苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题6.52 《图形的相似》挑战综合（压轴）题分类专题（专项练习）（附答案）

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专题6.52 《图形的相似》挑战综合（压轴）题分类专题（专项练习）【知识点一】平行线分线段成比例【类型①】平行线分线段成比例➼➻作图★✭求值★✭证明1．（2019·广东·中考真题）如图，在中，点是边上的一点.（1）请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若，求的值.2．（2021·福建漳州·模拟预测）如图，已知点D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠A＝60°．(1) 求作Rt△DEF，使点F在AB的延长线上，∠DEF＝90°，∠EDF＝60°，且BF＝AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2) 在（1）的前提下，连结CE，BE．求证：EB＝EC．【类型②】平行线分线段成比例★✭特殊三角形3．（2016·山东淄博·中考真题）如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME//AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．(1)求证：AE＝AF；(2)求证：BE＝(AB＋AC)．4．（2015·浙江杭州·中考真题）如图，在△ABC中（BC>AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E（1）若，AE=2，求EC的长（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P，问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由【类型③】平行线分线段成比例★✭特殊平行四边形5．（2022·福建三明·二模）已知：如图，在ABCD中，E为BC的中点，DF⊥AE于点F，CG⊥DF于点G．求证：(1) ∠DAE = ∠BCG； (2) G为DF的中点．6．（2022·安徽·合肥38中一模）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上且与点A、C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接DE、FG（1）FG与DE的数量关系是______；（2）若正方形ABCD的边长为6，且，则DE的长为______； 【类型④】平行线分线段成比例➼➻构造平行线（作辅助线）7．（2022·北京昌平·模拟预测）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N．当CP＝6时，EM与EN的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，G，如图2，则可得：，因为DE＝EP，所以DF＝FC．可求出EF和EG的值，进而可求得EM与EN的比值．(1) 请按照小明的思路写出求解过程．(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DP＝MN的结论．你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由．（2020·福建莆田·二模）（1）如图1，的三条中线、、相交于点，求的值；（2）如图2，在中，，与相交于点，连接并延长交线段于点．求证：是的中点；（3）如图3，已知矩形，仅用无刻度的直尺画出线段的中点，并简要写出画图过程．【知识点二】相似三角形性质与判定【类型①】相似三角形★✭全等三角形➼➻证明★✭求值9．（2022·上海·中考真题）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：(1) ∠CAE=∠BAF； (2) CF·FQ=AF·BQ10．（2015·湖北咸宁·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；（2）选择（1）中一对加以证明． 【类型②】相似三角形★✭特殊四边形➼➻证明★✭求值11．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．(1) 若，求线段AD的长．(2) 若的面积为1，求平行四边形BFED的面积．12．（2022·山东泰安·中考真题）如图，矩形中，点E在上，，与相交于点O．与相交于点F．(1) 若平分，求证：；(2) 找出图中与相似的三角形，并说明理由;(3) 若，，求的长度．【类型③】相似三角形★✭动点问题➼➻折叠问题➼➻证明★✭求值13．（2022·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，F是为射线AD上的一个动点，将△AEF沿EF折叠得到△HEF，连接AC，分别交EF和直线EH于点N，M，已知∠BAC＝，，若△EMN与△AEF相似，则AF的长为多少？ 14．（2021·安徽·一模）如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将△MCN翻折，使点C落在边AB上，设其落点为P． （1）求证：AM=PN；（2）当点P是边AB的中点时，求证：；（3）当点P不是边AB的中点时，是否仍然成立？请说明理由．【类型④】相似三角形★✭动点问题➼➻旋转➼➻证明★✭求值15．（2012·湖北省直辖县级单位·中考真题）△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B,（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．16．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，D为BC边上的一点．过点D作射线DE⊥DF，分别交边AB，AC于点E，F．(1)当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，如图①，______．(2)①若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图②位置时，______．②若改变点D的位置，且时，求的值，请就图③的情形写出解答过程．(3)如图③连接EF，当BD＝______时，△DEF与△ABC相似．【类型⑤】相似三角形★✭动点问题★✭坐标系➼➻证明★✭求值17．（2021·河北唐山·一模）如图，，，轴，与直线交于点，轴于点，是折线上一动点．设过点，的直线为．（1）点的坐标为________；（2）若直线所在的函数随的增大而减少，则的取值范围是__________；（3）若动点在上运动，与相似时，求此时直线的解析式．18．（2012·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB=，点E，F分别是线段AD，AC上的动点（点E不与点A，D重合），且∠CEF=∠ACB．（1）求AC的长和点D的坐标；（2）说明△AEF与△DCE相似；（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．【类型⑥】相似三角形★✭动点问题★✭坐标系➼➻最值19．（2019·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形中，，，点分别在边，上，点分别在，上，，交于点，记.（1）若的值是1，当时，求的值.（2）若的值是，求的最大值和最小值.（3）若的值是3，当点是矩形的顶点，，时，求的值.20．（2018·山东济宁·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．【知识点三】相似三角形性质与判定➼➻拓展与探究【类型①】相似三角形➼➻➼➻操作与问题发现21．（2020·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）（1）【操作发现】如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．①请按要求画图：将绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点，点C的对应点为点．连接；②在①中所画图形中，＝　　°．（2）【问题解决】如图2，在中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．（3）【拓展延伸】如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．22．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：(1)【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为_________；(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．【类型②】相似三角形➼➻➼➻背景问题与探究23．（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．(1)先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．24．（2021·山东日照·中考真题）问题背景：如图1，在矩形中，，，点是边的中点，过点作交于点．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的绕点按逆时针方向旋转，如图2所示，得到结论：①_____；②直线与所夹锐角的度数为______．（2）小王同学继续将绕点按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当旋转至、、三点共线时，则的面积为______．【类型③】相似三角形➼➻➼➻问题拓展与延伸25．（2022·四川达州·中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：(1)【初步探究】如图2，当时，则_____；(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________；(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．(4)【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．26．（2021·浙江宁波·中考真题）【证明体验】（1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分．【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，，求的长．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长．【类型④】相似三角形➼➻➼➻阅读材料与教材呈现27．（2019·辽宁大连·中考真题）阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，中，，点在上，，（其中），的平分线与相交于点，垂足为，探究线段与的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现与相等．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段与的数量关系．”……老师：“保留原题条件，延长图1中的，与相交于点（如图2），可以求出的值．”（1）求证：；（2）探究线段与的数量关系（用含的代数式表示），并证明；（3）直接写出的值（用含的代数式表示）．28．（2021·吉林长春·二模）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材102-103页的部分内容．(1)【问题解决】请结合图1将证明过程补充完整．(2)【应用探究】如图2，在△ABC中，AD是高，CE是中线，点F是CE的中点，DF⊥CE，点F为垂足，∠AEC＝78°，则∠BCE为 度(3)如图3，在线段AC上有一点B，AB＝4，AC＝11，分别以AB和BC为边作正方形ABED和正方形BCFG，点E落在边BG上，连接DF，点H为DF的中点，连接GH，则GH的长为 ．参考答案1．（1）见分析；（2）.【分析】(1)以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交BA、BC于点F、G，以点D为圆心，以BF长为半径画弧，交DA于点M，再以M为圆心，以FG长为半径画弧，与前弧交于点H，过点D、H作射线，交AC于点E，由此即可得；(2)由(1)可知DE//BC ，利用平行线分线段成比例定理进行求解即可.解：(1)如图所示；(2)∵，∴.∴.【点拨】本题考查了作一个角等于已知角，平行线分线段成比例定理，熟练掌握利用尺规作一个角等于已知角的作图方法是解题的关键.2．(1)见分析(2)见分析【分析】（1）作∠EDF＝∠A，延长AB至F，使BF＝AB，然后作∠DFE＝∠ABC，即可解决问题；（2）结合（1）证明DE是BC的垂直平分线，进而可以解决问题．解：（1）如图所示，△DEF就是所求作的三角形；（2）如图，由（1）知∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠EGC＝∠ACB＝90°，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，∴，即BG＝CG，∴ED垂直平分BC．∴EB＝EC．【点拨】本题考查了作图-复杂作图：作一个角等于已知角，垂直平分线的判定与性质，平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是掌握基本作图方法．3．（1）证明见分析；（2）证明见分析.【分析】（1）根据角平分线的性质及平行线的性质易∠AEF=∠AFE，即可得AE=AF；（2）作CG//EM，交BA的延长线于G，已知AC=AG，根据三角形中位线定理的推论证明BE=EG，再利用三角形的中位线定理即可证得结论．解：（1）∵DA平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD//EM，∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．（2）作CG//EM，交BA的延长线于G．∵EF//CG，∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，∵∠AEF=∠AFE，∴∠G=∠ACG，∴AG=AC，∵BM=CM．EM//CG，∴，∴BE=EG，∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．【点拨】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键．4．（1）6；（2）见分析．【分析】（1）易证DE∥BC，由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解；（2）分三种情况讨论：①若∠CFG＝∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线；②若∠CFG＝∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线；③当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴∵，AE=2，∴，解得：EC＝6；（2）①如图1，若∠CFG＝∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线．证明：∵∠CFG+∠CGF＝90°，∠ECD+∠PCG＝90°，又∵∠CFG＝∠ECD，∴∠CGF＝∠PCG，∴CP＝PG，∵∠CFG＝∠ECD，∴CP＝FP，∴PF＝PG＝CP，∴线段CP是△CFG的FG边上的中线；②如图2，若∠CFG＝∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线．证明：∵DE⊥AC，∴∠EDC+∠ECD＝90°，∵∠CFG＝∠EDC，∴∠CFG+∠ECD＝90°，∴∠CPF＝90°，∴线段CP为△CFG的FG边上的高线．③如图3，当CD为∠ACB的平分线，∠FGC＝∠CDE时，则CD为∠ACB的平分线，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线． 【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定和性质以及直角三角形的性质等知识，正确理解题意、熟练掌握相关知识是解题的关键．5．(1)见分析；(2)见分析【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，再得内错角，由，可得，同位角，等量转化，即可得出结论；（2）由四边形为平行四边形，，，可得四边形为平行四边形，故，再由中位线得，再根据平行线分线段成比例即可得出结论．(1)证明：∵四边形为平行四边形，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．(2)证明：延长交于点M，∵四边形为平行四边形，∴．∵，，∴．∴．∴四边形为平行四边形．∴．∵E为的中点，∴．∴．∴．∴．∴，即G为的中点．【点拨】本题考查了平行四边形的判定及性质、平行线的判定与性质、中位线的判定及性质以及平行线分线段成比例．6．          【分析】（1）连接BE，证明四边形EFBG是矩形，由矩形的对角线相等解得FG=BE，再结合正方形的性质证明，最后由全等三角形的对应边相等得到，据此解答；（2）由正方形的性质证明，由四边形EFBG是矩形证明，利用平行线分线段成比例解得，由正方形的边长为6解得，最后根据勾股定理解答即可．解：（1）FG=DE，理由如下连接BE，在正方形ABCD中，，，四边形EFBG是矩形FG=BE正方形ABCD中，AB=AD，对角线AC平分在与中，FG=DE故答案为：；（2）正方形ABCD中，对角线AC平分四边形是矩形正方形ABCD的边长为6，．【点拨】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．7．(1)见分析(2)正确，见分析【分析】（1）过E作EG∥BC交DC、AB分别于F、G，结合平行线分线段成比例定理可得：，由DE＝EP，可知DF＝FC，可求出EF和EG的值，再利用AB∥CD，可得，进而可求得EM与EN的比值；（2）作MH∥BC交AB于点H，可得一对直角和一组对应边相等，然后根据AB∥CD，可得∠MNH＝∠CMN，结合对顶角的性质可证得∠DPC＝∠MNH，进而可得△DPC≌△MNH，从而有DP＝MN．(1)解：过E作直线GE平行于BC交DC，AB分别于点F，G，（如图1），则，GF＝BC＝12，∵DE＝EP，∴DF＝FC，∴EF＝CP＝＝3，EG＝GF+EF＝12+3＝15，∵AB∥CD，∴；(2)解：正确，证明：作MH∥BC交AB于点H，（如图2），则MH＝CB＝CD，∠MHN＝90°，∵∠DCP＝180°﹣90°＝90°，∴∠DCP＝∠MHN，∵AB∥CD，∴∠MNH＝∠CMN，∵NE是DP的垂直平分线，∴∠CMN＝∠DME＝90°﹣∠CDP，∵∠DPC＝90°﹣∠CDP，∴∠DPC＝∠MNH，∴△DPC≌△MNH（AAS），∴DP＝MN．【点拨】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理、平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识．关键是作出合适的辅助线，使所求的线段在一个三角形中．8．（1）2；（2）见分析；（3）见分析，过程见分析【分析】（1）过点作交于点，运用平行线分线段成比例定理求解即可；（2）过点作，交的延长线于点，连接，可证明，进一步证明，得四边形是平行四边形，从而可得结论；（3）根据题意作出图形即可．解：（1）如图1，过点作交于点．、是的中线，，（2）如图，过点作，交的延长线于点，连接四边形是平行四边形即点是的中点（3）①在上方任取一点，连接、分别交于点、②连接、交于点，连接并延长交于点则点就是所求作的中点【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的重心性质以及平行四边形的判定与性质．关键是由中位线定理得出线段的比．9．(1)见分析(2)见分析【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△ABF即可；（2）先证△ACE∽△AFQ可得∠AEC=∠AQF，求出∠BQF=∠AFE，再证△CAF∽△BFQ，利用相似三角形的性质得出结论．(1)证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵CF=BE，∴CE=BF，在△ACE和△ABF中，，∴△ACE≌△ABF（SAS），∴∠CAE=∠BAF；(2)证明：∵△ACE≌△ABF，∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF，∵AE²=AQ·AB，AC＝AB，∴，即，∴△ACE∽△AFQ，∴∠AEC=∠AQF，∴∠AEF=∠BQF，∵AE＝AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠BQF=∠AFE，∵∠B=∠C，∴△CAF∽△BFQ，∴，即CF·FQ=AF·BQ．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．10．（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；（2）证明见分析．解：（1）利用相似三角形的性质以及全等三角形的性质得出符合题意的答案；（2）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分别得出即可．解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD为角平分线，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，在△ADE和△BDE中∵，∴△ADE≌△BDE（AAS）；证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD为角平分线，∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A，∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD．点评：此题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定．11．(1)2(2)6【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明，得到即可求出；（2）利用平行条件证明，分别求出、的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、，最后通过求出．（1）∵四边形BFED是平行四边形，∴ ，∴，∴，∵，∴，∴；（2）∵四边形BFED是平行四边形，∴，，DE=BF，∴，∴∴，∵，DE=BF，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．【点拨】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．12．(1)证明见分析(2)，与相似，理由见分析(3)【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论；（2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出；（3）根据得出，根据得出，联立方程组求解即可．（1）证明：如图所示：四边形为矩形，，，，，又平分，，，又与互余，与互余，；（2）解：，与相似．理由如下：，，，又，  ，，，；（3）解：，，，，在矩形中对角线相互平分，图中，①，，，，在矩形中，②，由①②，得（负值舍去），．【点拨】本题考查矩形综合问题，涉及到矩形的性质、角平分线的性质、角度的互余关系、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．13．1或3【分析】分两种情况：①当EM⊥AC时∠AME=90°，然后根据三角函数的性质可得解；②当EN⊥AC时，∠MNE=90°，然后根据三角函数的性质可得解．解：由已知△EMN与△AEF相似，△AEF与△HEF全等，所以可以分为两种情况：①当EM⊥AC时，∠AME=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=2，∠B=90∘，∵∠CAB=30°，∴∠AEM=60°，AB=，由已知可得∠AEF=30°，AE=，∴AF=AE⋅tan30°==1；②当EN⊥AC时，∠ANE=90°，∴∠AEN=60°，∴AF=AE⋅tan60°==3，故答案为：1或3.【点拨】本题考查三角形图形变换的应用，熟练掌握折叠、三角形相似、三角形全等及三角函数的性质是解题关键．14．（1）见分析；（2）见分析；（3）成立，理由见分析．【分析】（1）连接PC，根据折叠的性质得MN是PC的垂直平分线，证明AM=PM=AC即可得到结论；（2）易证得△CMN∽△CAB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得，继而可得比例式；（3）首先连接PC，则MN⊥PC，过点P作PE⊥AC于点E，易证得△AEP∽△ACB，△MCN∽△PEC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得成立．解：（1）连接PC，如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°∴∠A=∠B=45°∴MC=NC∵MN是折痕，∴MN垂直平分PC，MN//AB，MC=PM=PN∴CP⊥AB，∠MPC=∠MCP=45°∴∠MPA=45°∴∠MPA=∠A∴AM=PM∴AM=PN（2）如图1， ∵MN是折痕，∴MN垂直平分PC，∵AC=BC，AP=BP，∴CP⊥AB，=1，∴MN∥AB，∴△CMN∽△CAB，∴，∴；（3）当点P不是边AB的中点时，仍然成立．理由：如图（2），连接PC，则MN⊥PC，过点P作PE⊥AC于点E，∵∠ACB=90°，∠A是公共角，∴△AEP∽△ACB，∴，∵AC=BC，∴∠A=∠B=45°，∠APE=∠B=45°，∴AE=EP，∵∠MCN=90°，CP⊥MN，∴∠ECP=∠MNC，∴△MCN∽△PEC，∴，∴，∴．【点拨】此题考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．15．（1）△ABD，△ACD，△DCE（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明见分析；（3）5.【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出△ADE∽△ABD∽△ACD∽△DCE，同理可得：△ADE∽△ACD．△ADE∽△DCE．（2）利用已知首先求出∠BFD=∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性质得出，从而得出△BDF∽△CED∽△DEF．（3）利用△DEF的面积等于△ABC的面积的，求出DH的长，从而利用S△DEF的值求出EF即可解：（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明如下：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∴△BDF∽△CED．∴．∵BD=CD，∴，即．又∵∠C=∠EDF，∴△CED∽△DEF．∴△BDF∽△CED∽△DEF．  （3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD=BC=6．在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，即AD2=102﹣62，∴AD=8．∴S△ABC=•BC•AD=×12×8=48，S△DEF=S△ABC=×48=12．又∵•AD•BD=•AB•DH，∴．∵△BDF∽△DEF，∴∠DFB=∠EFD．  ∵DH⊥BF，DG⊥EF，∴∠DHF=∠DGF．又∵DF=DF，∴△DHF≌△DGF（AAS）．∴DH=DG=．∵S△DEF=·EF·DG=·EF·=12，∴EF=5．【点拨】本题考查了和相似有关的综合性题目，用到的知识点有三角形相似的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，要仔细观察图形、选择合适的判定方法，注意数形结合思想的运用．16．(1)(2)①；②，解答过程见分析(3)或【分析】（1）证、是的中位线，得，，即可得出答案；（2）①过点作于点，于点，先证，得出，再根据（1）所得结论即可得出答案；②过点作于点，于点，证，，推出，，同①得，则，即可得出结论；（3）分和两种情况分别求解可得．（1）解：，，，，，点是的中点，、是的中位线，，，，故答案为：3；（2）①过点作于点，于点，如图2所示：则，四边形是矩形，，即，，，即，，，，同（1）得：，，故答案为：3；②过点作于点，于点，如图3所示：，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，与①同理得：，；（3）如图所示：在中，由勾股定理得：，，与相似分两种情况：①，则，即，整理得：，，；②，则，即，整理得：，，；综上所述，当或时，与相似；故答案为：或．【点拨】本题是相似综合题，考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、旋转的性质、矩形的判定与性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形相似是解题的关键．17．（1）；（2）；（3）与相似时，此时直线的解析式为或【分析】（1）将代入中可求出点的坐标，；（2）由直线所在的函数随的增大而减少，点在线段上，且纵坐标小于2，结合图象写出结果即可；（3）分类讨论当和，利用相似三角形的性质分别求出的坐标，利用待定系数法求即可求出的解析式．解：（1）∵轴， ∴∴把代入可得：∴（2）∵直线所在的函数随的增大而减少，∴点在线段上，且纵坐标小于2∴；（3）由题意得，，，当时，有，即∴∴设直线的解析式为∴解得∴直线的解析式为当时，有，即∴∴设直线的解析式为∴解得∴直线的解析式为综上所述，与相似时，此时直线的解析式为或【点拨】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判断和性质，熟悉掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．18．（1）20，D（12，0）（2）证明见分析（3）E的坐标为（8，0）或（，0）解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠B=90°．在Rt△ABC中，BC=AB÷tan∠ACB=16÷="12" ，AC=．则AO=BC=12．∴ A（-12，0）．∵点D与点A关于轴对称，∴D（12，0）．（2）∵点D与点A关于y轴对称，∴∠CDE=∠CAO．∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，∴∠CDE=∠CEF．又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE（三角形外角性质），∴∠AEF=∠DCE．则在△AEF与△DCE中，∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，∴△AEF∽△DCE．（3）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：①当CE=EF时，∵△AEF∽△DCE，∴△AEF≌△DCE．∴AE=CD=20．∴OE=AE－OA=20－12=8．∴E（8，0）．②当EF=FC时，如图所示，过点F作FM⊥CE于M，则点M为CE中点．∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=EF．∵点D与点A关于y轴对称，∴CD=AC=20．∵△AEF∽△DCE，∴ ，即 ，解得．∴OE=AE－OA=，∴E（ ，0）．③当CE=CF时，则有∠CFE=∠CEF，∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，∴∠CFE=∠CAO．即此时F点与A点重合，这与已知条件矛盾．综上所述，当△EFC为等腰三角形时，点E的坐标为（8，0）或（，0）．（1）利用矩形的性质，在Rt△ABC中，利用三角函数求出AC、BC的长度，从而得到A点坐标；由点D与点A关于y轴对称，进而得到D点的坐标．（2）欲证△AEF与△DCE相似，只需要证明两个对应角相等即可，在△AEF与△DCE中，易知∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，从而问题解决．（3）当△EFC为等腰三角形时，需要分CE=EF，EF=FC，CE=CF三种情况讨论．19．（1）；（2）最大值为，最小值为；（3）的值为或.【分析】（1）作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．证明△FHE≌△MQN（ASA），即可解决问题．（2）由题意：2a≤MN≤a，a≤EF≤a，当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大，最大值=，当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为．（3）连接FN，ME．由k=3，MP=EF=3PE，推出，推出，由△PNF∽△PME，推出=2，ME∥NF，设PE=2m，则PF=4m，MP=6m，NP=12m，接下来分两种情形①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合．②如图3中，当点N与C重合，分别求解即可．解：（1）作，，如图1.∵四边形为正方形，∴，，∴.∵，∴，，∴，∴，∴.（2）∵，∴.由题意得，，，当取最长时，可取到最短，此时的值最大，最大值为，当取最短时，可取到最长，此时的值最小，最小值为.（3）连结，，∵，，∴，∴，∴，∴，.设，则，，.①当点与点重合时， 如图2，点恰好与点重合，过点作于点，∵，∴，，，∴.②当点与点重合时，如图3，过点作于点，则，，∴，∴.∵，∴.又∵，∴，∴，∴.综上所述，的值为或.【点拨】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.20．（1）结论：CF=2DG，理由见分析；（2）△PCD的周长的最小值为10+2．【分析】（1）结论：CF=2DG．只要证明△DEG∽△CDF即可；（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.解：（1）结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴==，∴CF=2DG．（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，∴EH=2DH=2，∴HM==2，∴DM=CN=NK==1，在Rt△DCK中，DK===2，∴△PCD的周长的最小值为10+2．【点拨】本题考查正方形的性质、轴对称最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会理由轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．21．（1）①见分析，②45；（2）135°；（3）【分析】（1）①根据旋转角，旋转方向画出图形即可．②只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可．（2）如图2，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．证明△ABC≌△EAH（AAS）即可解决问题．（3）如图3中，由AE⊥BC，BE＝EC，推出AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，只要证明∠GDC＝90°，可得CG＝，由此即可解决问题．解：（1）①如图，△AB′C′即为所求．②由作图可知，△ABB′是等腰直角三角形，∴∠AB′B＝45°，故答案为45．（2）如图2中，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．∵∠C＝∠BAE＝∠H＝90°，∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB+∠EAH＝90°，∴∠B＝∠EAH，∵AB＝AE，∴△ABC≌△EAH（AAS），∴BC＝AH，EH＝AC，∵BC＝CD，∴CD＝AH，∴DH＝AC＝EH，∴∠EDH＝45°，∴∠ADE＝135°．（3）如图③中，∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD＝kAB，∴DG＝kBC＝2k，∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG+∠ADC＝90°，∴∠GDC＝90°，∴CG＝＝．∴BD＝CG＝．【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．22．(1)(2)16(3)BP的长度为2或3或6或7．【分析】（1）由正方形的性质可得，，根据ASA可证，由全等三角形的性质可得结论；（2） 过点O作交AD于点M，交BC于点N，作交AB于点T，交CD于点R，证明△进而证明；（3）分三种情况：利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠∵是对角线，∴∠，∴∠，∵四边形是正方形，∴∠，∴∠又∠∴，∴∴故答案为: （2）过点O作交AD于点M，交BC于点N，作交AB于点T，交CD于点R，如图，∵点O是正方形ABCD的中心，∴ 又∠A=90°∴四边形ATOM是正方形，∴ 同（1）可证△∴（3）解：在直线BE上存在点P，使△APF为直角三角形，①当∠AFP=90°时，如图④，延长EF，AD相交于点Q，∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴EQ=AB=6，∠BAD=∠B=∠E=90°，∴四边形ABEQ是矩形，∴AQ=BE=BC+CE=8，EQ=AB=6，∠Q=90°=∠E，∴∠EFP+∠EPF=90，∵∠AFP=90°，∴∠EFP+∠AFQ=90°，∴△EFP∽△QAF，∴，∵QF=EQ-EF=4，∴，∴EP=1，∴BP=BE-EP=7；②当∠APF=90°时，如图⑤，同①的方法得，△ABP∽△PEF，∴，∵PE=BE-BP=8-BP，∴，∴BP=2或BP=6；③当∠PAF=90°时，如图⑥，过点P作AB的平行线交DA的延长线于M，延长EF，AD相交于N，同①的方法得，四边形ABPM是矩形，∴PM=AB=6，AM=BP，∠M=90°，同①的方法得，四边形ABEN是矩形，∴AN=BE=8，EN=AB=6，∴FN=EN-EF=4，同①的方法得，△AMP∽△FNA，∴，∴，∴AM=3，∴BP=3，即BP的长度为2或3或6或7．【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键．23．(1)[问题提出]（1）；（2）见分析(2)[问题拓展]【分析】[问题探究]（1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得，，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，即可求解；（2）取的中点，连接．证明，可得，根据，证明，根据相似三角形的性质可得，进而可得；[问题拓展]方法同（2）证明，得出，，证明，得到，进而可得．（1）[问题探究]：（1）如图，中，，是的中点，，是等边三角形，，， ，，，，，，，．（2）证明：取的中点，连接．∵是的中点，∴，．∵，∴，∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．（2）[问题拓展]如图，取的中点，连接．∵是的中点，∴，．∵，∴，∴．∵，∴．∴．∴．∴．，∴．∵，∴．∴．∴．∴．．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．24．（1），30°；（2）成立，理由见分析；拓展延伸：或【分析】（1）通过证明，可得，，即可求解；（2）通过证明，可得，，即可求解；拓展延伸：分两种情况讨论，先求出，的长，即可求解．解：（1）如图1，，，，，如图2，设与交于点，与交于点，绕点按逆时针方向旋转，，，，，又，，直线与所夹锐角的度数为，故答案为：，；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设与交于点，与交于点，将绕点按逆时针方向旋转，，又，，，，又，，直线与所夹锐角的度数为．拓展延伸：如图4，当点在的上方时，过点作于，，，点是边的中点，，，，，，，，、、三点共线，，，，，由（2）可得：，，，的面积；如图5，当点在的下方时，过点作，交的延长线于，同理可求：的面积；故答案为：或．【点拨】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．25．(1)(2)(3)仍然成立，理由见分析(4)【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，根据题意可得，根据等原三角形的性质可得平分，即可得，根据旋转的性质可知；（2）证明，可得，根据等腰直角三角形可得，由，即可即可得出；（3）同（2）可得，过点，作，交于点，证明，，可得，即可得出；（4）过点作，交于点，证明，可得，，在中，勾股定理可得，即可得出．解：（1）等腰直角三角形和等腰直角三角形，，故答案为：（2）在与中，又重合，故答案为：（3）同（2）可得，过点，作，交于点，则，，在与中，，，，是等腰直角三角形，，，，，在与中，，，，，即，（4）过点作，交于点，，，，，，，，，，，，，，中，，，即．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键．26．（1）见分析；（2）；（3）【分析】（1）根据SAS证明，进而即可得到结论；（2）先证明，得，进而即可求解；（3）在上取一点F，使得，连结，可得，从而得，可得，，最后证明，即可求解．解：（1）∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即平分；（2）∵，∴，∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴；（3）如图，在上取一点F，使得，连结．∵平分，∴∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∵，又∵，∴∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键．27．（1）见分析；（2）；（3）【分析】（1）利用三角形的外角性质可求解；（2）由直角三角形的性质和角平分线的性质可得AF=FC，AF=BF，通过证明△ABG∽△BCA和△ABF∽△BAD，利用相似三角形的性质可求解；（3）通过证明△ABH∽△ACB，可得AB2=AC×AH，设BD=m，AB=km，由勾股定理可求AC的长，可求AH，HC的长，即可求解．解：证明：（1）∵∴∵,∴（2）设，∴∵，∴∵平分∴∴，∴∴∵，∴∽∴∵，∴∽∴，且，∴，即∴（3）∵，∴，且∴∽∴∴设，∵∴∴∴∴∴∴【点拨】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键．28．(1)见分析(2)26(3)【问题解决】延长CD至点E，使DE＝CD，连接AE，BE，先证四边形ACBE是平行四边形，再由∠ACB＝90°，得平行四边形ACBE为矩形，然后由矩形的性质即可得出结论；【应用探究】（1）连接DE，先证∠EDB＝2∠BCE，再由直角三角形斜边上的中线性质得DE＝BE，则∠B＝∠EDB＝2∠BCE，再由三角形的外角性质即可求解；（2）过E作EM⊥CF于M，过H作HN⊥GF于N，延长AD、FG交于点P，则四边形ACFP、四边形ABGP是矩形，得PF＝AC＝11，AP＝BG，∠APF＝90°，再由正方形的性质得AD＝AB＝4，FG＝BG＝BC＝AC﹣AB＝7，然后证HN是△PDF的中位线，得PN＝FN＝，HN＝PD＝ ，最后由勾股定理求解即可．（1）解：证明：延长CD至点E，使DE＝CD，连接AE，BE．∵CD为斜边AB上的中线，∴AD＝BD，∴四边形ACBE是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴平行四边形ACBE为矩形，∴AB＝EC，∴CD＝CE＝AB；（2）解：如图2，连接DE，∵点F是CE的中点，DF⊥CE，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠BCE，∴∠EDB＝∠DEC+∠BCE＝2∠BCE，∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝90°，∵CE是中线，∴AE＝BE，∴DE＝AB＝BE，∴∠B＝∠EDB＝2∠BCE，∴∠AEC＝∠B+∠BCE＝3∠BCE＝78°，∴∠BCE＝26°，故答案为：26；（3）解：如图，过E作EM⊥CF于M，过H作HN⊥GF于N，延长AD、FG交于点P，则四边形ACFP、四边形ABGP是矩形，∴PF＝AC＝11，AP＝BG，∠APF＝90°，∵四边形ABED和四边形BCFG是正方形，∴AD＝AB＝4，FG＝BG＝BC＝AC﹣AB＝11﹣4＝7，∴AP＝BG＝7，∴PD＝AP﹣AD＝7﹣4＝3，∵HN⊥PF，AP⊥PF，∴∠HNG＝90°，HN∥PD，∵点H为DF的中点，∴HN是△PDF的中位线，∴PN＝FN＝PF＝，HN＝PD＝，∴GN＝FG﹣FN＝7﹣＝，在Rt△GHN中，由勾股定理得：GH＝，故答案为：．【点拨】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和矩形的判定与性质是解题的关键．