中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型02飞镖、8字模型(原卷版+解析)

这是一份中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型02飞镖、8字模型(原卷版+解析)，共30页。

模型介绍
模型一：飞镖模型
（1）角的飞镖模型
结论：
解答： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①方法一：延长交于点得证
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②方法二：延长交于点得证
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③方法三：延长到在其延长方向上任取一点为点得证
总结：利用三角形外角的性质证明
（2）边的飞镖模型
结论：
解答：延长交于点+三角形三边关系+同号不等式
大的放左边，小的放在右边得证
模型二：8在模型
（1）角的8字模型
结论：
解答：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①方法一：三角形内角和得证 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②方法二：三角形外角的性质得证
总结： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用三角形内角和等于证明
推出
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②利用三角形外角的性质证明
（2）边的8字模型
结论：
解答：三角形三边关系+同号不等式得证
总结：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①三角形两边之和大于第三边
例题精讲
考点一：飞镖模型
【例1】．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC=_______

变式训练
【变式1-1】．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝55°，∠D＝15°，则∠P的度数为（ ）

A．15°B．20°C．25°D．30°
【变式1-2】．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，∠ABC+∠ACB＝100°，则∠BIC的度数为（ ）
A．80°B．50°C．100°D．130°
【变式1-3】．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

【变式1-4】．如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA +PB +PC＞（AB +BC +AC）．
考点二：8字模型
【例2】．如图，∠1＝60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝

变式训练
【变式2-1】．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ °．
【变式2-2】．如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 度．

【变式2-3】．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ °．

【变式2-4】．一副三角板如图摆放，其中一块三角板的直角边EF落在另一块三角板的斜边AC上，边BC与DF交于点O，则∠BOD的度数是 ．

实战演练
1．如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝35°，则∠D的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
2．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）

A．120°B．150°C．180°D．200°
3．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（ ）
A．30°B．37°C．54°D．63°
4．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为 ．

5.已知如图，BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC＝α，∠BPC＝β，则∠BQC＝ ．（用α，β表示）

6．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝ 度．

7．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ．

8．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为

9．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 （填“增加”或“减少”） 度．

10．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I的值．

11．如图，已知AB∥DE，∠ABC、∠CED的平分线交于点F．探究∠BFE与∠BCE之间的数量关系，并证明你的结论．

12．如图，DP平分∠ADC，PB平分∠ABC，求证：∠P＝（∠A+∠C）

13．如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M．探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系．
14．（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．
15．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形“．如图2，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于点M、N．试解答下列问题：
①仔细观察，在图2中有 个以线段AC为边的“8字形”；
②若∠B＝76°，∠C＝80°，试求∠P的度数；
③∠C和∠B为任意角时AP、DP分别是∠CAB、∠BDC的三等分线，写出∠P与∠C、∠B之间数量关系，并说明理由．
16．阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ；
探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 ；
探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 ．
【模型应用】
应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝ （用含有α和β的代数式表示），∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
【拓展延伸】
拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 ．（用x、y表示∠P）
拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 ．
大 招
飞镖模型和8字模型

模型介绍
模型一：飞镖模型
（1）角的飞镖模型
结论：
解答： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①方法一：延长交于点得证
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②方法二：延长交于点得证
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③方法三：延长到在其延长方向上任取一点为点得证
总结：利用三角形外角的性质证明
（2）边的飞镖模型
结论：
解答：延长交于点+三角形三边关系+同号不等式
大的放左边，小的放在右边得证
模型二：8在模型
（1）角的8字模型
结论：
解答：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①方法一：三角形内角和得证 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②方法二：三角形外角的性质得证
总结： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用三角形内角和等于证明
推出
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②利用三角形外角的性质证明
（2）边的8字模型
结论：
解答：三角形三边关系+同号不等式得证
总结：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①三角形两边之和大于第三边
例题精讲
考点一：飞镖模型
【例1】．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC=_______

解：延长BO，交AC于点D，
∵∠BOC＝∠C+∠ODC，∠ODC＝∠A+∠B，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，
∴∠BOC＝∠C+∠A+∠B
＝20°+70°+40°
＝130°．
变式训练
【变式1-1】．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝55°，∠D＝15°，则∠P的度数为（ ）

A．15°B．20°C．25°D．30°
解：如图，延长PC交BD于E，
∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由三角形的内角和定理得，∠A+∠1＝∠P+∠3①，
在△PBE中，∠5＝∠2+∠P，
在△DCE中，∠5＝∠4﹣∠D，
∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D②，
①﹣②得，∠A﹣∠P＝∠P+∠D，
∴∠P＝（∠A﹣∠D），
∵∠A＝55°，∠D＝15°，
∴∠P＝（55°﹣15°）＝20°． 故选：B．
【变式1-2】．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，∠ABC+∠ACB＝100°，则∠BIC的度数为（ ）
A．80°B．50°C．100°D．130°
解（1）∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，
∴∠BCI＝∠ACB，
∠CBI＝∠ABC，
∴∠BIC＝180°﹣∠BCI﹣∠CBI＝180°﹣100°＝130°；故选：D．
【变式1-3】．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

解：如图，
根据三角形的外角性质，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，
∵∠BOF＝120°，
∴∠3＝180°﹣120°＝60°，
根据三角形内角和定理，∠E+∠1＝180°﹣60°＝120°，
∠F+∠2＝180°﹣60°＝120°，
所以，∠1+∠2+∠E+∠F＝120°+120°＝240°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．
【变式1-4】．如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA +PB +PC＞（AB +BC +AC）．
证明：在△ABP中：AP +BP＞AB．
同理：BP +PC＞BC，AP +PC＞AC．
以上三式分别相加得到：
2（PA +PB +PC）＞AB +BC +AC，即PA+PB+PC＞（AB +BC +AC）．
考点二：8字模型
【例2】．如图，∠1＝60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝

解：由三角形外角的性质得：∠3＝∠A+∠E，∠2＝∠F+∠D，
∵∠1+∠2+∠3＝180°，∠1＝60°，
∴∠2+∠3＝120°，
即：∠A+∠E+∠F+∠D＝120°，
∵∠B+∠C＝120°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．
变式训练
【变式2-1】．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 360 °．
解：在△ACE中：∠A+∠C+∠E＝180°，
在△BDF中：∠B+∠D+∠F＝180°，
则：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，故答案为：360．
【变式2-2】．如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 360 度．

解：延长FE交AB于M，设FE交CD于N，
∵∠CNE＝∠D+∠DEF，∠FMB＝∠F+∠A，
又∵∠C+∠B+∠CNE+∠FMB＝360°，
∴∠C+∠B+∠D+∠DEF+∠F+∠A＝360°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F＝360°，
故答案为：360．
【变式2-3】．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 360 °．

解：∵∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠C +∠D，
又∵∠1+∠2+∠E +∠F＝360°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故答案为：360．
【变式2-4】．一副三角板如图摆放，其中一块三角板的直角边EF落在另一块三角板的斜边AC上，边BC与DF交于点O，则∠BOD的度数是 105° ．
解：△COF中，∵∠CFO＝45°，∠FCO＝30°，
∴∠COF＝180°﹣∠CFO﹣∠FCO＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
∵∠COF＝∠BOD，
∴∠BOD＝105°，故答案为：105°．

实战演练
1．如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝35°，则∠D的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
解：因为∠AEB与∠DEC是一组对顶角，
所以∠AEB＝∠DEC．
在△ABO中AB⊥BD，∠A＝35°，
所以∠AEB＝65°．
在△DCO中AC⊥CD，∠DEC＝65°，所以∠D＝35°．故选：A．
2．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）

A．120°B．150°C．180°D．200°
解：如图可知：
∵∠4是三角形的外角，
∴∠4＝∠A+∠2，
同理∠2也是三角形的外角，
∴∠2＝∠E+∠C，
在△BDG中，∵∠B+∠D+∠4＝180°，
∴∠B+∠E+∠A+∠D+∠C＝180°．故选：C．
3．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（ ）
A．30°B．37°C．54°D．63°
解：∵△BMN沿MN折叠，使点B落在点B'处，
∴△BMN≌△B'MN，
∴∠BMN＝∠B'MN，
∵∠B＝35°，∠BNM＝28°，
∴∠BMN＝180°﹣35°﹣28°＝117°，∠AMN＝35°+28°＝63°，
∴∠AMB'＝∠B'MN﹣∠AMN＝117°﹣63°＝54°，故选：C．
4．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为 140° ．

解：如图，
∵∠B＝30°，∠DCB＝65°，
∴∠DFB＝∠B+∠DCB＝30°+65°＝95°，
∴∠α＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°，故答案为：140°．
5.已知如图，BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC＝α，∠BPC＝β，则∠BQC＝ （α+β） ．（用α，β表示）

解：连接BC，
∵BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，
∴∠3＝ABP，∠4＝ACP，
∵∠1+∠2＝180°﹣β，2（∠3+∠4）+（∠1+∠2）＝180°﹣α，
∴∠3+∠4＝（β﹣α），
∵∠BQC＝180°﹣（∠1+∠2）﹣（∠3+∠4）＝180°﹣（180°﹣β）﹣（β﹣α），
即：∠BQC＝（α+β）．
故答案为：（α+β）．
6．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝ 540 度．

解：如图，连接CH，
由三角形的内角和定理得，∠A+∠B＝∠1+∠2，
由多边形的内角和公式得，∠1+∠2+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝（5﹣2）•180°＝540°，
所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝540°．
故答案为：540．
7．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 230° ．

解：∵∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠D+∠E，
又∵∠1+∠F＝115°，∠2+∠C＝115°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝115°+115°＝230°．
故答案为：230°．
8．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为

解：连KF，GI，如图，
∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7﹣2）×180°＝900°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K＝900°﹣（∠1+∠2），
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠1+∠2）＝900°，
∵∠1+∠2＝∠3+∠4，∠5+∠6+∠H＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+∠4）＝900°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+∠4）+∠5+∠6+∠H＝900°+180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K＝1080°．故选：C．
9．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 减少 （填“增加”或“减少”） 10 度．

解：连接CF，并延长至点M，如图所示．
在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠DCE＝∠ACB＝70°．
∵∠DFM＝∠DCF+∠D，∠EFM＝∠ECF+∠E，
∴∠EFD＝∠DCF+∠ECF+∠D+∠E＝∠DCE+∠D+∠E，
即110°＝70°+∠D+30°，
∴∠D＝10°，
∴20°﹣10°＝10°，
∴图中∠D应减少（填“增加”或“减少”）10度．
故答案为：减少；10．
10．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I的值．

解：如图所示，分别延长BC、IH交EF于点M、N，
由三角形的外角的性质可知：
∠C+∠D＝∠1，
∠G+∠H＝∠2，
∠4＝∠1+∠B＝∠C+∠D+∠B，
∠3＝∠2+∠F＝∠G+∠H+∠F，
∴∠3+∠4＝∠5+∠HNM+∠5+∠CMN＝180°+∠5，
∵∠5＝∠6＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠I，
∴∠C+∠D+∠B+∠G+∠H+∠F＝180°+360°﹣∠A﹣∠B﹣∠I，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝180°+360°＝540°
11．如图，已知AB∥DE，∠ABC、∠CED的平分线交于点F．探究∠BFE与∠BCE之间的数量关系，并证明你的结论．

解：过点C作直线MN∥AB，
∵AB∥DE，MN∥AB，
∴MN∥DE，
∴∠DEC＝∠ECN，
∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠BCN，
∴∠BCE＝∠ABC+∠DEC，
同理∠BFE＝∠ABF+∠DEF，
∵∠ABC、∠CED的平分线交于点F，
∴∠ABC＝2∠ABF，∠DEC＝2∠DEF，
∴∠BCE＝2∠ABF+2∠DEF＝2∠BFE．
12．如图，DP平分∠ADC，PB平分∠ABC，求证：∠P＝（∠A+∠C）

证明：如右图所示，
∵∠CMP＝∠C+∠CDP＝∠P+∠CBP，∠ANP＝∠P+∠ADP＝∠A+∠ABP，
∴∠P+∠CBP+∠P+∠ADP＝∠C+∠CDP+∠A+∠ABP，
又∵DP、BP是∠ADC、∠ABC的角平分线，
∴∠CDP＝∠ADP，∠CBP＝∠ABP，
∴2∠P＝∠C+∠A，
∴∠P＝（∠A+∠C）．
13．如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M．探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系．
解：∠AMC＝180°﹣∠B+∠D，理由如下：
∵AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，
∴∠BAD＝2∠BAM，∠BCD＝2∠BCM，
∵∠BAD+∠B+∠BCD+∠d＝360°，
∴∠BAM+∠BCM+∠B+∠D＝180°，
∴∠BAM+∠BCM＝180°﹣∠B﹣∠D，
∵∠B+∠AMC+∠BAM+∠BCM＝∠B+∠AMC+180°﹣∠B﹣∠D＝360°，
∴∠AMC＝360°﹣（180°﹣∠B﹣∠D）﹣∠B＝180°﹣∠B+∠D．
14．（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．
解：（1）作射线AO，
∵∠3是△ABO的外角，
∴∠1+∠B＝∠3，①
∵∠4是△AOC的外角，
∴∠2+∠C＝∠4，②
①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，
即∠BOC＝∠A+∠B+∠C；
（2）连接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④，
③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，
即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F＝230°．
15．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形“．如图2，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于点M、N．试解答下列问题：
①仔细观察，在图2中有 3 个以线段AC为边的“8字形”；
②若∠B＝76°，∠C＝80°，试求∠P的度数；
③∠C和∠B为任意角时AP、DP分别是∠CAB、∠BDC的三等分线，写出∠P与∠C、∠B之间数量关系，并说明理由．
解：①3； 故答案为3．
②证明：∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，
∴∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，
∵∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，
∴∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，
即∠P＝（∠C+∠B），
∵∠C＝80°，∠B＝76°，
∴∠P＝（80°+76°）＝78°；
③∠P＝（2∠C+∠B）或∠P＝（∠C+2∠B）．
证明：设∠CAB＝3α，∠BDC＝3β，
i）如图3，∠CAP：∠BAP＝∠CDP：∠BDP＝2：1，
∴∠CAP＝2α，∠BAP＝α，∠BDP＝β，∠CDP＝2β，
∵∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，
∴∠C﹣∠P＝2β﹣2α，∠P﹣∠B＝β﹣α，
∴∠C﹣∠P＝2∠P﹣2∠B，
∴∠P＝（∠C+2∠B），
ii）如图4，∠CAP：∠BAP＝∠CDP：∠BDP＝1：2，
∴∠CAP＝α，∠BAP＝2α，∠BDP＝2β，∠CDP＝β，
∵∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，
∴∠C﹣∠P＝β﹣α，∠P﹣∠B＝2β﹣2α，
∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，
∴∠P＝（2∠C+∠B），

16．阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ∠A+∠B＝∠C+∠D ；
探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 25° ；
探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 ∠P＝ ．
【模型应用】
应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝ α+β﹣180° （用含有α和β的代数式表示），∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
【拓展延伸】
拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 ∠P＝ ．（用x、y表示∠P）
拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 2∠P﹣∠B﹣∠D＝180° ．
解：探索一：如图1，∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；
探索二：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
即2∠P＝∠B+∠D，
∵∠B＝36°，∠D＝14°，
∴∠P＝25°， 故答案为25°；
探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，
由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1，
①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1
∠D+2∠B＝2∠P+∠B．
∴∠P＝．
故答案为：∠P＝．
应用一：如图4，由题意知延长BM、CN，交于点A，
∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，
∴∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β，
∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°；
∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，
∵∠PCD＝∠P+∠PBC，
∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝，
故答案为：α+β﹣180°，；
应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，
∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，
∴∠A＝180°﹣α﹣β，
∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR，
∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，
由应用一得：∠P＝∠A＝，
故答案为：；
拓展一：如图6，由探索一可得：
∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，
∵∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，
∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，
∠PAB＝∠CAB，∠PDB＝∠CDB，
∴∠P+∠CAB＝∠B+∠CDB，∠P+∠CDB＝∠C+∠CAB，
∴2∠P＝∠C+∠B+（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y+（x﹣y）＝，
∴∠P＝，
故答案为：∠P＝；
拓展二：如图7，
∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，
∴∠PAD＝∠BAD，∠PCD＝90°+∠BCD，
由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD，
③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，
∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，
故答案为：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．