小，画出图形，过点F作FH⊥AC，先证明，得出，解得，，根据，得出．解：连接EB、EG，如图所示：根据折叠可知，BD=GD，∠BDE=∠GDE，DE=DE，∴（SAS），∴EG=EB，∵EB的长固定不变，∴EG的长固定不变，∴点G在以点E为圆心，EG为半径的一段弧上，∴当点G在AC上时，AG最小，过点F作FH⊥AC，如图所示：根据折叠可知，CE=EF=1，GF=BC=，∠GFE=∠BCE=90°，∴，，，∴，，即，解得：，，∴，，∵EF=EC，∴，∴．故答案为：．【点拨】本题主要考查了折叠的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角函数的定义，根据题意得出点G在以点E为圆心，EG为半径的一段弧上，当点G在AC上时，AG最小，是解题的关键．19．(1)见分析(2)【分析】（1）由角平分线定义得，．再由等腰三角形性质得．从而得出，即可由平行线的判定定理得出结论；（2）先由勾股定理求出，再证△CDE∽△ABE，得，代入即可求得，然后由求解即可．（1）证明：∵BD平分，∴．∵，∴．∴，∴．（2）解：∵，∴．∵，，∴．∵，∴△CDE∽△ABE，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∴在中，．【点拨】本题考查勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形和相似三角形的判定和性质是解题的关键．20．(1)见分析(2)矩形ABCD的面积为48【分析】（1）由矩形的性质，可得AC=BD，ADBC，故可证四边形AEBD是平行四边形，从而得出AC=AE的结论；（2）首先根据等腰三角形的性质得到EB的长，然后利用锐角三角函数求得AE的长，从而利用勾股定理求得AB的长,最后求得面积即可．（1）证明：在矩形ABCD中，AC=BD，ADBC，又∵，∴四边形AEBD是平行四边形，∴BD=AE，∴ AC=AE；（2）解：在矩形ABCD中，∴AB⊥EC，∵AE=AC，∴EB=BC，∵CE=12，∴EB=6，∵，∴AE=10，由勾股定理得：．∴矩形ABCD的面积为．【点拨】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识．解此题的关键是能灵活运用矩形的性质，以及能利用锐角三角函数求线段．21．(1)(2)矩形，理由见分析(3)6【分析】（1）由平移得，，则，求出的余弦值即可；（2）由于沿射线向下平移得△，所以与在同一条直线上，由，，，可判断四边形是矩形；（3）由一组邻边相等的矩形是正方形可知，由此即可求出平移的距离．解：(1)如图，由平移得，，，，，，．(2)四边形是矩形，理由如下：沿射线向下平移得△，与在同一条直线上，由平移得，，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形．(3)由（2）得，四边形是矩形，当时，四边形是正方形，，平移的距离是6，故答案为：6．【点拨】此题重点考查平移的特征、矩形的判定、正方形的判定、锐角三角函数等知识与方法，难度不大，属于基础题．22．(1)a＝﹣，b＝﹣9，点A的坐标为（3，﹣4）(2)见分析(3)sin∠CDB＝【分析】（1）将点P（﹣3，4）代入y＝ax，计算出a，将点P（﹣3，4）代入y＝计算出b，最后根据函数的对称性求出点A即可；（2）先根据菱形的性质证明∠DCP＝∠OAE，再证明∠AEO＝∠CPD＝90°即可证得△CPD∽△AEO；（3）先计算出AO的长度，再根据△CPD△AEO得到∠CDP＝∠AOE，计算出sin∠AOE即可得到答案．（1）解：将点P（﹣3，4）代入y＝ax，得：4＝﹣3a，解得：a＝﹣，∴正比例函数解析式为y＝﹣x； 将点P（﹣3，4）代入y＝，得：﹣12＝b﹣3，解得：b＝﹣9，∴反比例函数解析式为y＝﹣． ∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，∴点A的坐标为（3，﹣4）．（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，ABCD，∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．∵AB⊥x轴，∴∠AEO＝∠CPD＝90°，∴△CPD△AEO．（3）解：∵点A的坐标为（3，﹣4），∴AE＝4，OE＝3，．∵△CPD∽△AEO，∴∠CDP＝∠AOE，∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝．【点拨】本题考查正比例函数、反比例函数、相似三角形和三角函数的性质，解题的关键是熟练掌握正比函数、反比例函数、相似三角形和三角函数的相关知识．23．(1)①见分析；②2(2)或【分析】（1）①由题可知，即可证明，之后证明即可；②设，则，，根据可得，故在中，可求；（2）设，即可证得，根据，可得根据与，可得到，之后分为锐角与钝角两种情况讨论即可．（1）①证明：，，，，，且，，，，，；②由题意知：设，则，，，，，，，在中，；（2）解： 设，，，，，，，且，在Rt△BDQ中根据勾股定理可得，，，1°当为锐角时，，，解得；∴，，；2°当为钝角时，，，解得，∴，，．【点拨】本题主要考查三角形的相似的判定与性质、解直角三角形，解一元二次方程、三角形的面积，根据题目条件分类讨论是解题的关键．24．(1)5(2)(3)(4)或【分析】(1)根据点A关于直线的对称点是点，可得，再根据点为边的中点即可求得；(2)分两种情况分别计算，即可求得；(3)过点作于点，于点N，根据，，利用勾股定理即可求得，，再根据勾股定理即可求得t的值；(4)分两种情况即可分别求得．(1)解：，点为边的中点，，点A关于直线的对称点是点，，故答案为：5；(2)解：当点P在线段AD上时，，当点P在点D的上方时，，故；(3)解：如图：过点作于点，于点N，，设，EM=4x，在中，，，，解得x=1(负值舍去)，，，，四边形是矩形，，，，，，，解得t=15；(4)解：当点在DC边上时，过点E作于点M，则EM=BC=4，，DM=AE=5，，DP=4-t，，，解得(负值舍去)，，，解得，故当时，点在矩形内部；当点在DC边上时，过点作于点N，则，，，DP=t-4，，，解得(负值舍去)，，，解得，故当时，点在矩形内部，综上，当或时，点在矩形内部．【点拨】本题考查了轴对称图形的性质，动点问题中的用字母表示相关线段的长，正切函数的定义，勾股定理，矩形的判定与性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．