苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题7.4 特殊角的三角函数（知识讲解）（附答案）

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专题7.4 特殊角的三角函数（知识讲解）【学习目标】会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；会进行有关三角函数的计算应用【要点梳理】特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：特别说明：　　(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．　　(2)仔细研究表中数值的规律会发现：　 　的值依次为、、，而的值的顺序正好相反，的值依次增大，其变化规律可以总结为：　 　　①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；　 　　②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．【典型例题】类型一、特殊角三角函数计算1． 计算：(1)sin230°+sin60°-sin245°+cos230°； (2).【答案】(1)+；(2).【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入求解；（2）将特殊角的三角函数值代入求解．特殊值：sin 30° = ；sin 60° = ；sin 45° = ；cos 30° = ；tan 60° = ；tan 45° = 1解：(1)原式=-+= + ；=.【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．举一反三：【变式1】计算：﹣sin45°•tan45°【答案】【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．解：﹣sin45°•tan45°．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值及分母有理化、二次根式的化简，牢记特殊角的三角函数值，是解决本题的关键．【变式2】计算：2cos45°﹣tan60°+sin30°﹣tan45°【答案】-【分析】将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案．解：原式=2×﹣+﹣×1=-【点拨】此题考查特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键．类型二、特殊角三角函数计算2．计算：【答案】-2【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别代入化简即可．解：原式＝=-2【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．举一反三：【变式1】计算：．【答案】-2试题分析：分别计算(2014-)0=1，=2﹣，再用实数的混合运算法则计算.解：原式=3×﹣1+2﹣﹣3=﹣2.【变式2】计算：．【答案】3试题分析：用完全平方公式、平方差公式去括号，计算出特殊角三角函数值，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可.解：(－1)2+3tan30°－(－2)(+2)+2sin60°=4－2+3×－(5－4)+2×=4－2+－1+=3.  【点拨】掌握二次根式的加减乘除运算法则.类型三、由特殊角三角函数值求角的度数3． 已知为锐角，且，则______．【答案】【分析】计算，并结合是个锐角，即可求解．解：∵，∴，∴，∵为锐角，∴，∴故答案是：60°【点拨】本题主要考察计算和锐角三角函数与角度关系，属于基础的计算题，难度不大．解题的关键是结合角度范围确定三角函数值范围．举一反三：【变式1】已知矩形的周长为，对角线，求与的度数．【答案】，或，．【分析】设AB=x,将BC表示出来，再利用勾股定理可求出x=1或x=,再利用三角函数求出一个角为30°，另一个角为60°.解：∵矩形的周长为，∴AB+BC= +1,∵对角线AC=2,∴设AB=x,则BC=+1-x,∵AB2+BA2=AC2,∴x2+(+1-x)2=22,解得：x1=1,x2=,∴当AB=1,则BC=,∴tan∠BAC=,∴∠BAC=60°,∠DAC=30°, 当AB=,则BC=1,∴tan∠BAC= ,∴∠BAC=30°,∠DAC=60°,故，或，．【点拨】此题主要考查了勾股定理和特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值．【变式2】计算(1)计算：(2)已知是锐角，且，计算的值．【答案】(1)1 (2)0【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入代数式进行计算即可；（2）先利用锐角的正弦求解的大小，再代入代数式进行计算即可．(1)解： (2) 是锐角，且， 【点拨】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，已知三角函数值求解锐角的大小，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键．类型四、三角函数计算4． （1）计算：．（2）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，角平分线AE与高CD交于点F，求证：CE=CF． 【答案】（1）8；（2）见分析【分析】（1）计算绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再合并即可；（2）根据直角三角形两锐角互余求得∠B=∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF=∠CFE，根据等角对等边求得CE=CF．（1）解：=8；（2）证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵CD是AB边上的高，∴∠ACD+∠BAC=90°，∴∠B=∠ACD，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=∠EAC，∴∠B+∠BAE=∠ACD+∠EAC，即∠CEF=∠CFE，∴CE=CF．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，直角三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，将△ABC沿射线AB平移4cm后能与△BDE完全重合，连接CE、CD交BE于点O，OB＝OC．(1)求证：四边形CBDE为矩形；(2)若S△BOC＝cm2，求∠ACD的度数．【答案】(1)见分析(2)120°【分析】（1）由平移的性质及判定定理可证得，根据全等三角形的性质即可求证结论．（2）根据矩形的性质及面积公式即可求得，进而可利用特殊三角函数值可求得，根据垂直平分线的性质即可求解．（1）证明：由题意可知：△BDE由△ABC平移后得到，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴，且，∴，，在和中，∴ ∴，，又∵， ∴，∴ 平行四边形为矩形．（2）由（1）可知四边形为矩形，∴，且cm，在中过点作的垂线，垂足为，则，∵，∴cm，∴在，，∴，又∴在△ACD中，BC是AD的垂直平分线，∴，∴，∠ACD的度数为．【点拨】本题考查了平移的性质、全等三角形的判定及性质、矩形的判定及性质、特殊三角函数值求角度，熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键．【变式2】将矩形ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，展开后再一次折叠，使点A落在EF上的点处，并使得折痕经过点B，得到折痕BG，连接，如图1，问题解决：(1)试判断图1中是什么特殊的三角形？并说明理由；(2)如图2，在图1的基础上，与BG相交于点N，点P是BN的中点，连接AP并延长交于点Q，求的值．【答案】(1)是等边三角形，理由见分析(2)【分析】（1）等边三角形，解法一利用垂直平分线性质得出AA′=BA′，利用折叠得出即可，解法二：根据折叠得出，，然后利用锐角三角函数定义得出 ，求出即可；（2）解法一：过点N作交AP于H，先证（AAS），再证，得出 即可  解法二：由折叠可知，由点P是BN的中点 ，得出，利用平行线等分性质得出，，证出即可．(1)解：是等边三角形．解法一：理由是：由折叠可知EF垂直平分AB；∴AA′=BA′，∵△ABG折叠得△A′BG，∴，∴；∴是等边三角形；解法二：理由是：由折叠可知，，，∴ ，∴，∴是等边三角形；(2)解法一：过点N作交AP于H，∴，，又∵点P是BN的中点 ，      ∴，在△PHN和△PQB中，，∴（AAS），       ∴，又∵，∴，，∴，由折叠可知，∴ ，   ∴，     ∴；解法二：由折叠可知，又∵点P是BN的中点 ，      ∴，过点N作交于M，∴，，∴，∴．【点拨】本题考查一题多解，等边三角形的判定，折叠性质，线段垂直平分线性质，平行线等分线段定理，三角形相似判定与性质，锐角三角函数值求角，掌握一题多解，等边三角形的判定，折叠性质，线段垂直平分线性质，平行线等分线段定理，三角形相似判定与性质是解题关键．锐角30°45°160°