北师大版九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》 专题2.6 一元二次方程应用-几何动态问题（专项训练）

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专题2.6 一元二次方程应用-几何动态问题（专项训练）1．如图，在△ABC中，AC=50m，BC=40m，∠C=90°，点P从点A开始沿AC 边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线CB匀速移动，当△PCQ的面积等于300m2运动时间为（　　） A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定2．（2021秋•嘉祥县月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为12cm2时，则点P运动的时间是（　　）A．2s B．3s C．4s D．6s4．（2020九上·商河月考）如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝30cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿BA方向运动，动点Q同时从点C出发，沿CB方向运动，如果点P、Q的运动速度均为1cm/s．经过多长时间P、Q两点之间的距离是15cm？5．如图S2－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20 cm，BC＝15 cm.现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（2）当t＝3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少？（3）当t为多少秒时，S＝425S△ABC?6．（2019九上·台州月考）如图，矩形ABCD，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．（1）问两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 49 ； （2）问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为 5 ？若存在， 求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．7．（2021秋•东台市期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过2秒钟后，S△QPC＝　　cm2；（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，问点Q移动几秒钟后S△QPC＝4cm2？（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？8．（2020秋•鹤城区期末）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于cm？（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．9．（2021秋•玄武区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C运动，它们到达终点后停止运动．（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）是否存在时间t使得△DPQ的面积是22cm2？若存在请求出t，若不存在，请说明理由．专题2.6 一元二次方程应用-几何动态问题（专项训练）1．如图，在△ABC中，AC=50m，BC=40m，∠C=90°，点P从点A开始沿AC 边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线CB匀速移动，当△PCQ的面积等于300m2运动时间为（　　） A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定【答案】C【解答】解：设运动的时间为t，则AP=2t，CQ=3t∴PC=50-2t∵∠C=90°，S△PCQ=300∴12·PC·CQ=300解得t1=5，t2=20.故答案为：C。2．（2021秋•嘉祥县月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为12cm2时，则点P运动的时间是（　　）A．2s B．3s C．4s D．6s【答案】A【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为12cm2，则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，×（8﹣t）×2t＝12，解得t1＝2，t2＝6（当t＝6时，BQ＝12，不合题意，舍去）．∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为12cm2．故选：A．4．（2020九上·商河月考）如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝30cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿BA方向运动，动点Q同时从点C出发，沿CB方向运动，如果点P、Q的运动速度均为1cm/s．经过多长时间P、Q两点之间的距离是15cm？【答案】9秒或12秒【解答】解：设运动x秒时，它们相距15cm，则BP=xcm，BQ=（21-x）cm，依题意有 x2+（21-x）2=152，解得x1=9，x2=12．故运动9秒或12秒时，它们相距15cm5．如图S2－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20 cm，BC＝15 cm.现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（2）当t＝3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少？（3）当t为多少秒时，S＝425S△ABC?【答案】（1）S＝20t－4t2 （2） PQ＝10(cm）（3） 2秒或3秒【解答】（1）解：S＝20t－4t2（2）解：当t＝3时，CP＝20－4×3＝8(cm)，CQ＝2×3＝6(cm)，∴PQ＝10(cm)（3）解：列方程20t－4t2＝××15×20，解得t＝2或t＝3.∴t为2秒或3秒时S＝S△ABC.6．（2019九上·台州月考）如图，矩形ABCD，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．（1）问两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 49 ； （2）问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为 5 ？若存在， 求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．【答案】（1） 23 (秒）（2）5/3秒或7/3秒【解答】（1）解：设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 49 CQ=t;PB=AB-AP=6-2t S四边形PBCQ= 12 (CQ+PB)BC= 12 (t+6-2t)×2=6-t= 49 ×6×2= 163 . t=6- 163 = 23 (秒） 答：（1）两动点运动2/3秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 49（2）解：设两动点运动t秒使点P与点Q之间的距离为 5 ， ①当0