中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型21瓜豆原理之直线型(原卷版+解析)

这是一份中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型21瓜豆原理之直线型(原卷版+解析)，共46页。

运动轨迹为直线
问题1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？

解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？

解析：当CP与CQ夹角固定，且AP=AQ时，P、Q轨迹是同一种图形，且PP1=QQ1
理由：易知△CPP1≌△CPP1，则∠CPP1=CQQ1，故可知Q点轨迹为一条直线.
模型总结
条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量．
结论：① 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；
② 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角
③ 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；
例题精讲
【例1】.如图，在平面直角坐标系中，A（－3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．
变式训练
【变式1-1】．如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ＝90°，当点P在线段BC上运动时，画出点Q的运动轨迹．
【变式1-2】．如图，等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝6，点M是BC边上的高AD所在直线上的点，以BM为边作等边△BMN，连接DN，则DN的最小值为 ．
【变式1-3】．如图，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），动点P在线段AB上，点P、C、M按逆时针顺序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，当点P从点A运动到点B时，则点M运动的路径长为 ．
【例2】．如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A．B．1C．2D．
变式训练
【变式2-1】．如图，等边△ABC的边长为4，点D是边AC上的一动点，连接BD，以BD为斜边向上作等腰Rt△BDE，连接AE，则AE的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．2
【变式2-2】．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．0.5B．2.5C．D．1
【变式2-3】．如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为4，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为 ．


1．如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为（ ）
A．2B．1+322C．22D．52
2．如图，已知直线y＝kx+2k分别交x轴和y轴于A，B两点，以AB为边作等边△ABC（A，B，C三点逆时针B排列），D，E两点坐标分别为（﹣6，0），（﹣1，0），连接CD，CE，则CD+CE的最小值为（ ）
A．6B．C．6.5D．7
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，点D在BC上，且CD＝2，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点Q为直径PD上方半圆的中点，连接AQ，则AQ的最小值为（ ）
A．2B．2C．4D．4
4．如图，∠AOB＝30°，OD＝4，当点C在OA上运动时，作等腰Rt△CDE，CD＝DE，则O，E两点间距离的最小值为 ．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为________
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，BC＝5，CD＝2，点E是边AC所在直线上的一动点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，则BF的最小值为 ．
8．如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 ．
9．如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝120°，E是BC的中点，F是对角线AC上的动点，连接EF，将线段EF绕点F按逆时针旋转30°，G为点E对应点，连接CG，则CG的最小值为 ．
10．如图，已知△ABC为直角三角形，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝4，D是直线AB上一点．以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，求AE的最小值．
11．如图，在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上中点，点F为直线BD上一点．当点M为BE中点，点N在边AC上，且 DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+12MP最小时，直接写出△DPN 的面积．
12．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接BE．
（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD＝BE；
（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，以AD为边向右作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，AD＝AE．
（1）在图①中，画出当点D从点B运动到点C的过程中，点E的运动轨迹；
（2）如图②，若AB＝6，点F为AB的中点，连接EF，求EF的最小值．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．
（1）当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证：AM＝AB；
（2）当AE＝3时，求CF的长；
（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．
15．问题提出：
（1）如图①，△BCE≌△ACD，请在图中找到一组相似的三角形 ．
问题探究：
（2）如图②，点D为等腰直角三角形ABC的直角边BC上的动点，AD绕点D顺时针旋转90°得到ED，连接BE，求∠ADE与∠E的关系．
（3）如图③，点D是等边三角形ABC的AC上的动点．连接DB，将DB绕点D逆时针旋转120°得到DE，连接EA，EC，若AB＝2，直接写出EA+EC的最小值．
16．菱形ABCD的对角线交于点O．
（1）如图1，过菱形ABCD的顶点A作AE⊥BC于点E，交OB于点H，若∠ABC＝60°，四边形AECD的面积为24，求菱形ABCD的边长；
（2）如图2，菱形ABCD中，过顶点A作AF⊥BC于点E，交DC延长线于点F，线段AF交OB于点H，若AD＝AF，求证：OH＝BH﹣OC；
（3）如图3，菱形ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝9，点P为射线AD上一动点，连接BP，将BP绕点B逆时针旋转60°到BQ，连接AQ，直接写出线段AQ的最小值．
17．如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是抛物线上一动点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）当点P不与点A、B重合时，作直线AP，交直线BC于点Q，若△ABQ的面积是△BPQ面积的4倍，求点P的横坐标．
（3）如图②，当点P在第一象限时，连接AP，交线段BC于点M，以AM为斜边向△ABM外作等腰直角三角形AMN，连接BN，△ABN的面积是否变化？如果不变，请求出△ABN的面积；如果变化，请说明理由．

运动轨迹为直线
问题1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？

解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？

解析：当CP与CQ夹角固定，且AP=AQ时，P、Q轨迹是同一种图形，且PP1=QQ1
理由：易知△CPP1≌△CPP1，则∠CPP1=CQQ1，故可知Q点轨迹为一条直线.
模型总结
R条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量．
R结论：① 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；
② 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角
③ 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；
例题精讲
【例1】.如图，在平面直角坐标系中，A（－3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．
解：求OP最小值需先作出P点轨迹，根据△ABP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．
取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹．
根据∠ABP＝60°，可知：与y轴夹角为60°，作OP⊥，所得OP长度即为最小值，OP2＝OA＝3，所以．
变式训练
【变式1-1】．如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ＝90°，当点P在线段BC上运动时，画出点Q的运动轨迹．
解：如图，直线QF即为所求．
【变式1-2】．如图，等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝6，点M是BC边上的高AD所在直线上的点，以BM为边作等边△BMN，连接DN，则DN的最小值为 ．
解：如图，连接CN，
∵△ABC和△BMN是等边三角形，
∴AB＝BC，BM＝BN，∠ABC＝∠MBN＝60°，
∴∠ABM＝∠CBN，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，BD＝CD＝3，
在△ABM和△CBN中，
，
∴△ABM≌△CBN（SAS），
∴AM＝CN，∠BAD＝∠BCN＝30°，
∴点N在与BC成30度的射线CN上运动，
∴当DN⊥CN时，DN有最小值，
∵DN⊥CN，∠BCN＝30°，
∴DN＝CD＝，
故答案为：．
【变式1-3】．如图，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），动点P在线段AB上，点P、C、M按逆时针顺序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，当点P从点A运动到点B时，则点M运动的路径长为 6 ．
解：∵点A（﹣3，0），B（0，3），
∴AB＝，
∵C（﹣1，4），动点P在线段AB上，∠CPM＝90°，CP＝MP，
∴，P为主动点，M为从动点，C为定点，
由“瓜豆原理”得P运动路径（AB）与M运动路径之比等于，
∴点M运动的路径长为÷＝6，
故答案为：6．
【例2】．如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A．B．1C．2D．
解：如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN＝60°，
又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，
∴∠HBN＝∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB＝AB，
∴HB＝BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM＝BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG＝NH，
根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∵∠BCH＝×60°＝30°，CG＝AB＝×5＝，
∴MG＝CG＝，
∴HN＝， 故选：A．
变式训练
【变式2-1】．如图，等边△ABC的边长为4，点D是边AC上的一动点，连接BD，以BD为斜边向上作等腰Rt△BDE，连接AE，则AE的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．2
解：如图，过点B作BH⊥AC于H点，作射线HE，
∵△ABC是等边三角形，BH⊥AC，
∴AH＝2＝CH，
∵∠BED＝∠BHD＝90°，
∴点B，点D，点H，点E四点共圆，
∴∠BHE＝∠BDE＝45°，
∴点E在∠AHB的角平分线上运动，
∴当AE⊥EH时，AE的长度有最小值，
∵∠AHE＝45°，
∴AH＝AE＝2，
∴AE的最小值为， 故选：B．
【变式2-2】．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．0.5B．2.5C．D．1
解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EHG，连接BH，得到△EFB≌△EHG
从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，
延长HM交CD于点N．
则△EFB≌△EHG，
∴HE＝BE＝1，∠BEH＝60°，∠GHE＝∠FBE＝90°，
∴△EBH为等边三角形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FBE＝90°，
∴∠GHE＝∠FBE＝90°，
∴点G在垂直于HE的直线HN上，
作CM⊥HN，由垂线段最短可知，CM即为CG的最小值，
作EP⊥CM，连接BH，EH，
则四边形HEPM为矩形，
∴MP＝HE＝1，∠HEP＝90°，
∴∠PEC＝30°．
∵EC＝BC﹣BE＝3，
∴CP＝EC＝，
∴CM＝MP+CP＝1+＝，
即CG的最小值为．
方法二：以CE为边作等边三角形CEH，连接FH，
则△CEG≌△EFH，
∴CG＝FH，
当FH⊥AB时，FH最小＝1+＝．
故选：B．

【变式2-3】．如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为4，O为AB的中点，P为AC边上的动点，
OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为 2 ．

解：连接OC，OM、CM，如图，
∵M为PQ的中点，
∴OM＝PQ，CM＝PQ，
∴OM＝CM，
∴点M在OC的垂直平分线上，
∴点M运动的轨迹为△ABC的中位线，
∴点M所经过的路线长＝AB＝2．
故答案为2．

1．如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为（ ）
A．2B．1+322C．22D．52
解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接GT，连接DE交CG于J．
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，∠B＝∠BCD＝90°，
∵∠BET＝∠FEG＝45°，∴∠BEF＝∠TEG，
在△EBF和△TEG中，EB=ET∠BEF=∠TEGEF=EG，
∴△EBF≌△TEG（SAS），∴∠B＝∠ETG＝90°，
∴点G的在射线TG上运动，∴当CG⊥TG时，CG的值最小，
∵BC＝4，BE＝1，CD＝3，∴CE＝CD＝3，
∴∠CED＝∠BET＝45°，∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°，
∴四边形ETGJ是矩形，∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE＝1，
∴CJ⊥DE，∴JE＝JD，∴CJ=12DE=322，∴CG＝CJ+GJ＝1+322，
∴CG的最小值为1+322，故选：B．
2．如图，已知直线y＝kx+2k分别交x轴和y轴于A，B两点，以AB为边作等边△ABC（A，B，C三点逆时针B排列），D，E两点坐标分别为（﹣6，0），（﹣1，0），连接CD，CE，则CD+CE的最小值为（ ）
A．6B．C．6.5D．7
解：∵点B在直线y＝kx+2k上，
∴k（x+2）＝0，
∵k≠0，
∴x﹣2＝0，
∴A（﹣2，0），
∵E（﹣1，0），D（﹣6，0），
在x轴上方作等边△AOF，
∵∠CAB＝∠FAO＝60°，
∴∠CAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAO，
即∠CAF＝∠BAO，
在△AOB和△AFC中，
，
∴△AOB≌△AFC（SAS），
∴∠AFC＝∠AOB＝90°，
∴点C的轨迹为定直线CF，
作点E关于直线CF的对称点E'，连接CE'，CE＝CE'，
∴CD+CE＝CD+CE'，
∴当点D、C、E'在同一条直线上时，DE'＝CD+CE的值最小，
∵AF＝AO＝2，∠FAO＝60°，∠AFG＝90°，
∴AG＝4，EG＝3，EE'＝2×AF＝3，
即E'（，），
∴（CD+CE）的最小值＝DE'＝＝7，
故选：D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，点D在BC上，且CD＝2，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点Q为直径PD上方半圆的中点，连接AQ，则AQ的最小值为（ ）
A．2B．2C．4D．4
解：如图，连接OQ，CQ，过点A作AT⊥CQ交CQ的延长线于T，
∵，
∴OQ⊥PD，
∴∠QOD＝90°，
∴∠QCD＝，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACT＝45°，
∵AT⊥CT，
∴∠ATC＝90°，
∵AC＝8，
∴AT＝AC•sin45°＝4，
∵AQ≥AT，
∴AQ≥4，
∴AQ的最小值为：4，
故选：D．
4．如图，∠AOB＝30°，OD＝4，当点C在OA上运动时，作等腰Rt△CDE，CD＝DE，则O，E两点间距离的最小值为 ．
解：∵∠AOB＝30°，OD＝4，点C在OA上运动时，CD＝DE，CD⊥DE，
∴C为主动点，E为从动点，D为定点，
由“瓜豆原理”，C在OA上运动，则E在垂直OA的直线上运动，
当DC⊥OA时，如答图：
过E作EM⊥OA于M，交OB于N，则直线MN即为E的运动轨迹，OM的长为O，E两点间距离的最小值，
∵∠AOB＝30°，OD＝4，DC⊥OA，∴CD＝2，
∵CD＝DE，∴DE＝2，
∵∠OCD＝∠CDE＝90°，∴DE∥OA，而EM⊥OA，
∴∠DEN＝90°，∠EDN＝30°，∴在△DEN中可得DN=433，
∴ON＝4+433，△OMN中可得OM=32×（4+433）＝2+23，故答案为：2+23．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为________
解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP＝∠BAD＝90°，
∵△ABF，△APQ都是等边三角形，
∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，
∴∠BAP＝∠FAQ，
在△BAP和△FAQ中，
，
∴△BAP≌△FAQ（SAS），
∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，
∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，
∵AB＝AF＝5，AE＝AF÷cs30°＝，
∴点Q在射线FE上运动，
∵AD＝BC＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝，
∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，
∴DH＝DE•sin60°＝×＝，
根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，BC＝5，CD＝2，点E是边AC所在直线上的一动点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，则BF的最小值为 ．
解：如图，以BD为边作等边三角形DBH，连接EH，过点H作HN⊥BD于N，
∵BC＝5，CD＝2，∴BD＝3，
∵△DHB是等边三角形，HN⊥BD，
∴DN＝BN=32，DB＝DH，∠HDB＝60°，∴CN=72，
∵将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴∠EDF＝∠HDB，∴∠EDH＝∠FDB，
在△DHE和△DBF中，DE=DF∠EDH=∠FDBDH=DB，
∴△DHE≌△DBF（SAS），∴EH＝BF，
∴当EH有最小值时，BF有最小值，
由垂线段最短可得：当EH⊥AC时，EH有最小值，
此时，∵EH⊥AC，∠ACB＝90°，HN⊥DB，
∴四边形CNHE是矩形，∴HE＝CN=72，故答案为：72．
7．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，BEBF=43，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为 ．
解：如图，过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，
∵BEBF=ABBC=43，∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴∠CAB＝∠FEB，
∵∠APB＝∠EGB＝90°，∴△ABP∽△EBG，
∴ABPB=EBGB=1sin∠BAC=ACBC=53，∠ABP＝∠EBG，∴∠ABE＝∠PBG，
∴△ABE∽△PBG，∴∠BPG＝∠BAE，
即在点E的运动过程中，∠BPG的大小不变且等于∠BAC，
∴当CG⊥PG时，CG最小，
设此时AE＝x，∵AEPG=ABPB=53，∴PG=35x，
∵CG⊥PG，∴∠PCG＝∠BPG＝∠BAC，∴CPPG=53，
代入PG=35x，解得CP＝x，
∵CP＝BC•sin∠CBP＝BC•sin∠BAC=185，
∴x=185，∴AE=185．∴CE=325，故答案为：325．
8．如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 ．
解：如图1所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，BBi，
∵AO⊥AB1，AP⊥ABi，
∴∠OAP＝∠B1ABi，
又∵AB1＝AO•tan30°，ABi＝AP•tan30°，
∴AB1：AO＝ABi：AP，
∴△AB1Bi∽△AOP，
∴∠AB1Bi＝∠AOP．
同理得△AB1B2∽△AON，
∴∠AB1B2＝∠AOP，
∴∠AB1Bi＝∠AB1B2，
∴点Bi在线段B1B2上，即线段B1B2就是点B运动的路径（或轨迹）．
由图形2可知：Rt△APB1中，∠APB1＝30°，
∴，
Rt△AB2N中，∠ANB2＝30°，
∴＝，
∴，
∵∠PAB1＝∠NAB2＝90°，
∴∠PAN＝∠B1AB2，
∴△APN∽△AB1B2，
∴＝＝，
∵ON的解析式为：y＝﹣x，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴OM＝MN＝，
∴PN＝，
∴B1B2＝，
综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B1B2，其长度为．
故答案为：．

9．如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝120°，E是BC的中点，F是对角线AC上的动点，连接EF，将线段EF绕点F按逆时针旋转30°，G为点E对应点，连接CG，则CG的最小值为 ．
解：如图取CD的中点K，连接FK，KG，EK，延长KG交BC于J，作CH⊥JK于H．
∵四边形ABCD是菱形，∴∠FCE＝∠FCK，CB＝CD，AB∥CD，
∴∠DCB+∠B＝180°，
∵∠B＝120°，∴∠DCB＝60°，
∵BE＝EC，CK＝KD，∴CK＝CE，∴△ECK是等边三角形，
∵CF＝CF，∠FCK＝∠FCE，CK＝CE，
∴△FCK≌△FCE（SAS），∴FK＝FE，
∵FG＝FE，∴FE＝FG＝FK，∴∠EKG=12∠EFG＝15°，
∵∠CKE＝60°，∴∠CKJ＝45°，∴点G在直线KJ上运动，
根据垂线段最短可知，当点G与H重合时，CG的值最小，
在Rt△CKH中，∵∠CKH＝45°，∠CHK＝90°，CK=12CD＝2，
∴CH＝KH=2，∴CG的最小值为2，故答案为2．
10．如图，已知△ABC为直角三角形，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝4，D是直线AB上一点．以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，求AE的最小值．
解：如图，作CH⊥AB于H，取CD的中点O，连接OE，OH，EH，作AG⊥EH交EH的延长线于G．
∵∠CED＝∠CHD＝90°，CO＝OD，
∴OE＝OH＝OC＝OD，
∴C，E，H，D四点共圆，
∴∠EHC＝∠EDC＝45°，
∴∠AHG＝90°﹣∠EHC＝45°，
∴点E的运动轨迹是直线GH，当AE与AG重合时，AE的值最小，
在Rt△ABC中，∵BC＝4，∠CAB＝30°，
∴AC＝BC＝4，AH＝AC•cs30°＝6，
∵AG⊥HG，
∴∠G＝90°，
∵∠AHG＝∠GAH＝45°，
∴AG＝GH＝AH＝3，
∴AE的最小值为3
11．如图，在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上中点，点F为直线BD上一点．当点M为BE中点，点N在边AC上，且 DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+12MP最小时，直接写出△DPN 的面积．
解：以M为顶点，MP为一边，作∠PML＝30°，ML交BD于点G，过点P作PH⊥ML于点H，设MP交BD于点K，如图，
Rt△PMH中，HP=12MP，∴NP+12MP最小即NP+HP最小，此时N、P、H共线，
∵将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，
∴F在射线QF上运动，则点P在MP上运动，根据“瓜豆原理”，F为主动点，P是从动点，E为定点，∠FEP＝60°，则F、P轨迹的夹角∠QKP＝∠FEP＝60°，
∴∠BKM＝60°，
∵∠ABD＝30°，∴∠BMK＝90°，∵∠PML＝30°，∴∠BML＝60°，
∴∠BML＝∠A，∴ML∥AC，∴∠HNA＝180°﹣∠PHM＝90°，
∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠HNA＝∠PHM＝90°，∴四边形GHND为矩形，∴DN＝GH，
∵等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，∴CD＝3，
又∵DN＝2NC，∴等边△ABC中，AB＝6，点E为AB的中点，点M为BE中点，
∴BM=32，BD＝AB•sinA＝6×sin60°=33，
Rt△BGM中，MG=12BM=34，BG＝BM•cs30°=334，
∴MH＝MG+GH=114，GD＝BD﹣BG=934，Rt△MHP中，HP＝MH•tan30°=11312，
∴PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP=433，∴S△DPN=12PN⋅DN=433．
12．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接BE．
（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD＝BE；
（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．
解：（1）补全图形如图1所示，AD＝BE，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝60°，
∵DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝CE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE．
（2）过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠A＝60°，
∴点E的运动轨迹是直线BE，
根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，
此时CD＝CE＝CF，
∵∠ACB＝∠CBE＝60°，
∴AC∥EF，
∵AF⊥BE，
∴AF⊥AC，
∴CF＝＝＝2，
∴CD＝CF＝2

13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，以AD为边向右作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，AD＝AE．
（1）在图①中，画出当点D从点B运动到点C的过程中，点E的运动轨迹；
（2）如图②，若AB＝6，点F为AB的中点，连接EF，求EF的最小值．
解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
连接CE，如图，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝90°，即CE⊥BC，
∴点E始终在过C点作BC的垂线上，
根据题意得，线段CF为所求作的点E的运动轨迹；
（2）由题意可知，当EF⊥CE时，EF取最小值，如图，过点F作FM⊥BC于点M，
∵AB＝6，F为AB的中点，
∴BF＝3，
∵∠B＝45°，
∴BM＝BF＝，
∵∠CMF＝∠CEF＝∠MCE＝90°，
∴四边形CEFM为矩形，
∴EF＝CM＝BC﹣BM＝＝．
∴EF的最小值为．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．
（1）当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证：AM＝AB；
（2）当AE＝3时，求CF的长；
（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．
（1）证明：如图1中，作FM⊥AC，垂足为M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵FM⊥AC，
∴∠B＝∠AMF＝90°，
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠MAF，
在△ABE和△AMF中，
，
∴△ABE≌△AMF（AAS），
∴AB＝AM；
（2）解：当点E在BC上，在Rt△ABE中，AB＝4，AE＝3，
∴BE＝＝＝，
∵△ABE≌△AMF，
∴AB＝AM＝4，FM＝BE＝，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝＝5，
∴CM＝AC﹣AM＝5﹣4＝1，
∵∠CMF＝90°，
∴CF＝＝＝．
当点E在CD上时，可得CF＝．
综上所述，CF的值为或；
（3）解：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DH⊥FM于点H．
∵△ABE≌△AMF，
∴AM＝AB＝4，
∵∠AMF＝90°，
∴点F在射线FM上运动，当点F与K重合时，DF的值最小，
∵∠CMJ＝∠ADC＝90°，∠MCJ＝∠ACD，
∴△CMJ∽△CDA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴MJ＝，CJ＝，
∴DJ＝CD﹣CJ＝4﹣＝，
∵∠CMJ＝∠DHJ＝90°，∠CJM＝∠DJH，
∴△CMJ∽△DHJ，
∴＝，
∴＝，
∴DH＝，
∴DF的最小值为．
当点E在线段CD上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为∠BAC，得到线段AR，连接FR，过点D作DQ⊥AR于点Q，DK⊥FR于点K．
∵∠EAF＝∠BAC，∠DAR＝∠BAC，
∴∠DAE＝∠RAF，
∵AE＝AF，AD＝AR，
∴△ADE≌△ARF（SAS），
∴∠ADE＝∠ARF＝90°，
∴点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小，
∵DQ⊥AR，DK⊥RF，
∴∠R＝∠DQR＝∠DKR＝90°，
∴四边形DKRQ是矩形，
∴DK＝QR，
∴AQ＝AD•cs∠BAC＝3×＝，
∵AR＝AD＝3，
∴DK＝QR＝AR﹣AQ＝，
∴DF的最小值为，
∵＜，
∴DF的最小值为．
解法二：当点E在BC上时，如图，将线段AD绕点A逆时针旋转，旋转角的度数＝∠BAC，得到AT，连接DT，ET，DF．
证明△DAF≌△TAE，推出DF＝TE，
当TE⊥BC时，DF的值最小，可得DF的最小值为．
当点E在CD上时，同法可得DF的最小值为．
15．问题提出：
（1）如图①，△BCE≌△ACD，请在图中找到一组相似的三角形 △CAB∽△CDE ．
问题探究：
（2）如图②，点D为等腰直角三角形ABC的直角边BC上的动点，AD绕点D顺时针旋转90°得到ED，连接BE，求∠ADE与∠E的关系．
（3）如图③，点D是等边三角形ABC的AC上的动点．连接DB，将DB绕点D逆时针旋转120°得到DE，连接EA，EC，若AB＝2，直接写出EA+EC的最小值．
解：（1）△CAB∽△CDE，
∵△BCE≌△ACD，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCE＝∠ACD，
∴＝＝1，∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴∠BCA＝∠ECD，＝，
∴△CAB∽△CDE，
故答案为：△CAB∽△CDE；
（2）∵AD绕点D顺时针旋转90°得到ED，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠E＝∠EAD＝45°，
∴∠ADE＝2∠E；
（3）延长AC到F，使CF＝BC．
∵△ABC为等边三角形，DB绕点D逆时针旋转120°得到DE，
∴∠EDF＝∠FCB＝120°，
，
∴△EDB∽△FCB，
∴∠DBE＝∠CBF，
∴∠DBC＝∠EBF，
，
△EBF∽△DBC，
∠DCB＝∠EFB＝60°，
∴点E在∠BFE的边FE上运动．找C关于FE的对称点C′，
∴∠EFC′＝∠EFC＝30°，∠C′EF＝90°，∠ABF＝90°，C′F∥AB，
∴A，E，C′共线，且AC′⊥FC′，AC′最小．则四边形ABFC′是矩形，
∴EA+EC最小＝AC′＝BF＝．
16．菱形ABCD的对角线交于点O．
（1）如图1，过菱形ABCD的顶点A作AE⊥BC于点E，交OB于点H，若∠ABC＝60°，四边形AECD的面积为24，求菱形ABCD的边长；
（2）如图2，菱形ABCD中，过顶点A作AF⊥BC于点E，交DC延长线于点F，线段AF交OB于点H，若AD＝AF，求证：OH＝BH﹣OC；
（3）如图3，菱形ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝9，点P为射线AD上一动点，连接BP，将BP绕点B逆时针旋转60°到BQ，连接AQ，直接写出线段AQ的最小值．
（1）解：如图1中，设AD＝2m．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2m，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AE⊥CB，
∴BE＝CE＝m，
∴AE＝m，
∵S四边形AECD＝×（m+2m）×m＝24，
∴m＝4或﹣4（舍去），
∴AD＝8；
（2）证明：如图2中，连接CH，在OC上取一点Q，使得OH＝OQ，连接HQ．
∵AD⊥AD，AD＝AF，
∴∠ADF＝∠F＝45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝∠ADC＝45°，AD∥CB，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝67.5°，
∴∠EAC＝∠EBH＝22.5°，
∴△BEH≌△AEC（ASA），
∴BH＝AC＝2OC，
∵BD垂直平分线段AC，
∴HA＝HC，
∴∠HCA＝∠HAC＝22.5°，
∵OQ＝OH，
∴∠OHQ＝∠OQH＝45°，
∵∠OQH＝∠QHC+∠QCH，
∴∠QHC＝∠HCQ＝22.5°，
∴QH＝QC＝OH，
设OH＝m，则OQ＝m，HQ＝CQ＝m，
∴OC＝m+m，
∴OH+OC＝m+m+m＝2m+m，
∵BH＝OC＝（m+m）＝m+2m，
∴OH＝BH﹣OC；
（3）解：如图3中，以AB为边向下作等边△ABT，连接PT，过点T作TH⊥AD于点H，在TH上取一点J，使得AJ＝JT．
∵∠PBQ＝∠ABT＝60°，
∴∠ABQ＝∠TBP，
∵BP＝BQ，BA＝BT，
∴△ABQ≌△TBT（SAS），
∴AQ＝PT，
∴当TP与TH重合时，TP的值最小，此时AQ的值最小．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥CB，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝45°，∠BAT＝60°，
∴∠BAD＝135°，∠TAH＝75°，
∵∠AHT＝90°，
∴∠ATH＝15°，
∵JA＝JT，
∴∠JAT＝∠JTA＝15°，
∴∠AJH＝∠JAT+∠JTA＝30°，
设AH＝a，则AJ＝JT＝2a，HJ＝a，
∵AT＝AB＝9，
∴a2+（2a+a）2＝92，
解得a＝（﹣），
∴TH＝2a+a＝（+），
∴AQ的最小值为（+）．
17．如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是抛物线上一动点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）当点P不与点A、B重合时，作直线AP，交直线BC于点Q，若△ABQ的面积是△BPQ面积的4倍，求点P的横坐标．
（3）如图②，当点P在第一象限时，连接AP，交线段BC于点M，以AM为斜边向△ABM外作等腰直角三角形AMN，连接BN，△ABN的面积是否变化？如果不变，请求出△ABN的面积；如果变化，请说明理由．
解：（1）∵二次函数经过A（﹣1，0），（3，0），
∴代入得0=−(−1)2+b⋅(−1)+c0=−32+3b+c，解得b=2c=3，
所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）①如图所示，当P在x轴上方时，
过点P作PF⊥x轴于点F，过点E作QE⊥x轴于点E，过点B作BG⊥AP于点G，
可得△AQE∽△APF，∴AQAP=AEAF=QEPF，
∵S△ABQS△BPQ=41=12⋅AQ⋅BG12⋅QP⋅BG=AQQP，∴AQAP=45，∴AQAP=AEAF=QEPF=45，
设点P（a，﹣a2+2a+3），∴OF＝a，PF＝﹣a2+2a+3，
∴AF＝a﹣（﹣1）＝a+1，QE=45PF=45⋅(−a2+2a+3)，∴AE=45AF=4(a+1)5，
∴OE＝AE﹣AO=4(a+1)5−1=4a−15，
∴Q点的坐标可表示为（4a−15，45⋅(−a2+2a+3)），
∵B（3，0），C为二次函数与y轴交点，∴C（0，3），可得BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵Q在BC上，∴45⋅(−a2+2a+3)=−4a−15+3，
解得a=3+52或3−52．
②如图所示，当P在x轴下方时，
同理①可求出P点的横坐标为3+132或3−132，
∵﹣1＜15−305103−1320，∴当P点横坐标为3−132时，P在抛物线的AC段，
综上所述，P点的横坐标为3+52或3−52或3−132．
（3）如图所示，以AB为底在x轴上方作等腰直角三角形ABK，连接NK，过点K作KH⊥x轴于点H，
∵△AMN和△ABK均为等腰直角三角形，
∴ANAM=AKAB，∠NAM＝∠BAK，∴∠NAM+∠MAK＝∠BAK+∠MAK，
∴∠NAK＝∠MAB，∴△NAK∽△MAB，∴∠NKA＝∠MBA，
∵C（0，3），B（3，0），∴OC＝OB，
∴∠MBA＝45°＝∠NAK＝∠KAB，∴NK∥AB，
∵两条平行线之间的距离相等，
∴N在运动时，N到AB的距离保持不变，其距离都等于KH的长，
∵在等腰直角三角形KAB中，AB＝4，∴KH=12AB=2，
∴S△ABN=12⋅AB⋅KH=12⋅4⋅2=4．
综上所述，△ABN的面积不变，为4．