上海市控江中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷

这是一份上海市控江中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷，共12页。试卷主要包含了若集合，则__________，计算等内容，欢迎下载使用。
2024.9
一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.准线方程是的抛物线的标准方程为__________.
2.若集合，则__________.
3.函数的最小正周期为__________.
4.已知事件与事件互斥，且，则__________.
5.在四面体中，若底面的一个法向量，且，则定点到底面的距离为__________.
6.计算：__________.
7.一工厂生产了某种产品16800件，他们来自甲､乙､丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样.已知甲､乙､丙3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了__________件产品.
8.已知向量，向量，则向量在向量上的投影为__________.
9.已知圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，则圆锥的底面半径为__________.
10.已知函数是定义在上的奇函数，当时，（是常数），则__________.
11.已知复平面上一个动点对应复数，若，其中是虚数单位，则向量扫过的面积为__________.
12.设是由正整数组成且项数为的数列，满足当，都有，已知，则数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于中任意序数不同的两项和，在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得，则的最小值为__________.
二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.如果，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
14.函数在定义域上是（ ）
A.严格增的奇函数 B.严格增的偶函数
C.严格减的奇函数 D.严格减的偶函数
15.教材在推导向量的数量积的坐标表示公式“（其中，）”的过程中，运用了以下哪些结论作为推理的依据（ ）
①向量坐标的定义；
②向量数量积的定义；
③向量数量积的交换律；
④向量数量积对数乘的结合律；
⑤向量数量积对加法的分配律.
A.①③④ B.②④⑤ C.①②③⑤ D.①②③④⑤
16.已知棱长均为1的正棱柱有个顶点，从中任取两个顶点作为向量的起点与终点，设底面的一条棱为.若集合，则当中的元素个数最少时，的值为（ ）
A.3 B.4 C.6 D.8
三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
记，其中为实常数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若函数的图像经过点，求该函数在区间上的最大值和最小值.
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
甲､乙两人每下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.9.
（1）若甲､乙两人下一盘棋，求他们下成和棋的概率；
（2）若甲､乙两人连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求甲至少获胜一盘的概率.
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，已知和都是直角梯形，，，二面角的平面角为.设分别为的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线右支上一点.
（1）求双曲线的离心率；
（2）设过点和的直线与双曲线的右支有另一交点为，求的取值范围；
（3）过点分别作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为两点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数，其中.
（1）当时，判断的单调性；
（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；
（3）设函数，当时，若，任意，总有成立，求实数的取值范围.
2024—2025学年上海市控江中学高三年级上学期
9月月考数学试卷
2024.9
一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7—12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.【答案】
【解析】抛物线的定义.
2.【答案】
【解析】解得，所以.
3.【答案】2
【解析】.
4.【答案】0.7
【解析】因为互斥，所以.
5.【答案】
【解析】.
6.【答案】2
【解析】.
7.【答案】5600
【解析】设甲､乙､丙三条生产线分别生产件产品，则，解得.
8.【答案】
【解析】由公式可得向量在向量上的投影为.
9.【答案】
【解析】设底面半径为，因为圆锥的母线与底面所成的角为，所以圆锥的高所以，解得.
10.【答案】
【解析】，所以.
11.【答案】
【解析】由题意可得，对应的区域是以为圆心，2为半
径圆以及内部构成的圆面，而向量扫过的面除了圆面以外还包括圆外的一部分，如图所示，
因此扫过的面积等于，
与圆相切于两点，所以，
则，且，
所以，
所以扫过的面积等于.
12.【答案】5454
【解析】因为数列任意相邻两项的差的绝对值不超过，所以，
又是由正整数组成且项数为的增数列，所以或，
当时，，此时，
这与在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得矛盾，
所以，类似的，必有，
由得前6项任意两项之和小于等于3时，均符合，
要最小，则每项尽可能小，且值要尽量小，
则，
同理，，当中间各项为公差为1的等差数列时，
可使得值最小，且满足已知条件.
由对称性得最后6项为，
则的最小值.
二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.【答案】D
【解析】因为为严格增函数，所以，故选D.
14.【答案】A
【解析】令，则，所以为奇函数，
又，为严格增函数，
故选A.
15.【答案】D
【解析】向量的坐标表示用了①，运算用了②，用了③的展开运算用了④⑤，其中为轴和轴的单位向量，故选D.
16.【答案】B
【解析】如图，设所在的直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，过点且与平面垂直的直线为，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，得，设，
则，
因为该几何体为正棱柱，所以上下底面的各对应点的横坐标相同，当时，该几何体为正三棱柱，做出底面的示意图（图一）
则，所以，即，共5个元素
当，该几何体为正方体，做出其底面的示意图（图二），
则，所以，即，共3个元素，
当，该几何体为正六棱柱，作出其底面的示意图（图三），
则，
所以，即，共9个元素，
当时，该几何体为正八棱柱，做出其底面的示意图（图四），
则，
所以，
即，共9个元素，
故选B.
三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.【答案】（1）；（2）最大值1，最小值
【解析】（1）
所以，函数的最小正周期.
（2）.
令，则.
当或，即或时，.
当，即时，.
18.【答案】（1）0.5；（2）0.64
【解析】（1）用表示甲获胜，用表示和棋，用表示甲不输.
所以.
因为和棋与获胜是互斥的，由概率的可加性，得.
由题意，，因此.
所以，甲､乙两人下一盘棋，他们下成和棋的概率为0.5
（2）用分别表示甲在第局获胜，用分别表示甲在第局平，用分别表示甲在第局输.
则.
用表示甲､乙两人连下两盘棋，甲至少获胜一盘.
则包含下列5种情况：，
则.
所以，若甲､乙两人连下两盘棋，甲至少获胜一盘的概率为0.64.
19.【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）过点分别做直线的垂线并分别交于点.
四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，
，则四边形和四边形
是矩形，在和，
，且，
平面是二面角的平面角，则，
是正三角形，由平面，得平面平面，
是的中点，，又平面平面，可得，
而平面，而平面.
（2）因为平面，过点做平行线，所以以点为原点，､所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，
设，则，
设平面的法向量为
由，得，取，
设直线与平面所成角为，
20.【答案】（1）2；（2）；（3）不存在，见解析
【解析】（1）由题，，
因此双曲线的离心率为
（2）法一：当直线斜率不存在时，设直线为，
则得，此时
当直线斜率存在时，设直线方程为：，设
则联立方程得：.
则由题意得
，
因而的取值范围为
法二：由题意，直线不与轴重合，因而设方程为：，设
则联立方程得：
由题意，直线与双曲线恒有交点，且交点均在右支上，
则
，由，得，
因而的取值范围为
（3）由题，渐近线方程为，设点
则
（点到直线距离公式给2分，绝对值转化2分）
因而不存在点，使得成立.
（另解：）
又因为，因而不存在点，使得成立）
21.【答案】（1）在上是增函数；（2）；（3）
【解答】（1）当时，，
.
，
在上是增函数.
（2）.
，
若，可得，在上成立，
，
时等号成立，
.
（3）当时，，
，
，任意，总有成立，
要求的最大值，大于的最大值即可，
，令，
解得，
当，或时，为增函数；
当时，为减函数；
，
在处取得极大值，也是最大值，
，
，
若，
，
，故不存在；
若时，，
，
实数的取值范围：.