中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型24辅助圆系列最值模型(原卷版+解析)

这是一份中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型24辅助圆系列最值模型(原卷版+解析)，共49页。
【点睛1】触发隐圆模型的条件
（1）动点定长模型

若P为动点，但AB=AC=AP 原理：圆A中，AB=AC=AP
则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 备注：常转全等或相似证明出定长
（2）直角圆周角模型

固定线段AB所对动角∠C恒为90° 原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径
则A、B、C三点共圆，AB为直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角
（3）定弦定角模型


固定线段AB所对动角∠P为定值 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等
则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆 备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可
（4）四点共圆模型①


若动角∠A+动角∠C=180° 原理：圆内接四边形对角互补
则A、B、C、D四点共圆 备注：点A与点C在线段AB异侧
（5）四点共圆模型②

固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等
则A、B、C、P四点共圆 备注：点P与点C需在线段AB同侧
【点睛2】圆中旋转最值问题

条件：线段AB绕点O旋转一周，点M是线段AB上的一动点，点C是定点
（1）求CM最小值与最大值
（2）求线段AB扫过的面积
（3）求最大值与最小值
作法：如图建立三个同心圆，作OM⊥AB，B、A、M运动路径分别为大圆、中圆、小圆
结论：
①CM1最小，CM3最大
②线段AB扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积
③最小值以AB为底，CM1为高；最大值以AB为底，CM2为高
例题精讲
考点一：定点定长构造隐圆
【例1】．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为 ．
变式训练
【变式1-1】．如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为 ．
考点二：定弦定角构造隐圆
【例2】．如图，在△ABC中，BC＝2，点A为动点，在点A运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为 ．
变式训练
【变式2-1】．如图，P是矩形ABCD内一点，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，则当线段DP最短时，CP＝ ．
【变式2-2】．如图，边长为4的正方形ABCD外有一点E，∠AEB＝90°，F为DE的中点，连接CF，则CF的最大值为 ．
考点三：对角互补构造隐圆
【例3】．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝__________.
变式训练
【变式3-1】．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 ．
【变式3-2】．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上的一动点，点F是CD上一点，且CE＝DF，AF、DE相交于点O，BO＝BA，则OC的值为 ．

实战演练
1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交x轴上点C，则点C的坐标为（ ）
A．（5，0）B．（2，0）
C．（﹣8，0）D．（2，0）或（﹣8，0）
2．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（ ）
A．6B．﹣3C．2﹣4D．4﹣4
4．如图所示，∠MON＝45°，Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，当A、B分别在射线OM、ON上滑动时，OC的最大值为（ ）
A．12B．14C．16D．14
5．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为 ．
6．如图示，A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点C在y轴上，且∠ACB＝45°，则点C的坐标为 ．
7．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB+∠PBA＝90°，则线段CP长的最小值为 ．
8．在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，则AC+BC的最大值为 ．
9．如图，等边△ABC中，AB＝6，点D、点E分别在BC和AC上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，则CF的最小值为 ．
10．如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为 ．
11．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，△DBC的面积为8，则BC长为 ．
12．已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E为BC上一点，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，则AD的长 ．
13．如图，在正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，连接DF交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM．连接DM．交EF于点N．若AF＝2．则△EMN的面积是 ．
14．如图，在正方形ABCD中，AD＝8，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则FM＝ ，＝ ．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°
（1）证明：△ABF∽△FCE；
（2）当DE取何值时，∠AED最大．
16．如图，将两张等腰直角三角形纸片OAB和OCD放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（0，4）．将Rt△OCD绕点O顺时针旋转，连接AC，BD，直线AC与BD相交于点P．
（1）求证：AP⊥BP；
（2）若点Q为OA的中点，求PQ的最小值．
17．（1）【学习心得】
于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．
（3）【问题拓展】
如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．
18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图①，连接BC，点P是线段BC上方抛物线上一动点，若△PBC的面积为12，求点P的坐标；
（3）如图②，已知⊙B的半径为2，点Q是⊙B上一个动点，连接AQ，DQ，求DQ+AQ的最小值．
19．模型分析
如图在△ABC中，AD⊥BC于点D，其中∠BAC为定角，AD为定值，我们称该模型为定角定高模型．
问题：随着点A的运动，探究BC的最小值（△ABC面积的最小值）．
（1）当∠BAC＝90°时（如图①）：
第一步：作△ABC的外接圈⊙O；
第二步：连接OA；
第三步：由图知AO≥AD，当AO＝AD时，BC取得最小值．
（2）当∠BAC＜90°时（如图②）：
第一步：作△ABC的外接圆⊙O；第二步：连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E：
第三步：由图知AO+OE≥AD，当AO+OE＝AD时，BC取得最小值．
那么∠BAC＞90°呢？
结论：
当AD过△ABC的外接圆圆心O（即AB＝AC）时，BC取得最小值，此时△ABC的面积最小
当∠BAC＜90°时，请根据【模型分析】（2）中的做法将下面证明过程补充完整．
求证：当AD过△ABC的外接圆圆心O（即AB＝AC）时，BC取得最小值，此时△ABC的面积最小．
证明：如解图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，
设⊙O的半径为r，∠BOE＝∠BAC＝α，AD＝h，
∴BC＝2BE＝2OB•sinα＝2r•sinα，
∵sinα为定值，∴要使BC最小，只需…
自主探究：我们知道了当AD过△ABC的外接圆圆心O（即AB＝AC）时，△ABC的面积取得最小值，那么要使△ABC的周长取得最小值，需要满足什么条件呢？
20．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，直线y＝kx+b经过点A，C，且OA＝2OC＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E为AC上方抛物线上一动点，过点E作EF∥y轴交AC于点F，求线段EF的最大值；
（3）在（2）的结论下，若点G是x轴上一点，当∠CGF的度数最大时，求点G的坐标．

模型介绍
R【点睛1】触发隐圆模型的条件
（1）动点定长模型

若P为动点，但AB=AC=AP 原理：圆A中，AB=AC=AP
则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 备注：常转全等或相似证明出定长
（2）直角圆周角模型

固定线段AB所对动角∠C恒为90° 原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径
则A、B、C三点共圆，AB为直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角
（3）定弦定角模型


固定线段AB所对动角∠P为定值 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等
则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆 备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可
（4）四点共圆模型①


若动角∠A+动角∠C=180° 原理：圆内接四边形对角互补
则A、B、C、D四点共圆 备注：点A与点C在线段AB异侧
（5）四点共圆模型②

固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等
则A、B、C、P四点共圆 备注：点P与点C需在线段AB同侧
R【点睛2】圆中旋转最值问题

条件：线段AB绕点O旋转一周，点M是线段AB上的一动点，点C是定点
（1）求CM最小值与最大值
（2）求线段AB扫过的面积
（3）求最大值与最小值
作法：如图建立三个同心圆，作OM⊥AB，B、A、M运动路径分别为大圆、中圆、小圆
R结论：
①CM1最小，CM3最大
②线段AB扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积
③最小值以AB为底，CM1为高；最大值以AB为底，CM2为高
例题精讲
考点一：定点定长构造隐圆
【例1】．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为 ．
解：∵AB＝AC＝AD，
∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，
∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，
∵∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，
∴∠CAD＝2∠BAC＝88°．故答案为：88°
变式训练
【变式1-1】．如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD的长为（ ）
A．B．C．D．
解：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．
∵DC∥AB，
∴＝，
∴DF＝CB＝1，BF＝2+2＝4，
∵FB是⊙A的直径，
∴∠FDB＝90°，
∴BD＝＝．
故选：B．
【变式1-2】．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为 ．
解：∵C为坐标平面内一点，BC＝2，
∴点C的运动轨迹是在半径为2的⊙B上，
如图，取OD＝OA＝4，连接OD，
∵点M为线段AC的中点，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝，
∴OM最大值时，CD取最大值，此时D、B、C三点共线，
此时在Rt△OBD中，BD＝＝4，
∴CD＝2+4，
∴OM的最大值是1+2．
故答案为：1+2．
考点二：定弦定角构造隐圆
【例2】．如图，在△ABC中，BC＝2，点A为动点，在点A运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为 ．
解：如图，△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，
过点O作OD⊥BC，垂足为D，
∵OB＝OC，
∴BD＝CD＝BC＝1，
∵∠BOC＝90°，OD⊥BC，
∴OD＝BC＝1，
∴OB＝＝，
∵BC＝2保持不变，
∴BC边上的高越大，则△ABC的面积越大，当高过圆心时，最大，
此时BC边上的高为：+1，
∴△ABC的最大面积是：×2×（+1）＝+1．
故答案为：+1．
变式训练
【变式2-1】．如图，P是矩形ABCD内一点，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，则当线段DP最短时，CP＝ ．
解：以AB为直径作半圆O，连接OD，与半圆O交于点P′，当点P与P′重合时，DP最短，
则AO＝OP′＝OB＝AB＝2，
∵AD＝2，∠BAD＝90°，
∴OD＝2，∠ADO＝∠AOD＝∠ODC＝45°，
∴DP′＝OD﹣OP′＝2﹣2，
过P′作P′E⊥CD于点E，则
P′E＝DE＝DP′＝2﹣，
∴CE＝CD﹣DE＝+2，
∴CP′＝．
故答案为：2．
【变式2-2】．如图，边长为4的正方形ABCD外有一点E，∠AEB＝90°，F为DE的中点，连接CF，则CF的最大值为 ．
解：如图，以AB为直径作圆H，
∵∠AEB＝90°，
∴点E在这个⊙H上，
延长DC至P，使CD＝PC，连接BE，EH，PH，过H作HM⊥CD于M，
∵EF＝DF，CD＝PC，
∴CF＝PE，
Rt△AEB中，∵H是AB的中点，
∴EH＝AB＝2，
Rt△PHM中，由勾股定理得：PH＝＝＝2，
∵PE≤EH+PH＝2+2，
当P，E，H三点共线时，PE最大，CF最大，
∴CF的最大值是+1
考点三：对角互补构造隐圆
【例3】．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝__________.
解：如图，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC．
∵四边形ABCD是矩形，EF⊥BE，
∴四边形EFCB对角互补，
∴B，C，F，E四点共圆，
∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，
∵OB＝OF，
∴OE＝OB＝OF＝OC，
∴B，C，F，E四点在以O为圆心的圆上，
∴∠EBF＝∠ECF，
∴tan∠EBF＝tan∠ACD，
∴＝＝
变式训练
【变式3-1】．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 ．
解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴A、B、C、D四点共圆，且BD为直径，取BD中点O，则圆心为点O，
连接AO、CO，取AO中点F，连接EF，DF，
∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD为等边三角形，
∴OA＝OD＝OC＝AD＝2，
∴∠AFD＝90°，则DF＝，
∵EF是△AOC的中位线，
∴EF＝OC＝1，
在△DEF中，DF﹣EF≤DE，
∴当D、E、F三点共线时，DE取到最小，最小值为．
∴DE的最小值为．
【变式3-2】．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上的一动点，点F是CD上一点，且CE＝DF，AF、DE相交于点O，BO＝BA，则OC的值为 ．
解：如图
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADF＝∠ECD＝∠ABC＝90°，
∵DF＝CE，
∴△ADF≌△DCE，
∴∠DAF＝∠EDC，
∵∠EDC+∠ADO＝90°，
∴∠DAF+∠ADO＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∴四边形ABEO对角互补，
∴A、B、E、O四点共圆，
取AE的中点K，连接BK、OK，作OM⊥CD于M．
则KB＝AK＝KE＝OK，
∵BA＝BO，
∴∠BAO＝∠BOA＝∠AEB＝∠DEC，
∵AB＝DC，∠ABE＝∠DCE，∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE≌△DCE，
∴BE＝EC＝1，
∴DF＝EC＝FC＝1，
∴DE＝＝，
∵△DFO∽△DEC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴OD＝，OF＝，
∵•DO•OF＝•DF•OM，
∴OM＝，
∴MF＝＝，
∴CM＝1+＝，
在Rt△OMC中，OC＝＝，
故答案为．

实战演练
1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交x轴上点C，则点C的坐标为（ ）

A．（5，0）B．（2，0）
C．（﹣8，0）D．（2，0）或（﹣8，0）
解：∵点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝5，
∴AC′＝5，AC＝5，
∴C′点坐标为（2，0）；C点坐标为（﹣8，0）．
故选：D．
2．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
解：连接AM，
∵点B和M关于AP对称，
∴AB＝AM＝3，
∴M在以A圆心，3为半径的圆上，
∴当A，M，C三点共线时，CM最短，
∵AC＝，AM＝AB＝3，
∴CM＝5﹣3＝2，
故选：A．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（ ）
A．6B．﹣3C．2﹣4D．4﹣4
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PBC＝∠PAB，
∴∠PAB+∠PBA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于P，此时PC最小，
∵OC＝＝＝2，
∴PC的最小值为2﹣4，
故选：C．
4．如图所示，∠MON＝45°，Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，当A、B分别在射线OM、ON上滑动时，OC的最大值为（ ）
A．12B．14C．16D．14
解：如图，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝，
在AB的下方作等腰直角△AQB，∠AQB＝90°，作BH⊥QC于H，
∴点O在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，
∵∠AQB+∠ACB＝180°，
∴点A、C、B、Q共圆，
∴∠BCQ＝∠BAQ＝45°，
∴BH＝CH＝3，
在Rt△BQH中，由勾股定理得QH＝4，
∴CQ＝7，
当点C、Q、O共线时，OC最大，
∴OC的最大值为OQ+CQ＝5+7＝12，
故选：A．
5．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为 ．
解：∵AB＝AC＝AD，
∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，
∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，
∵∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，
∴∠CAD＝2∠BAC＝88°．
故答案为：88°．
6．如图示，A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点C在y轴上，且∠ACB＝45°，则点C的坐标为 ．
解：在x轴的上方作等腰直角△ABF，FB＝FA，∠BAF＝90°，以F为圆心，FA为半径作⊙F交y轴于C，连接CB，CA．
∵∠ACB＝∠AFB＝45°，
∵B（﹣2，0），A（3，0），△ABF是等腰直角三角形，
∴F（，），FA＝FB＝FC＝，设C（0．m），
则（）2+（﹣m）2＝（）2，
解得m＝6或﹣1（舍弃）
∴C（0，6），
根据对称性可知C′（0，﹣6）也符合条件，
综上所述，点C的坐标为（0，6）或（0，﹣6）．
故答案为（0，6）或（0，﹣6）．
7．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB+∠PBA＝90°，则线段CP长的最小值为 2 ．
解：∵∠PAB+∠PBA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴P在以AB为直径的圆周上（P在△ACB内部），
连接OC，交⊙O于P，此时CP的值最小，如图，
∵AB＝6，
∴OB＝3，
∵BC＝4，
∴由勾股定理得：OC＝5，
∴CP＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
8．在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，则AC+BC的最大值为 ．
解：过点B作BD⊥AC于点D，
∵∠C＝45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BD＝CD，
设BD＝CD＝a，延长AC至点F，使得CF＝a，
∵tan∠AFB＝＝，
作△ABF的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AB于点E，则AE＝AB＝2，∠AOE＝∠AFB，
∴tan∠AOE＝，
∴OE＝4，OA＝＝，
∴+BC＝（AC+BC）＝（AC+CF）＝≤（OA+OF），
∴+BC的最大值为×＝4．
故答案为：．
9．如图，等边△ABC中，AB＝6，点D、点E分别在BC和AC上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，则CF的最小值为 ．

解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，
∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS）
∴∠BAD＝∠CBE，
又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，
∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，
∴∠AFE＝60°，
∴∠AFB＝120°，
∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2），
连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2．
故答案为2．
10．如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为 ．
解：如图：
，
∵动点F，E的速度相同，
∴DF＝AE，
又∵正方形ABCD中，AB＝2，
∴AD＝AB，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE＝∠DAF．
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠FAD+∠BEA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∵点P在运动中保持∠APB＝90°，
∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，
设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，
AG＝BG＝AB＝1．
在Rt△BCG中，DG＝＝＝，
∵PG＝AG＝1，
∴DP＝DG﹣PG＝﹣1
即线段DP的最小值为﹣1，
故答案为：﹣1．
11．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，△DBC的面积为8，则BC长为 ．

解：如图，作DH⊥BC交BC的延长线于H，取CD的中点O，连接OA，OB．
∵DH⊥BH，
∴∠DHC＝90°，
∴四边形DACH对角互补，
∴A，C，H，D四点共圆，
∵∠DAC＝90°，CO＝OD，
∴OA＝OD＝OC＝OH，
∴A，C，H，D四点在以O为圆心的圆上，
∵AC＝AD，
∴∠CHA＝∠AHD＝45°，（没有学习四点共圆，可以这样证明：过点A作AM⊥DH于M，过点A作AN⊥BH于N，证明△AMD≌△ANC，推出AM＝AN，推出AH平分∠MHN即可）
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAH＝90°，
∴BA＝AH，
∵∠BAH＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC＝∠HAD，
∵AC＝AD，AB＝AH，
∴△BAC≌△HAD（SAS），
∴BC＝DH，
∴S△BCD＝×BC×DH＝×BC2＝16，
∴BC＝4或﹣4（舍弃），
故答案为4．
12．已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E为BC上一点，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，则AD的长 ．
解：连接AE，过点A作AH⊥BC于H点，在Rt△ABH中，
∵∠B＝30°，∴AH＝AB＝3．
利用勾股定理可得BH＝3，
根据等腰三角形性质可知CH＝BH＝3，BC＝6．
∴CE＝BC＝2．
∴HE＝CH﹣CE＝．
在Rt△AHE中，由勾股定理可求AE＝2．
所以AE＝CE，∠CAE＝∠ACB＝30°，
所以∠AEB＝60°＝∠ADC，
∴四边形AECD对角互补，
∴点A、D、C、E四点共圆，
∴∠ADE＝∠ACE＝30°，
所以∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°．
∵DE＝DC，∴∠DEC＝75°．
∴∠AED＝120°﹣75°＝45°．
过点A作AM⊥DE于M点，
则AM＝AE＝．
在Rt△AMD中，∠ADM＝30°，
∴AD＝2AM＝．
故答案为2．
13．如图，在正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，连接DF交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM．连接DM．交EF于点N．若AF＝2．则△EMN的面积是 ．
解：如图，取DF的中点K，连接AK，EK．连接GM交EF于H．
∵四边形ACD是正方形，
∴AD＝AB＝6，∠DAB＝90°，AB∥CD，∠DAC＝∠CAB＝45°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝∠DAF＝90°，
∴四边形AFED对角互补，
∴A，F，E，D四点共圆，
∵DK＝KF，
∴KA＝KD＝KF＝KE，
∴∠DFE＝∠DAE＝45°，
∴∠EDF＝∠EFD＝45°，
∴DE＝EF，
∵AF＝2，AD＝6，
∴DF＝＝2，
∴DE＝DF＝2，
∵AF∥CD，
∴＝＝，
∴FG＝FM＝，
∴GM＝FM＝，
∴FH＝GH＝HM＝，
∵EF⊥GM，
∴GH＝HM＝，
∴EH＝EF﹣FH＝2﹣＝，
∵MH∥DE，
∴＝＝＝，
∴EN＝EH＝，
∴S△ENM＝•EN•MH＝••＝．
故答案为．
14．如图，在正方形ABCD中，AD＝8，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则FM＝ ，＝ ．
解：∵将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，
∴FG＝FM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴△AGF∽△CGD，
∴，
∵点F是AB的中点，
∴AF＝CD，
∴，
∵AD＝8，
∴AF＝4，
∴DF＝＝4，
∴FM＝FG＝；
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠CAD＝45°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°＝∠BAD，
∴∠BAD+∠DEF＝180°，
∴点A，D，E，F四点共圆，
∴∠DFE＝∠DAC＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴DE＝EF＝DF＝2，
连接GM，交EF于P，
由折叠知，PG＝PM，GM⊥EF，
∵DE⊥EF，
∴GM∥DE，
∴△FPG∽△FED，
∴，
∴PF＝EF＝，
∴PE＝EF﹣PF＝，
∵GM∥DE，
∴△MPN∽△DEN，
∴，
∴，
∴EN＝PE＝，
在Rt△DEN中，，
故答案为：；．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°
（1）证明：△ABF∽△FCE；
（2）当DE取何值时，∠AED最大．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，
∴∠AFB＝∠FEC，
∴△ABF∽△FCE．
（2）取AE的中点O，连接OD、OF．
∵∠AFE＝∠ADE＝90°（对角互补），
∴A、D、E、F四点共圆，
∴∠AED＝∠AFD，
∴当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，易知BF＝CF＝4，
∵△ABF∽△FCE，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝，
∴DE＝DC﹣CE＝6﹣＝．
∴当DE＝时，∠AED的值最大．
16．如图，将两张等腰直角三角形纸片OAB和OCD放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（0，4）．将Rt△OCD绕点O顺时针旋转，连接AC，BD，直线AC与BD相交于点P．
（1）求证：AP⊥BP；
（2）若点Q为OA的中点，求PQ的最小值．
（1）证明：∵△OAB和△OCD都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠COB＝∠COB+∠BOD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OAC＝∠OBD，
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠OAC+∠CAB+∠ABO＝90°，
∴∠OBD+∠CAB+∠ABO＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴AP⊥BP；
（2）解：如图，∵AP⊥BP，
∴点P在以AB为直径的圆E上运动，由点圆最值可得，
当P，Q，E三点共线，且点P在EQ的延长线上时，PQ最小，
∵△OAB是等腰直角三角形，A（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∴AB＝OA＝4，
∵E是AB的中点，Q是OA的中点，
∴QE＝OB＝2，
∵PE是圆E的半径，
∴PE＝AB＝2，
∴PQ＝PE﹣QE＝2﹣2，
∴PQ的最小值为2﹣2．
17．（1）【学习心得】
于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ 45 °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．
（3）【问题拓展】
如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ﹣1 ．
解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，AB为半径作圆A，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°，
故答案是：45；
（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝25°，
∴∠BAC＝25°，
（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝1，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝﹣1．
（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）
故答案为：﹣1．

18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图①，连接BC，点P是线段BC上方抛物线上一动点，若△PBC的面积为12，求点P的坐标；
（3）如图②，已知⊙B的半径为2，点Q是⊙B上一个动点，连接AQ，DQ，求DQ+AQ的最小值．
解：（1）令x＝0，则y＝6，
C（0，6），
∵A（﹣2，0），B（6，0），
∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣6）（x+2）（a≠0），
当x＝0时，y＝﹣12a＝6，解得a＝﹣，
抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣6）（x+2）＝﹣x2+2x+6，
∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，
∴顶点D的坐标为（2，8）；
（2）由（1）知，C（0，6），
设直线BC的表达式为y＝kx+t，
将点B、C的坐标代入得6k+t＝0，
，解得，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+6；
如图，过点P作PH∥y轴交BC于点H，连接PB，PC，
设P（x，﹣x2+2x+6），则H（x，﹣x+6）（0＜x＜6），
∴PH＝﹣x2+2x+6﹣（﹣x+6）＝﹣x2+3x，
∵△PBC的面积为12，
∴OB•PH＝×6×（﹣x2+3x）＝12，
即﹣x2+3x＝4，解得x＝2或x＝4，
∴点P的坐标为（2，8）或（4，6）；
（3）如图，取点E（5.5，0），
∴BE＝0.5，
∵AB＝8，BQ＝2，
∴AB：BQ＝4：1，
∵BE＝0.5，BQ＝2，
∴BQ：BE＝4：1，
∵∠ABQ＝∠QBE，
∴△ABQ∽△QBE，
∴AQ：QE＝BQ：BE＝4：1，即QE＝AQ，
∴DQ+AQ＝DQ+QE，
由两点间线段最短可知，当点D，Q，E三点共线时，DQ+QE最小，最小值为DE，
∴DE＝＝．
即DQ+AQ的最小值为：．

19．模型分析
如图在△ABC中，AD⊥BC于点D，其中∠BAC为定角，AD为定值，我们称该模型为定角定高模型．
问题：随着点A的运动，探究BC的最小值（△ABC面积的最小值）．
（1）当∠BAC＝90°时（如图①）：
第一步：作△ABC的外接圈⊙O；
第二步：连接OA；
第三步：由图知AO≥AD，当AO＝AD时，BC取得最小值．
（2）当∠BAC＜90°时（如图②）：
第一步：作△ABC的外接圆⊙O；第二步：连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E：
第三步：由图知AO+OE≥AD，当AO+OE＝AD时，BC取得最小值．
那么∠BAC＞90°呢？
结论：
当AD过△ABC的外接圆圆心O（即AB＝AC）时，BC取得最小值，此时△ABC的面积最小
当∠BAC＜90°时，请根据【模型分析】（2）中的做法将下面证明过程补充完整．
求证：当AD过△ABC的外接圆圆心O（即AB＝AC）时，BC取得最小值，此时△ABC的面积最小．
证明：如解图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，
设⊙O的半径为r，∠BOE＝∠BAC＝α，AD＝h，
∴BC＝2BE＝2OB•sinα＝2r•sinα，
∵sinα为定值，∴要使BC最小，只需…
自主探究：我们知道了当AD过△ABC的外接圆圆心O（即AB＝AC）时，△ABC的面积取得最小值，那么要使△ABC的周长取得最小值，需要满足什么条件呢？
模型分析：
证明：如图1，
作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，作OE⊥BC于E，设⊙O的半径为r，AD＝h，
∴BC＝2BE＝2CE，
∵＝，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2α，
∵OB＝OC，
∴∠BOE＝∠BOC＝α，
∴OE＝OB•csα＝r•csα，
∵OA+OE≥AD，
∴r+r•csα≥h，
∴r≥，
∵BE＝OB•sinα＝r•sinα，
∴BC＝2BE＝2r•sinα，
∴当r最小时，BC最小，
∴当r＝时，BC最小＝；
自主探究：
解：如图2，
延长CB知E，使BE＝AB，延长BC至F，使CF＝AC，
∴AB+BC+AC＝BE+BC+CF＝EF，∠AEB＝∠EAB，∠CAF＝∠AFC，
∴∠ABC＝2∠EAB，∠ACB＝2∠CAF，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，
∴2∠EAB+2∠CAF＝180°﹣α，
∴∠EAF+∠CAF＝90°﹣，
∴∠EAF＝∠EAF+∠CAF+∠BAC＝90°+，
作△AEF的外接圆O，作OH⊥EF于H，连接OA，OE，OF，在优弧EF上任取一点G（不在E和点F处），连接EG，FG，
∴∠G＝180°﹣∠EFA＝90﹣，
同理上可得：∠EOH＝∠G＝90°﹣，
∴∠OEH＝90°﹣∠EOH＝，
∴OH＝r•sin，EF＝2EH＝2r•cs，
∵OH+AD≤OA，
∴r•sin+h≤r，
∴（1﹣sin）r≥h，
∴r≥，
∴r最小＝，
∴EF最小＝，
∴△ABC的周长最小值为：．
20．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，直线y＝kx+b经过点A，C，且OA＝2OC＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E为AC上方抛物线上一动点，过点E作EF∥y轴交AC于点F，求线段EF的最大值；
（3）在（2）的结论下，若点G是x轴上一点，当∠CGF的度数最大时，求点G的坐标．
解：（1）∵OA＝2OC＝4，
∴A（4，0），C（0，2），
将A（4，0），C（0，2）代入y＝ax2+x+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+2；
（2）将点A（4，0），C（0，2）代入y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2，
设E（t，﹣t2+t+2），则F（t，﹣t+2），
∴EF＝﹣t2+t+2+t﹣2＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，
当t＝2时，EF的最大值为2；
（3）∵t＝2，
∴E（2，3），F（2，1），
设G（x，0），
作△CFG的外接圆M，设圆M的半径为r，
当圆M与x轴相切时，∠CGF最大，此时M（x，r），
∵MC＝MF＝r，
∴x2+（r﹣2）2＝r2，（2﹣x）2+（1﹣r）2＝r2，
解得x＝4﹣，
∴G（4﹣，0）．