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中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型18奔驰模型(原卷版+解析)
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这是一份中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型18奔驰模型(原卷版+解析),共33页。
因为像奔驰车标 ,所以叫奔驰模型 .
【结论】如图 ,等边△ABC,PA=3,PB=4,PC=5,
则①∠APB=150º, ②S△ABC=34AB2=253+364
关键:旋转可以让线段动起来
各种旋法:
超酷炫又实用:S=34a2
例题精讲
【例1】.如图,点D是等边△ABC内部一点,BD=1,DC=2,AD=,则∠ADB= .
变式训练
【变式1-1】.如图,点D是等边△ABC内一点,AD=3,BD=3,CD=,△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的,则∠ADC的度数是( )
A.40°B.45°C.105°D.55°
【变式1-2】.如图,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP、BP、CP,若AP=6,BP=8,CP=10.则S△ABP+S△BPC= .
【变式1-3】.如图,点P是正方形ABCD内的一点,且PA=1,PB=PD=,则∠APB的度数为 .
1.如图,点O是等边三角形ABC内一点,OA=2,OB=1,OC=,则△AOB与△BOC的面积之和为( )
A.B.C.D.
2.如图,P是等边三角形ABC内一点,将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,连接BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,则四边形APBQ的面积为( )
A.24+9B.48+9C.24+18D.48+18
3.如图,O是正△ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段 BO以点B为旋转中心逆时针旋转 60°得到线段 BO´,有下列结论∶
①△BO´A 可以由△BOC绕点B 逆时针旋转 60°得到;
②点 O与O´的距离为 4; ③∠AOB=150°;
④S四边形AOBO´ =6+33; ⑤S∆AOC+S∆AOB =6+943
其中正确的结论是( )
A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①②③④⑤ D. ①②③
4.如图,在菱形 ABCD中,∠ABC=60°,对角线AC平分∠BAD,点 P是△ABC 内一点,连接 PA,PB,PC.若 PA=6,PB=8,PC=10,则菱形 ABCD的面积等于 .
5.如图,点P是正方形ABCD内一点,若,,PC=1,则∠BPC= .
6.已知P是等边△ABC内一点,若PA=3,PB=5,PC=4,则△ABC的面积= .
7.如图,P是等边三角形ABC内一点,将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,连接BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,则四边形APBQ的面积为 .
8.如图,P是等边三角形ABC内的一点,且PA=3,PB=4,PC=5,以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA,连接PQ,则以下结论中正确有 (填序号)
①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB=150° ④∠APC=120°
9.如图,P是正三角形ABC内的一点,且PA=6,PB=8,PC=10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后,得到△P′AB.
(1)求点P与点P′之间的距离;
(2)求∠APB的度数.
10.下面是一道例题及其解答过程,请补充完整.
(1)如图1,在等边三角形ABC内部有一点P,PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数.
解:将△APC绕点A逆时针旋转60°,得到△AP′B,连接PP′,则△APP′为等边三角形.
∵PP′=PA=3,PB=4,P′B=PC=5,
∴P′P2+PB2=P′B2.
∴△BPP′为 三角形.
∴∠APB的度数为 .
(2)类比延伸
如图2,在正方形ABCD内部有一点P,若∠APD=135°,试判断线段PA、PB、PD之间的数量关系,并说明理由.
11.【方法呈现】:
(1)已知,点P是正方形ABCD内的一点,连PA、PB、PC.将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置(如图1),设AB的长为a,PB的长为b(b<a),求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域(图1中阴影部分)的面积;
【实际运用】:
(2)如图2,点P是等腰Rt△ABC内一点,AB=BC,连接PA,PB,PC.若PA=2,PB=4,PC=6,求∠APB的大小;
【拓展延伸】:
(3)如图3,点P是等边△ABC内一点,PA=3,PB=4,PC=5,则△APC的面积是 (直接填答案)
12.(1)如图1,点P是等边△ABC内一点,已知PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数.
分析:要直接求∠APB的度数显然很困难,注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数,因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内.
解:如图2,作∠PAD=60°使AD=AP,连接PD,CD,则△PAD是等边三角形.
∴ =AD=AP=3,∠ADP=∠PAD=60°
∵△ABC是等边三角形
∴AC=AB,∠BAC=60°∴∠BAP=
∴△ABP≌△ACD
∴BP=CD=4, =∠ADC
∵在△PCD中,PD=3,PC=5,CD=4,PD2+CD2=PC2
∴∠PDC= °
∴∠APB=∠ADC=∠ADP+∠PDC=60°+90°=150°
(2)如图3,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点P是△ABC内一点,PA=1,PB=2,PC=3,求∠APB的度数.
(3)拓展应用.如图(4),△ABC中,∠ABC=30°,AB=4,BC=5,P是△ABC内部的任意一点,连接PA,PB,PC,则PA+PB+PC的最小值为 .
13.(原题初探)(1)小明在数学作业本中看到有这样一道作业题:如图1,P是正方形ABCD内一点,连结PA,PB,PC现将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB,连接PP′.若PA=2,PB=3,∠APB=135°,则PC的长为 ,正方形ABCD的边长为 .
(变式猜想)(2)如图2,若点P是等边△ABC内的一点,且PA=3,PB=4,PC=5,请猜想∠APB的度数,并说明理由.
(拓展应用)(3)聪明的小明经过上述两小题的训练后,善于反思的他又提出了如下的问题:
如图3,在四边形ABCD中,AD=3,CD=2,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,则BD的长度为 .
14.阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB度数.
小明发现,利用旋转和全等的知识构造△AP′C,连接PP′,得到两个特殊的三角形,从而将问题解决(如图2).
请回答:图1中∠APB的度数等于 ,图2中∠PP′C的度数等于 .
参考小明思考问题的方法,解决问题:
如图3,在平面直角坐标系xOy中,点A坐标为(−3,1),连接AO.如果点B是x轴上的一动点,以AB为边作等边三角形ABC.当C(x,y)在第一象限内时,求y与x之间的函数表达式.
模型介绍
因为像奔驰车标 ,所以叫奔驰模型 .
R【结论】如图 ,等边△ABC,PA=3,PB=4,PC=5,
则①∠APB=150º, ②S△ABC=34AB2=253+364
R关键:旋转可以让线段动起来
各种旋法:
R超酷炫又实用:S=34a2
例题精讲
【例1】.如图,点D是等边△ABC内部一点,BD=1,DC=2,AD=,则∠ADB= 150 °.
解:将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△ABD',
∴BD=BD',AD'=CD,
∴∠DBD'=60°,
∴△BDD'是等边三角形,
∴∠BDD'=60°,
∵BD=1,DC=2,AD=,
∴DD'=1,AD'=2,
在△ADD'中,AD'2=AD2+DD'2,
∴∠ADD'=90°,
∴∠ADB=60°+90°=150°,
故答案为150.
变式训练
【变式1-1】.如图,点D是等边△ABC内一点,AD=3,BD=3,CD=,△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的,则∠ADC的度数是( )
A.40°B.45°C.105°D.55°
解:连接DE,
由旋转可知,△ACE≌△ABD,
∴AE=AD=3,CE=BD=3,CD=,
∠BAD=∠CAE,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°,
∴∠BAD+∠DAC=60°,
∴∠CAE+∠DAC=60°,即∠DAE=60°,
∴△DAE是等边三角形,
∴DE=AD=3,
∵32+32=(3)2,
∴DE2+CE2=CD2,
∴△DEC是直角三角形,且∠DEC=90°,
∴DE=CE,∠EDC=45°,
∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=105°, 故选:C.
【变式1-2】.如图,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP、BP、CP,若AP=6,BP=8,CP=10.则S△ABP+S△BPC= 24+16 .
解:如图,将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B,连接PP′,
根据旋转的性质可知,
旋转角∠PBP′=∠CAB=60°,BP=BP′,
∴△BPP′为等边三角形,
∴BP′=BP=8=PP';
由旋转的性质可知,AP′=PC=10,
在△BPP′中,PP′=8,AP=6,
由勾股定理的逆定理得,△APP′是直角三角形,
∴S△ABP+S△BPC=S四边形AP'BP=S△BP'P+S△AP'P=BP2+×PP'×AP=24+16
故答案为:24+16
【变式1-3】.如图,点P是正方形ABCD内的一点,且PA=1,PB=PD=,则∠APB的度数为 105° .
解:如图,将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADE,连接EP,
∴△APB≌△AED,
∴AE=AP=1,PB=DE=,∠PAE=90°,∠AED=∠APB,
∴PE=AE=,∠AEP=∠APE=45°,
∴DE=DP=PE=,
∴△DEP是等边三角形,
∴∠DEP=60°,
∴∠AED=105°=∠APB,
故答案为:105°.
1.如图,点O是等边三角形ABC内一点,OA=2,OB=1,OC=,则△AOB与△BOC的面积之和为( )
A.B.C.D.
解:将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△CDB,连接OD,
∴OB=BD,∠OBD=60°,CD=OA=2,
∴△BOD是等边三角形,
∴OD=OB=1,
∵OD2+OC2=12+()2=4,CD2=22=4,
∴OD2+OC2=CD2,
∴∠DOC=90°,
∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC+S△BCD=S△BOD+S△COD=×12+=,
故选:C.
2.如图,P是等边三角形ABC内一点,将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,连接BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,则四边形APBQ的面积为( )
A.24+9B.48+9C.24+18D.48+18
解:连接PQ,如图,
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,
∴AQ=AP,∠PAQ=60°,
∴△APQ为等边三角形,
∴PQ=AP=6,
∵∠PAQ﹣∠PAB=∠CAB﹣∠PAB,
∴∠CAP=∠BAQ,
在△APC和△AQB中
,
∴△APC≌△AQB(SAS),
∴CP=BQ=10,
在△BPQ中,∵PQ=6,BP=8,BQ=10,
而62+82=102,
∴PQ2+PB2=BQ2,
∴△BPQ为直角三角形,∠BPQ=90°,
∴四边形APBQ的面积=S△BPQ+S△APQ
=×6×8+×62
=24+9.
故选:A.
3.如图,O是正△ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段 BO以点B为旋转中心逆时针旋转 60°得到线段 BO´,有下列结论∶
①△BO´A 可以由△BOC绕点B 逆时针旋转 60°得到;
②点 O与O´的距离为 4; ③∠AOB=150°;
④S四边形AOBO´ =6+33; ⑤S∆AOC+S∆AOB =6+943
其中正确的结论是( )
A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①②③④⑤ D. ①②③
解:如图,连接 OO´.
①由奔驰模型推导过程可知∠OBO´=60°,△BOC≌△BO´A,∠②AOB=150°,△BOO´为等边三角形,所以 OO´=OB=4,故①②③正确. S四边形AOBO´=S∆AOO´ +S∆OBO´=12×3×4 +34×42=6+43,故④错误.
如图,将△AOB绕点 A 逆时针旋转 60°,使得 AB与AC 重合,点 O旋转至点O".
易知△AOO〞是边长为 3 的等边三角形,△COO〞是直角三角形,
则 S∆AOC +S∆AOB=S四边形AOBO´=S∆COO "+S∆AOO "
=12×3×4 +34×32=6+943 ,故⑤正确.综上所述,正确的结论为①②③⑤.故选 A.
4.如图,在菱形 ABCD中,∠ABC=60°,对角线AC平分∠BAD,点 P是△ABC 内一点,连接 PA,PB,PC.若 PA=6,PB=8,PC=10,则菱形 ABCD的面积等于 .
解:过A点作AH⊥BP,交 BP的延长线于H,
由奔驰模型可知∠APB=150°, ∴∠APH=30°,
AH=12PA=3,PH=33,∴BH=8+33,∴AB2=AH²+BH²=100+483 ,S菱形ABCD=2S∆ABC=2 ×34×AB2=503+72
5.如图,点P是正方形ABCD内一点,若,,PC=1,则∠BPC= 135° .
解:∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ABC=90°,BA=BC,
把△BAP绕点B顺时针旋转90°得到△BCE,连接PE,如图,
∴BP=BE=,CE=AP=,∠PBE=90°,
∴△PBE为等腰直角三角形,
∴∠BPE=45°,PE=PB=×=2,
在△PCE中,∵PC=1,PE=2,CE=,
∴PC2+PE2=CE2,
∴△PCE为直角三角形,∠CPE=90°,
∴∠BPC=∠BPE+∠CPE=45°+90°=135°.
故答案为:135°.
6.已知P是等边△ABC内一点,若PA=3,PB=5,PC=4,则△ABC的面积= .
解:∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
把△APC绕点A顺时针旋转60°可得到△ABD,如图,
∴AD=AP=3,BD=PC=4,∠DAP=60°,∠ADB=∠APC,
∴△ADP为等边三角形,
∴DP=AP=3,∠ADP=60°,
在△BDP中,∵DP=3,DB=4,BP=5,
而32+42=52,
∴DP2+DB2=BP2,
∴△BDP为直角三角形,∠BDP=90°,
∴∠ADB=∠ADP+∠BDP=60°+90°=150°,
∴∠APC=150°;
作BE⊥AD于E,如图
∵∠ADB=150°,
∴∠BDE=30°,
在Rt△BDE中,BE=BD=2,DE=BE=2,
∴AE=AD+DE=3+2,
在Rt△ABE中,AB===,
∴S△ABC=×()2=,
故答案为:.
7.如图,P是等边三角形ABC内一点,将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,连接BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,则四边形APBQ的面积为 24+9 .
解:连接PQ,如图,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=60°,AB=AC,
∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,
∴AP=PQ=6,∠PAQ=60°,
∴△APQ为等边三角形,
∴PQ=AP=6,
∵∠CAP+∠BAP=60°,∠BAP+∠BAQ=60°,
∴∠CAP=∠BAQ,
在△APC和△ABQ中,
,
∴△APC≌△ABQ,
∴PC=QB=10,
在△BPQ中,∵PB2=82=64,PQ2=62,BQ2=102,
而64+36=100,
∴PB2+PQ2=BQ2,
∴△PBQ为直角三角形,∠BPQ=90°,
∴S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ=×6×8+×62=24+9.
故答案为24+9.
8.如图,P是等边三角形ABC内的一点,且PA=3,PB=4,PC=5,以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA,连接PQ,则以下结论中正确有 (填序号)
①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB=150° ④∠APC=120°
解:①∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,
∵△BQC≌△BPA,∴∠CBQ=∠ABP,PB=QB=4,PA=QC=3,∠BPA=∠BQC,
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°,∴△BPQ是等边三角形,
所以①正确;②PQ=PB=4,PQ2+QC2=42+32=25,PC2=52=25,∴PQ2+QC2=PC2,
∴∠PQC=90°,∴△PCQ是直角三角形,所以②正确;
③∵△BPQ是等边三角形,∴∠PQB=∠BPQ=60°,
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°,所以③正确;
④∠APC=360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC=150°﹣∠QPC,
∵∠PQC=90°,PC≠2QC,∴∠QPC≠30°,∴∠APC≠120°.所以④错误.
所以正确的有①②③.
9.如图,P是正三角形ABC内的一点,且PA=6,PB=8,PC=10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后,得到△P′AB.
(1)求点P与点P′之间的距离;
(2)求∠APB的度数.
解:(1)连接PP′,由题意可知BP′=PC=10,AP′=AP,
∠PAC=∠P′AB,而∠PAC+∠BAP=60°,所以∠PAP′=60度.故△APP′为等边三角形,所以PP′=AP=AP′=6;
(2)利用勾股定理的逆定理可知:
PP′2+BP2=BP′2,所以△BPP′为直角三角形,且∠BPP′=90°
可求∠APB=90°+60°=150°.
10.下面是一道例题及其解答过程,请补充完整.
(1)如图1,在等边三角形ABC内部有一点P,PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数.
解:将△APC绕点A逆时针旋转60°,得到△AP′B,连接PP′,则△APP′为等边三角形.
∵PP′=PA=3,PB=4,P′B=PC=5,
∴P′P2+PB2=P′B2.
∴△BPP′为 三角形.
∴∠APB的度数为 .
(2)类比延伸
如图2,在正方形ABCD内部有一点P,若∠APD=135°,试判断线段PA、PB、PD之间的数量关系,并说明理由.
解:(1)如图1,将△APC绕点A逆时针旋转60°,得到△AP′B,连接PP′,则△APP′为等边三角形.
∵PP′=PA=3,PB=4,P′B=PC=5,∴P′P2+PB2=P′B2.
∴△BPP′为直角三角形.∴∠APB的度数为90°+60°=150°.故答案为:直角;150°;
(2)2PA2+PD2=PB2.理由如下:
如图2,把△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP′,连接PP′.
则P′B=PD,P′A=PA,∠PAP′=90°,
∴△APP′是等腰直角三角形,∴PP′2=PA2+P′A2=2PA2,∠PP′A=45°,
∵∠APD=135°,∴∠AP′B=∠APD=135°,∴∠PP′B=135°﹣45°=90°,
在Rt△PP′B中,由勾股定理得,PP′2+P′B2=PB2,∴2PA2+PD2=PB2.
11.【方法呈现】:
(1)已知,点P是正方形ABCD内的一点,连PA、PB、PC.将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置(如图1),设AB的长为a,PB的长为b(b<a),求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域(图1中阴影部分)的面积;
【实际运用】:
(2)如图2,点P是等腰Rt△ABC内一点,AB=BC,连接PA,PB,PC.若PA=2,PB=4,PC=6,求∠APB的大小;
【拓展延伸】:
(3)如图3,点P是等边△ABC内一点,PA=3,PB=4,PC=5,则△APC的面积是 (直接填答案)
解:(1)∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置,
∴△PAB≌△P'CB,∴S△PAB=S△P'CB,S阴影=S扇形BAC﹣S扇形BPP′=π4(a2﹣b2);
(2)如图2,连接PP′.
∵将△PAB绕B点顺时针旋转90°,与△P′CB重合,
∴△PAB≌△P′CB,∠PBP′=90°,
∴BP=BP′,∠APB=∠CP′B,AP=CP′=2,
∴△PBP′是等腰直角三角形,∴PP′=2PB=42,∠BP′P=45°.
在△CPP′中,∵PP′=42,CP′=2,PC=6,∴PP′2+CP′2=PC2,
∴△CP′P是直角三角形,∠CP′P=90°,
∴∠CP′B=∠BP′P+∠CP′P=45°+90°=135°;
(3)如图3①,将△PAB绕A点逆时针旋转60°得到△P1AC,连接PP1,
∴△APB≌△AP1C,∴AP=AP1,∠PAP1=60°,CP1=BP=4,
∴△PAP1是等边三角形,∴PP1=AP=3,
∵CP=5,CP1=4,PP1=3,∴PP12+CP12=CP2,
∴△CP1P是直角三角形,∠CP1P=90°,
∴S△APP1=12×3×332=934,S△PP1C=12×3×4=6,
∴S四边形APCP1=S△APP1+S△PP1C=934+6;
∵△APB≌△AP1C,∴S△ABP+S△APC=S四边形APCP1=934+6;
如图3②,同理可求:△ABP和△BPC的面积的和=12×4×432+12×3×4=43+6,
△APC和△BPC的面积的和=12×5×532+12×3×4=2534+6,
∴△ABC的面积=12(934+6+43+6+2534+6)=2534+9,
∴△APC的面积=△ABC的面积﹣△APB与△BPC的面积的和=(2534+9)﹣(43+6)=934+3.故答案为934+3.
12.(1)如图1,点P是等边△ABC内一点,已知PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数.
分析:要直接求∠APB的度数显然很困难,注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数,因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内.
解:如图2,作∠PAD=60°使AD=AP,连接PD,CD,则△PAD是等边三角形.
∴ PD =AD=AP=3,∠ADP=∠PAD=60°
∵△ABC是等边三角形
∴AC=AB,∠BAC=60°∴∠BAP= ∠CAD
∴△ABP≌△ACD
∴BP=CD=4, ∠APB =∠ADC
∵在△PCD中,PD=3,PC=5,CD=4,PD2+CD2=PC2
∴∠PDC= 90 °
∴∠APB=∠ADC=∠ADP+∠PDC=60°+90°=150°
(2)如图3,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点P是△ABC内一点,PA=1,PB=2,PC=3,求∠APB的度数.
(3)拓展应用.如图(4),△ABC中,∠ABC=30°,AB=4,BC=5,P是△ABC内部的任意一点,连接PA,PB,PC,则PA+PB+PC的最小值为 .
解:(1)如图2,作∠PAD=60°使AD=AP,连接PD,CD,则△PAD是等边三角形.
∴PD=AD=AP=3,∠ADP=∠PAD=60°
∵△ABC是等边三角形
∴AC=AB,∠BAC=60°,
∴∠BAP=∠CAD,
∴△ABP≌△ACD(SAS)
∴BP=CD=4,∠APB=∠ADC
∵在△PCD中,PD=3,PC=5,CD=4,PD2+CD2=PC2
∴∠PDC=90°
∴∠APB=∠ADC=∠ADP+∠PDC=60°+90°=150°
故答案为:PD,∠CAD,∠APB,90.
(2)解:∵∠ABC=90°,BC=AB,
∴把△PBC绕B点逆时针旋转90°得到△DBA,如图,
∴AD=PC=3,BD=BP=2,
∵∠PBD=90°
∴DP=PB=2,∠DPB=45°,
在△APD中,AD=3,PD=2,PA=1,
∵12+(2)2=32,
∴AP2+PD2=BD2,
∴△APD为直角三角形,
∴∠APD=90°,
∴∠APB=∠APD+∠DPB=90°+45°=135°.
(3)解:如图4中,将△ABP绕着点B逆时针旋转60°,得到△DBE,连接EP,CD,
∴△ABP≌△DBE
∴∠ABP=∠DBE,BD=AB=4,∠PBE=60°,BE=PE,AP=DE,
∴△BPE是等边三角形
∴EP=BP
∴AP+BP+PC=PC+EP+DE
∴当点D,点E,点P,点C共线时,PA+PB+PC有最小值CD
∵∠ABC=30°=∠ABP+∠PBC
∴∠DBE+∠PBC=30°
∴∠DBC=90°
∴CD===,
故答案为.
13.(原题初探)(1)小明在数学作业本中看到有这样一道作业题:如图1,P是正方形ABCD内一点,连结PA,PB,PC现将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB,连接PP′.若PA=2,PB=3,∠APB=135°,则PC的长为 ,正方形ABCD的边长为 .
(变式猜想)(2)如图2,若点P是等边△ABC内的一点,且PA=3,PB=4,PC=5,请猜想∠APB的度数,并说明理由.
(拓展应用)(3)聪明的小明经过上述两小题的训练后,善于反思的他又提出了如下的问题:
如图3,在四边形ABCD中,AD=3,CD=2,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,则BD的长度为 .
解:(1)∵△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB,
∴BP=BP′=3,P′C=PA=2,∠PBP′=90°,∠BP′C=∠APB=135°,
∴△BPP′为等腰直角三角形,∴∠BP′P=45°,PP′=2PB=32,
∴∠PP′C=135°﹣45°=90°,
在Rt△PP′C中,由勾股定理得:PC=PP′2+P′C2=(32)2+(2)2=25,
过点A作AE⊥BP交BP的延长线于E,如图1所示:
∵∠APB=135°,∴∠APE=180°﹣135°=45°,∴△AEP是等腰直角三角形,
∴AE=PE=22PA=22×2=1,∴BE=PB+PE=3+1=4,
在Rt△AEB中,由勾股定理得:AB=AE2+BE2=12+42=17,
故答案为:25,17;
(2)∠APB的度数为150°,理由如下:
∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC,∠ABC=60°,
将△BPC绕点B逆时针旋转60°,得到△BP′A,连接PP′,如图2所示:
则△BPP′是等边三角形,∴PP′=BP=4,∠BPP′=60°,
∵AP=3,AP′=PC=5,∴P'P2+AP2=AP'2,∴△APP′为直角三角形,
∴∠APP′=90°,∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=90°+60°=150°;
(3)∵∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,∴△BAC是等腰直角三角形,
∴∠BAC=90°,AB=AC,
将△ABD绕点A顺时针旋转90°,得到△ACK,连接DK,如图3所示:
由旋转的性质得:AK=AD=3,CK=BD,∠KAD=90°,
∴△DAK是等腰直角三角形,∴DK=2AD=32,∠ADK=45°,
∴∠CDK=∠ADC+∠ADK=45°+45°=90°,∴△CDK是直角三角形,
∴CK=DK2+CD2=(32)2+22=22,∴BD=22,故答案为:22.
14.阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB度数.
小明发现,利用旋转和全等的知识构造△AP′C,连接PP′,得到两个特殊的三角形,从而将问题解决(如图2).
请回答:图1中∠APB的度数等于 ,图2中∠PP′C的度数等于 .
参考小明思考问题的方法,解决问题:
如图3,在平面直角坐标系xOy中,点A坐标为(−3,1),连接AO.如果点B是x轴上的一动点,以AB为边作等边三角形ABC.当C(x,y)在第一象限内时,求y与x之间的函数表达式.
解:阅读材料:把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′,
由旋转的性质,P′A=PA=3,P′D=PB=4,∠PAP′=60°,
∴△APP′是等边三角形,∴PP′=PA=3,∠AP′P=60°,
∵PP′2+P′C2=32+42=25,PC2=52=25,∴PP′2+P′C2=PC2,
∴∠PP′C=90°,∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°;
故∠APB=∠AP′C=150°;故答案为:150°;90°;
如图3,在y轴上截取OD=2,作CF⊥y轴于F,AE⊥x轴于E,连接AD和CD,
∵点A的坐标为(−3,1),∴tan∠AOE=13=33,∴AO=OD=2,∠AOE=30°,
∴∠AOD=60°.∴△AOD是等边三角形,
又∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠CAB=∠OAD=60°,
∴∠CAD=∠OAB,∴△ADC≌△AOB.∴∠ADC=∠AOB=150°,又∵∠ADF=120°,
∴∠CDF=30°.∴DF=3CF.
∵C(x,y)且点C在第一象限内,∴y﹣2=3x,∴y=3x+2(x>0).
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