2024-2025学年浙江省温州市瑞安市莘塍一中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年浙江省温州市瑞安市莘塍一中九年级（上）开学数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在4，−2，0，13四个数中，最小的为( )
A. 4B. −2C. 0D. 13
2.下列图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.2024年温州经济一季度GDP为20404000万元，其中20404000用科学记数法表示为( )
A. 20.404×107B. 0.20404×108C. 2.0404×108D. 2.0404×107
4.计算：(−a)2⋅a4的结果是( )
A. a8B. a6C. −a8D. −a6
5.某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示.序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择( )
A. 甲、丁B. 乙、戊C. 丙、丁D. 丙、戊
6.关于x的一元二次方程x2−x+14m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
A. m<1B. m<−1C. m≤1D. m>1
7.在△ABC中，∠BAC=90°，ABA. B.
C. D.
8.体育测试中，小超和小铭进行1000米测试，小超的速度是小铭的1.25倍，小超比小铭快了30秒，设小铭的速度是x米/秒，则所列方程正确的是( )
A. 1250x−1000x=30B. 30×1.25x−30x=1000
C. 1000x−10001.25x=30D. 10001.25x−1000x=30
9.反比例函数y=1x的图象上有P(t,y1)，M(t+1,y2)，Q(t−1,y3)三点.下列选项正确的是( )
A. 当t<−1时，y2C. 当t>1时，00时，010.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=m，且60°A. ∠ABCB. ∠PEBC. ∠PABD. ∠EPC
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式：a2−2024a= ______．
12.一组数据1，1，4，3，6的众数是______．
13.在△ABC中，AB=AC，BC=10cm，点D在AC上，DC=3cm，将线段DC沿着CB方向平移5.5cm得到线段EF，点E，F分别落在AB，BC边上，则△EBF的周长为______．
14.已知2x−y=54x+3y=−10，则4x−7y= ______．
15.如图，∠A=∠B=90°，AB=100，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为2：3，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为______．
16.如图，点Q在y轴正半轴上，点R在x轴正半轴上，以OR为边向上作等边△ORS，OS交RQ于点T，反比例函数y=kx(k≠0)的图象交RQ于点T，U.若TU：RQ=1：3，△OQT的面积为 3，则k的值为______，则△OSR的面积为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
计算：(14)−1−38+|−5|．
18.(本小题6分)
解方程：x2−2x=3．
19.(本小题10分)
如图：AB=AC，AD=AE，AB⊥AC，AD⊥AE．
(1)求证：△EAC≌△DAB；
(2)判断线段EC与线段BD的关系，并说明理由．
20.(本小题7分)
某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A(羽毛球)，B(乒乓球)，C(篮球)，D(排球)，E(足球)，要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目.为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：

解决下列问题：
(1)这次活动一共调查了______名学生，并补全条形统计图；
(2)图②中项目E(足球)对应的百分比为______．
(3)根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B(乒乓球)的人数．
21.(本小题10分)
在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后按原路返回.设汽车从甲地出发x(ℎ)时，汽车离甲地的路程为y(km)，y与x的函数关系如图所示.根据图象信息，解答下列问题：
(1)这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由．
(2)求这辆汽车从甲地出发几小时时离乙地的路程为60km．
22.(本小题10分)
问题情景：如图直角△ACD中，∠C=90°，AC=1，∠A=22.5°，求CD的长？
解题思路：把22.5°的角转化成特殊角度，再利用特殊角度进行边之间的换算．
解决方案：方法一：延长CD至B，使得∠CAD=∠BAD，过D作DE⊥AB，交AB于点E，根据角平分线的性质定理和等腰直角三角形边的关系，可得CD=DE=EB= 2−1．
方法二：作AD的中垂线交AC于点F，连接DF，根据中垂线的性质定理和等腰直角三角形边的关务，设DC=x，CF=CD=x，AF=DF=1−x，DF= 2CF，得1−x= 2x，x= 2−1，则CD= 2−1．

其他方法…
迁移应用解决新问题：如图直角△ACD中，∠C=90°，AC=1，∠A=15°，求CD的长，写出你的解答过程．
23.(本小题10分)
若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数.下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y=2x(x≥1)2|x|(x<1)的图象与性质.列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，并连线，如图所示．
结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题：
(1)点A(3,y)，B(x,6)在函数图象上，求x，y的值；
(2)当函数值y=2时，自变量x的值为______；
(3)利用图象分析关于x的方程b=2x(x≥1)2|x|(x<1)的解的具体个数，并写出对应的b(b为常数)的取值范围．
24.(本小题12分)
如图：正方形ABCD中，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连结AE并延长交BM于点F，连结CE，CF，BE．
(1)求证：AB=BE；
(2)求证：△EFC是等腰直角三角形；
(3)①若AE=5，CE= 2，求BF的长；
②探索DF，BF，BC三边的关系，并证明你的结论．
答案解析
1.B
【解析】解：∵−2<0<13<4，
∴在4，−2，0，13四个数中，最小的为−2．
故选：B．
根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小进行比较即可得出结论．
本题考查了有理数比较大小，熟知有理数比较大小的法则是解题的关键．
2.A
【解析】解：B，C，D选项中的图形不都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.D
【解析】解：20404000=2.0404×107．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.B
【解析】解：(−a)2⋅a4=a6．
故选：B．
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
5.C
【解析】解：∵要推出由7个盲盒组成的套装产品，
∴中位数应该是质量由小到大排列的第4个盲盒，
∵序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，
∴选定的6号盲盒和7号盲盒的质量应该一个超过100，另一个低于100，
∴选定的可以是：甲，戊；或乙，丁；或丙，丁，
∵选项中只有：丙，丁，
故选：C．
根据中位数的定义解答即可．
本题考查中位数，理解题意，掌握确定中位数的方法是解题的关键．
6.A
【解析】解：由题意得，Δ=b2−4ac=1−m>0，解得：m<1故选：A．
利用方程有两个不相等的实数根时，Δ>0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)Δ<0⇔方程没有实数根．
7.C
【解析】解：选项C中，由作图可知，点D在AB的垂直平分线上，
∴DA=DB，
∴AD+DC=DB+DC=BC，
故选项C正确，
故选：C．
由BC=BD+DC，AD+DC=BC，推出DA=DA，可知点D在AB的垂直平分线上，由此即可判断．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
8.C
【解析】解：设小铭的速度是x米/秒，则小超的速度为1.25x，小铭跑1000米用的时间为1000x秒，小超跑1000米用的时间为10001.25x秒，
由小超比小铭快了30秒，则可列方程1000x−10001.25x=30．
故选：C．
设小铭的速度是x米/秒，则小超的速度为1.25x，然后根据“小超比小铭快了30秒”列出方程即可．
本题考查了列分式方程解应用题，正确找出题目中的相等关系式是解此题的关键．
9.A
【解析】解：∵y=1x，k=1>0，
∴反比例函数的图象过一，三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∵P(t,y1)，M(t+1,y2)，Q(t−1,y3)三点在双曲线上，
∴当t<−1时，t−1当t<0且t+1<0时，y20时，y1当t>1时，0当t>0且t−1>0时，则：00且t−1<0时，则：y3<0故选：A．
根据反比例函数的增减性，逐一进行判断即可．
本题考查比较反比例函数图像上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数的性质．
10.B
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=m，
∴∠ABC=∠ACB=12(180°−m)=90°−12m，
∵PC=AC，∠PCA=120°−m，
∴∠CAP=∠CPA=12(180°−120°+m)=30°+12m，∠BCP=∠ACB−∠ACP=90°−12m−120°+m=12m−30°，AB=CP，
∴∠BAP=∠BAC−∠CAP=m−30°−12m=12m−30°，
∴∠BAP=∠PCE，
∵CE=AP，AB=CP，
∴△ABP≌△CPE(SAS)，
∴BP=PE，∠ABP=∠CPE，
∴∠PBE=∠PEB，
∴∠ABC−∠ABP=∠PCE+∠CPE，
∴2∠CPE=∠ABC−∠PCE=∠ACP=120°−m，
∴∠CPE=60°−12m，
∴∠PEB=∠EPC+∠ECP=12m−30°+60°−12m=30°；
综上：∠PEB的值不变；
故选：B．
分别求出各选项中的角度，进行判断即可．
本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，熟记各性质定理是解题的关键．
11.a(a−2024)
【解析】解：原式=a(a−2024)．
故答案为：a(a−2024)．
原式提取公因式即可．
此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提公因式法是解本题的关键．
12.1
【解析】解：这组数据中，1出现的次数最多，
∴众数为1．
故答案为：1．
根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，进行求解即可．
本题考查众数，掌握众数的确定方法是解题的关键．

【解析】解：由平移的性质可知：EF=CD=3cm，CF=5.5cm，EF//CD，
∴∠EFB=∠C，
∵AB=AC，BC=10cm，
∴∠B=∠C，BF=BC−CF=4.5cm，
∴∠B=∠EFB，
∴BE=EF，
∴△EBF的周长为BE+EF+BF=3+3+4.5=10.5cm；
故答案为：10.5cm．
根据平移的性质，得到EF=CD=3cm，CF=5.5cm，EF//CD，进而推出∠B=∠EFB，得到BE=EF，进而求出△EBF的周长即可．
本题考查平移的性质、等腰三角形的判定和性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．
14.30
【解析】解：解2x−y=54x+3y=−10，得：x=12y=−4，
把x=12y=−4代入4x−7y，得：4×12−7×(−4)=2+28=30．
故答案为：30．
30
【分析】本题考查解二元一次方程组，代数式求值，加减法求出方程组的解，代入代数式，计算即可．
本题考查解二元一次方程组，代数式求值，解题的关键是掌握解方程组的方法．
15.40或75
【解析】解：设BE=2t，则BF=3t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE=AG，BF=AE时，
∵BF=AE，AB=100，
∴3t=100−2t，
解得：t=20，
∴AG=BE=2t=2×20=40；
情况二：当BE=AE，BF=AG时，
∵BE=AE，AB=100，
∴2t=100−2t，
解得：t=25，
∴AG=BF=3t=3×25=75，
综上所述，AG=40或AG=75．
故答案为：40或75．
分析：设BE=2t，则BF=3t，使△AEG与△BEF全等，由∠A=∠B=90°可知，分两种情况：
情况一：当BE=AG，BF=AE时，列方程解得t，可得AG；
情况二：当BE=AE，BF=AG时，列方程解得t，可得AG．
本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．
16.4 33 3 3
【解析】解：过点T作TG//x轴，过点U作UH//y轴，连接OU，GU，TH，
∴S△TGO=S△TGH，S△OUH=S△GUH，
∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象交RQ于点T，U，
∴S△TGO=S△TGH=S△OUH=S△GUH=k2，
∴S△TGH=S△GUH，
∴GH//QR，
∵TG//x轴，UH//y轴，
∴四边形QGHU和四边形GHRT都是平行四边形，
∴GH=QU=RT，
∵TU：RQ=1：3，
∴QT=TU=UR，
∵TG//x轴，
∴QG：GO=QT：TR=1：2，
∴OG：OQ=2：3，
∴S△TGO：S△TQO=OG：OQ=2：3，
∴S△TGO=23S△TQO=2 33，
∴k2=2 33，
∴k=4 33，
∵△ORS是等边三角形，
∴∠SOH=60°，OS=OR，
∴∠TOG=90°−∠SOR=30°，
设TG=a，则：OT=2a，
∴OG= 3TG= 3a，
∴a⋅ 3a=4 33，
∴a=2 33(负值舍去)，
∴TG=2 33，
∵TG//x轴，
∴△QGT∽△QOR，
∴TGOR=TQQR=13，
∴OR=3TG=2 3，
过点S作SM⊥x轴，则：OM=12OR= 3，
∴SM= OS2−OM2=3，
∴△OSR的面积为：12OR⋅SM=12×2 3×3=3 3；
故答案为：4 33，3 3．
过点T作TG//x轴，过点U作UH//y轴，连接OU，GU，TH，则S△TGO=S△TGH，S△OUH=S△GUH，根据反比例函数k值的几何意义，得到S△TGO=S△TGH=S△OUH=S△GUH，进而得到GH//QR，进而得到四边形QGHU和四边形GHRT都是平行四边形，得到GH=QU=RT，进而得到QT=TU=UR，进而得到QT：TR=1：2，平行线分线段成比例，得到QG：OG=1：2，设TG=α，根据含30度角的直角三角形的性质，求出OG的长，进而求出OQ的长，利用△OQT的面积为 3，列出方程求出a的值，证明△QGT∽△QOR，相似比求出OR的长，过点S作SM⊥x轴，根据等边三角形的性质，求出SM的长，再利用面积公式求出△OSR的面积即可．
本题考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求反比例函数解析式，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形是解题的关键．
17.解：原式=4−2+5
=7．
【解析】利用负整数指数幂，立方根的定义，绝对值的性质计算即可．
本题考查实数的运算，负整数指数幂，立方根，绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18.解：x2−2x=3，
x2−2x−3=0，
(x−3)(x+1)=0，
∴x1=3，x2=−1．
【解析】利用因式分解解方程．
本题考查了一元二次方程的求解，利用十字相乘法是解题的关键．
19.证明：(1)∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC,∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△EAC≌△DAB(SAS)；
(2)如图，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠C，
又∵∠B+∠BAC=∠C+∠BFC，
∴∠BFC=∠BAC=90°，
∴BD⊥CE．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定方法，并求出∠BAD=∠CAE是解题的关键，也是本题的难点．
(1)根据垂直的定义可得∠BAC=∠DAE=90°，然后求出∠BAD=∠CAE，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等；
(2)根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠BFC=∠BAC=90°，再根据垂直的定义证明即可．
20.60 20%
【解析】解：(1)9÷15%=60(名)，
D类人数为：60−6−18−9−12=15，补全条形图如图：
故答案为：60；
(2)1260×100%=20%；
故答案为：20%；
(3)800×1860=240(名)；
答：估计选择项目B(乒乓球)的人数为240．
(1)用C类人数除以所占比例求出总人数，进而求出D类人数，补全条形图即可；
(2)E类人数除以总人数，进行计算即可；
(3)利用样本估计总体的思想进行求解即可．
本题考查了条形统计图，扇形统计图和用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21.解：(1)这辆汽车的往、返速度不相同，理由如下：
这辆汽车从甲地到乙地的速度为120÷2=60(km/ℎ)，
这辆汽车从乙地返回甲地的速度为120÷(5−2.6)=50(km/ℎ)．
∵60>50，
∴这辆汽车的往、返速度不相同；
(2)当0≤x≤2时，设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
将(0,0)，(2,120)代入y=kx+b得：b=02k+b=120，
解得：k=60b=0，
∴当0≤x≤2时，y与x的函数关系式为y=60x，
若y=120−60=60，则60x=60，
解得：x=1；
当2.6≤x≤5时，设y与x的函数关系式为y=mx+n(m≠0)，
将(2.6,120)，(5,0)代入y=mx+n得：2.6m+n=1205m+b=0，
解得：m=−50n=250，
∴当2.6≤x≤5时，y与x的函数关系式为y=−50x+250，
若y=120−60=60，则−50x+250=60，
解得：x=3.8．
答：这辆汽车从甲地出发1小时或3.8小时时离乙地的路程为60km．
【解析】(1)利用速度=路程÷时间，可求出这辆汽车的往、返速度，比较后即可得出结论；
(2)分0≤x≤2及2.6≤x≤5两种情况考虑，利用待定系数法可求出y与x的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，求出y=60时x的值即可．
本题考查了一次函数的应用，根据图中各点的坐标，利用待定系数法求出y与x的函数关系式是解题的关键．
22.解：方法一：延长CD至B，使得∠CAD=∠BAD，过D作DE⊥AB，交AB于点E．

∵∠CAD=∠BAD，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE．
∵∠CAD=∠BAD=15°，∠CAB=90°，
∴∠CAB=30°，∠B=90°−30°=60°．
∴AB=2BC,AC= 3BC=1，
∴BC= 33
∵∠B=60°，DE⊥AB，
∴∠BDE=30°．
∴BE=12BD．
设BE=x，则：DB=2x,DE= 3x，
∴BC=BD+CD=BD+DE=(2+ 3)x= 33，
∴x=2 33−1，
∴CD=DE= 3x=2− 3．
方法二：作AD的中垂线交AC于点F，连接DF．

∵AD的中垂线交AC于点F，
∴AF=DF．
∵∠A=15°，
∴∠FDA=∠A=15°．
∴∠FDC=90°−15°−15°=60°．
∴∠DFC=30°．
∴DF=2CD,CF= 3CD，
设CD=x，则CF= 3x，AF=DF=2x，
∴AC=AF+CF=(2+ 3)x=1，
解得：x=2− 3．
∴CD=2− 3．
【解析】方法一：延长CD至B，使得∠CAD=∠BAD，过D作DE⊥AB，交AB于点E，利用角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可；
方法二：作AD的中垂线交AC于点F，连接DF，根据中垂线的性质，含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
本题考查含30度角的直角三角形，角平分线的性质，中垂线的性质，熟记各性质定理是解题的关键．
23.±1
【解析】解：(1)由图象可知，当x<0时，设函数关系式为：y=kx，把(−1,2)代入，得：k=−2，
∴y=−2x；
当0≤x<1时，同法可得：y=2x，
当x≥1时，设y=mx，把(1,2)，代入得：m=2，
∴y=2x，
∴y=−2x(x<0)2x(0≤x<1)2x(x≥1)，
∴当x=3时，y=23，当y=6时，−2x=6，解得x=−3，
∴x=−3，y=23；
(2)由图象和表格可知，当y=2时，x=±1；
故答案为：±1；
(3)由图象可知：当b=0或b>2时，方程有1个解；
当0当b=2时，方程有2个解，
当b<0时，方程无解．
(1)根据图象确定分段函数的解析式，将点代入函数解析式进行求解即可；
(2)图象法确定自变量的值即可；
(3)分四种情况进行讨论求解即可．
本题考查反比例函数图像，一次函数的图像，解题的关键是理解题意读懂图象信息．
24.(1)证明：∵作点C关于BM的对称点E，
∴BE=BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴AB=BE
(2)证明：∵点C关于BM的对称点为E，
∴CF=EF，BE=BC，
在△BEF和△BCF中，
EF=CFBE=BCBF=BF，
∴△BEF≌△BCF(SSS)，
∴∠BCF=∠BEF，
∵AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∵∠AEB+∠BEF=180°，
∴∠BAE+∠BCF=180°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵∠ABC+∠AFC+∠BAF+∠BCF=360°，
∴∠CFE=90°，
又∵EF=CF，
∴△EFC是等腰直角三角形；
(3)①设CE，BF交于点G，连接AC，如图1，

∵△EFC是等腰直角三角形，CE= 2，
∴CF=EF= 22CE=1，
∴AF=AE+EF=6，
在Rt△AFC中，AC= AF2+CF2= 37，
∴AB=BC= 22AC= 742，
由对称的性质可知，BF垂直平分CE，
∴CG=EG=12CE= 22，
∴FG= EF2−EG2= 22，BG= BC2−CG2=3 2，
∴BF=BG+FG=7 22；
②BF2+DF2=2BC2，证明如下：
连接AC，BD，交于点O，连接OF，如图2，

∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°，OA=OC=OB=OD，
∴BD= 2BC，
∵∠AFC=90°，OA=OC，
∴OF=12AC=OA=OC，
∴OF=OB=OD，
∴∠OBF=∠OFB，∠ODF=∠OFD，
∵∠OBF+∠OFB+∠ODF+∠OFD=2(∠OFB+∠OFD)=2∠BFD=180°，
∴∠BFD=90°，
∴BF2+DF2=BD2，
∵BD= 2BC，
∴BF2+DF2=2BC2．
【解析】(1)根据轴对称的性质，正方形的性质，即可得出结论；
(2)证明△BEF≌△BCF，得到∠BCF=∠BEF，等边对等角得到∠BAE=∠BEA，平角的定义得到∠AEB+∠BEF=180°，进而得到∠BAE+∠BCF=180°，四边形的内角和为360度，求出∠CFE=90°，结合EF=CF，即可得证；
(3)①设CE，BF交于点G，连接AC，勾股定理求出EF的长，进而求出AF的长，勾股定理求出AC的长，进而求出BC的长，再利用勾股定理求出BG，FG的长，利用线段的和差关系进行计算即可；
②连接AC，BD，交于点O，连接OF，正方形的性质，推出BD= 2BC，斜边上的中线，推出OF=OB=OD，进而推出∠BFD=90°，勾股定理得到BF2+DF2=BD2，等量代换得出结论即可．
本题考查正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形是解题的关键．x
…
−1
−12
0
12
1
32
2
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y
…
2
1
0
1
2
43
1
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