苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题5.10 二次函数y=a(x-h)²(a≠0)的图象与性质（知识讲解）（附答案）

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专题5.10 二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象与性质（知识讲解）【学习目标】1.会用描点法画出二次函数y=a（x-h）²(a、h、常数，a≠0)的图象．掌握抛物线y=a（x-h）²与图象之间的关系；2.熟练掌握函数y=a（x-h）²的有关性质，并能用函数y=a（x-h）²的性质解决一些实际问题；3.经历探索y=a（x-h）²的图象及性质的过程，体验y=a（x-h）²与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳理】函数y=a（x-h）²(a、h、常数，a≠0)的图象与性质【典型例题】【类型一】二次函数y=a（x-h）²(a、h、常数，a≠0)的开口方向、对称轴、顶点坐标1．抛物线经过点．(1)求的值；(2)写出该抛物线顶点坐标，对称轴．【答案】(1)(2)顶点坐标为，对称轴为直线【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，直接把（1，-1）代入可求出a=-1；（2）根据顶点式可直接写出顶点坐标与对称轴．（1）解：把（1，-1）代入得=-1，解得；（2）∵抛物线解析式为，∴顶点坐标为，对称轴为直线．【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握顶点式是解题的关键．举一反三：【变式1】确定抛物线y＝﹣x2+6x+1的开口方向、对称轴和顶点．【答案】开口向下，对称轴x＝3，顶点坐标（3，10）【分析】把二次函数化为顶点式，即可得出开口方向、对称轴及顶点坐标．解：∵y＝﹣x2+6x+1＝﹣（x﹣3）2+10，∴开口向下，对称轴x＝3，顶点坐标（3，10）．【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）是解题的关键．【变式2】用配方法将二次函数的解析式化为的形式，并指出该函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴．【答案】，开口向下，顶点（1，1），对称轴：直线x=1．【分析】先利用配方法直接把二次函数化成顶点式，再利用的正负判断开口方向，通过二次函数顶点式的性质，求出顶点坐标和对称轴即可．解：利用配方法可得： 函数开口方向向下． 由二次函数顶点式的性质可知：顶点坐标为（1，1），其对称轴为直线x=1．【点拨】本题主要是考察了利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，通过顶点式求出相应的顶点坐标和对称轴，因此熟练掌握配方法和顶点式的相关性质，是解决本题的关键．【类型二】二次函数y=a（x-h）²(a、h、常数，a≠0)的图象增减性2．已知直线与x轴交于点A，抛物线的顶点平移后与点A重合．（1）求平移后的抛物线C的解析式；（2）若点，在抛物线C上，且，试比较，的大小．【答案】（1）；（2）【分析】（1）令，求出点的坐标，然后根据二次函数的平移求解即可．（2）根据二次函数的增减性解答即可．解：（1）∵，∴令，则，∴，即抛物线C的顶点坐标为，又抛物线C是由抛物线平移得到的，∴，∴抛物线C的解析式为．（2）由（1）知，抛物线C的对称轴为直线．∵，∴当时，y随x的增大而减小，又∵，∴．【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，一次函数与坐标轴的交点，熟知二次函数的基本性质是解本题的关键．举一反三：【变式】对于二次函数．它的图象与二次函数的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？当取哪些值时，的值随的增大而增大？当取哪些值时，的值随的增大而减小？【分析】（1）由于二次函数y=-3（x+2）2与y=-3x2的二次项系数相同，所以将y=-3x2的图象向左平移2个单位可以得到y=-3（x+2）2的图象，由二次函数的性质可知它是轴对称图形，二次项系数小于0，开口向下，再根据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标及对称轴；（2）由对称轴及开口方向即可确定抛物线的增减性．解：将的图象向左平移个单位可以得到的图象，∵，∴抛物线开口向下，它是轴对称图形，对称轴为，顶点坐标是；∵，抛物线开口向下，∴当时，的值随的增大而增大；当时，的值随的增大而减小．【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．【类型三】二次函数y=a（x-h）²(a、h、常数，a≠0)的图象位置3．在同一坐标系中，画出函数y1＝2x2，y2＝2(x－2)2与y3＝2(x＋2)2的图象，并说明y2，y3的图象与y1＝2x2的图象的关系．【答案】图象见分析，y2，y3的图象是把y1的图象分别向右和向左平移2个单位得到的试题分析：根据描点法，可得函数图象，根据图象间的关系，可得答案．解：如图，y2的图象由y1=2x2的图象向右平移2个单位得到；y3的图象由y1=2x2的图象向左平移2个单位得到．举一反三：【变式】在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2，y=(x+2)2，y=(x-2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标.【答案】图形见分析，抛物线y=x2的对称轴是直线x=0，顶点坐标为(0，0).抛物线y=(x+2)2的对称轴是直线x=-2，顶点坐标为(-2，0).抛物线y=(x-2)2的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2，0).利用描点法可画出这三个函数的图象，分别由图象可得出对称轴及顶点坐标．解：函数图象如图所示：抛物线y=x2的对称轴是直线x=0,顶点坐标为(0,0).抛物线y=(x+2)2的对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,0).抛物线y=(x-2)2的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,0).【类型四】二次函数y=a（x-h）²(a、h、常数，a≠0)的综合应用4．如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC;【答案】 【分析】过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，由抛物线y=得C（2，0），于是得到对称轴为直线x=2，设B（m，n），根据△ABC是等边三角形，得到BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，求出PB=PC=（m-2），由于PB=n=，于是得到（m-2）=，解方程得到m的值，然后根据三角形的面积公式即可得到结果．解：过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，由抛物线y=得C（2，0），∴对称轴为直线x=2，设B（m，n），∴CP=m-2，∵AB∥x轴，∴AB=2m-4，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，∴PB=PC=（m-2），∵PB=n=，∴（m-2）=，解得m=，m=2（不合题意，舍去），∴AB=，BP=，∴S△ABC=．【点拨】本题考查二次函数的性质.举一反三：【变式】已知二次函数的图象如图所示，求的面积．  【答案】1【分析】利用二次函数的顶点式可得到点A的坐标，再由x=0求出对应的y的值，可得到点B的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△ABO的面积．解：∵二次函数∴顶点∵点在图像上且在轴上，即时的坐标∴∴∴的面积【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据解析式求出交点坐标是关键．的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．